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1、LOGO第四章 直梁的弯曲化工设备机械根底化工设备机械根底弯曲弯曲应力力4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力1、弯曲构件横截面上的内力、弯曲构件横截面上的内力应力力内力剪力Q 剪应力t弯矩M 正应力s平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只需M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研讨方法、研讨方法纵向对称面纵向对称面P1P2例如：4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力 某段梁的内力只需弯矩没
2、有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。15006418021PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。一一变形几何形几何规律：律：一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力bdacabcdMM4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力2.两个概念两个概念中性层：
3、梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因此纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力 根据根据变形的延形的延续性可知，梁弯曲性可知，梁弯曲时从其凹入从其凹入一一侧的的纵向向线缩短区到其凸出一短区到其凸出一侧的的纵向向线伸伸长区，中区，中间必有一必有一层纵向无向无长度改度改动的的过渡渡层，称，称
4、为中性中性层 。中性中性层中性中性轴中性中性层与横截面的交与横截面的交线就是中性就是中性轴。中性层中性层中性轴中性轴Me Me 4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力3.3.假假设：1 1、平面假、平面假设：横截面：横截面变形后形后坚持持为平面，平面，只是只是绕截面内某一截面内某一轴线偏偏转了一个角度了一个角度, ,距距中性中性轴等高等高处，变形相等。形相等。 。2 2、互不、互不挤压假假设：一切：一切纵向向纤维只遭到只遭到轴向拉伸或向拉伸或紧缩，相互之，相互之间没有没有挤压。即横截。即横截面上只需正面上只需正应
5、力。力。4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力推推论：1 1、纯弯曲弯曲时梁的梁的变形本形本质上是拉伸或上是拉伸或紧缩变形，而非剪切形，而非剪切变形，梁横截面形，梁横截面宽度的改度的改动是是纵向向纤维的横向的横向变形引起的；形引起的；2 2、横截面上只需正、横截面上只需正应力，而无剪力，而无剪应力；凹力；凹侧纤维缩短，凸短，凸侧纤维伸伸长。因此凹。因此凹侧受受紧缩，存在，存在紧缩应力；凸力；凸侧受拉受拉伸，存在拉伸伸，存在拉伸应力；力；3 3、梁内既没有伸、梁内既没有伸长也没有也没有缩短的短的纤维层，叫做中性，叫
6、做中性层，中，中性性层与横截面的交与横截面的交线叫中性叫中性轴，中性，中性层将梁分成受将梁分成受压和受和受拉区，即中性拉区，即中性层一一侧作用拉伸作用拉伸应力，另一力，另一侧作用作用紧缩应力，力，中性中性层上正上正应力力为零，梁横截面的偏零，梁横截面的偏转就是就是绕其中性其中性轴旋旋转的。的。4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力梁在梁在纯弯曲弯曲时平面假平面假设，横截面仍，横截面仍坚持持为平面，平面，且与梁且与梁变形后的形后的轴线仍仍坚持正交，只是持正交，只是绕垂直垂直于于纵对称称轴的某一的某一轴转动。即中性即
7、中性轴平面假设：平面假设：mabmanbnMe Me mmnnaabb4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力r 中性层的曲率半径CABryO1O2B1dqdxMe Me mmnnaabb4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力A1B1O1O4. 4. 几何方程：几何方程： abcdABdqr rxyOO14-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力由虎克定律二
8、物理关系：二物理关系：由于纵向纤维互不挤压。于是，恣意一点均处于单项应力形状。sxsxsxsx 纯弯曲弯曲时梁横截面上任一点的正梁横截面上任一点的正应力与力与该点到中性点到中性轴的的间隔成正比，距中性隔成正比，距中性轴同一高度上各点的正同一高度上各点的正应力相等。力相等。4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力三静力学关系：三静力学关系：4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力 (3)这是是纯弯梁弯梁变形形时中性中性层曲率的表达式。曲率
9、的表达式。EIz称称为梁的抗弯梁的抗弯刚度。度。4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力弯曲正弯曲正应力力计算公式算公式4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力 中性中性轴 z 为横截面的横截面的对称称轴时称称为抗弯曲截面模量抗弯曲截面模量yzzybh4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力中性中性轴 z 不是横截面的不是横截面的对称称轴时Ozyyt，max
10、yc，max4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力四最大正四最大正应力：力： (5)4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力简单截面的截面的轴惯性矩和抗弯截面模量性矩和抗弯截面模量 矩形截面矩形截面 圆形截面形截面zybhyzd4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力 空心空心圆截面截面(4) 型型钢截面：参截面：参见型型钢表表式中式中DOdyz4-4 4
11、-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力纯弯曲弯曲实际的推行的推行横力弯曲横力弯曲时：1、由于切、由于切应力的存在梁的横截面力的存在梁的横截面发生生翘曲；曲；2、横向力、横向力还使各使各纵向向线之之间发生生挤压。平面假平面假设和和纵向向线之之间无无挤压的假的假设实践上都践上都不再成立。不再成立。4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力弹性力学的分析性力学的分析结果：果：对于于细长梁梁 l/h 5 ，纯弯曲弯曲时的正的正应力力计算算公式用于横力弯曲
12、情况，其公式用于横力弯曲情况，其结果仍足果仍足够准确。准确。lF4-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力例例1 受均布受均布载荷作用的荷作用的简支梁如下支梁如下图，试求：求：111截面上截面上1、2两点的正两点的正应力；力；2此截面上的最大正此截面上的最大正应力；力；3全梁的最大正全梁的最大正应力；力；4知知E=200GPa，求，求11截面的截面的曲率半径。曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1 Mmax12120180zy解：解：画画M M图求截面弯矩求截面弯矩304-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平
13、面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1 Mmax12120zy求求应力力180304-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力求曲率半径求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1 Mmax12120180304-4 4-4 平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时时梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正梁横截面上的正应应力力力力445 5 梁横截面上的剪梁横截面上的剪梁横截面上的剪梁横截面上的剪应应力力力力一、一、 矩形截
14、面梁横截面上的剪应力矩形截面梁横截面上的剪应力1 1、两点假、两点假设： 剪剪应力与剪力平行；力与剪力平行；矩中性矩中性轴等等间隔隔处，剪，剪应力力 相等。相等。dxxQt t方向：与横截面上剪力方向一方向：与横截面上剪力方向一样；t t大小：沿截面大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度度均匀分布，沿高度h h分布分布为抛物抛物线。最大剪最大剪应力力为平均剪平均剪应力的力的1.51.5倍。倍。2 2、几种常、几种常见截面的最大弯曲剪截面的最大弯曲剪应力力 工字工字钢截面：截面：; maxA Qt tf结论： 翼翼缘部分部分tmax腹板上的腹板上的tmax，只，只计算腹板上的算腹板上的tmax。 铅垂
15、剪垂剪应力主要腹板接受力主要腹板接受9597%，且，且tmax tmin 故工字故工字钢最大剪最大剪应力力Af 腹板的面积。; maxA Qt tf445 5 梁横截面上的剪梁横截面上的剪梁横截面上的剪梁横截面上的剪应应力力力力 圆截面： 薄壁圆环：槽槽钢：exyzPQeQehQRRzzbIQS*=，合力为腹板上; t445 5 梁横截面上的剪梁横截面上的剪梁横截面上的剪梁横截面上的剪应应力力力力4-6 4-6 梁的正梁的正梁的正梁的正应应力力力力强强度条件度条件度条件度条件 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面1、危险面与危险点分析：普通截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面
16、的上下边缘上；s ss ss sM一、梁的正一、梁的正应力力强度条件度条件2、正应力强度条件：3 3、强度条件运用：依此度条件运用：依此强度准那么可度准那么可进展三种展三种强度度计算：算：、校核强度： 校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：4 4、需求校核剪、需求校核剪应力的几种特殊情况：力的几种特殊情况：梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。各向异性资料如木材的抗剪才干较差，要校核剪应力。4-6 4-6 梁的正梁的正梁的正梁的正应应力力力力强强度条件度条件度条件度条件 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁
17、的合理截面解：解：画内力画内力图求危面内力求危面内力例2 矩形(bh=0.12m0.18m截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ+x4-6 4-6 梁的正梁的正梁的正梁的正应应力力力力强强度条件度条件度条件度条件 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面求最大求最大应力并校核力并校核强度度应力之比力之比q=3.6kN/mxM+Q+x4-6 4-6 梁的正梁的正梁的正梁的正应应力力力力强强度条件度条件度条件度条件 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面y1y2GA1A2A3A4解：解
18、：画弯矩画弯矩图并求危面内力并求危面内力例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并阐明T字梁怎样放置更合理？画危面画危面应力分布力分布图，找危，找危险点点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM4-6 4-6 梁的正梁的正梁的正梁的正应应力力力力强强度条件度条件度条件度条件 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面校核校核强度度T T字字头在上面合理。在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3
19、A44-6 4-6 梁的正梁的正梁的正梁的正应应力力力力强强度条件度条件度条件度条件 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面拉、拉、压强度不相等的度不相等的铸铁等脆性等脆性资料制成的梁料制成的梁Ozyyt，maxyc，max为充分充分发扬资料的料的强度，最合理的度，最合理的设计为4-6 4-6 梁的正梁的正梁的正梁的正应应力力力力强强度条件度条件度条件度条件 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面4-7 梁的合理梁的合理设计一、合理配置梁的荷一、合理配置梁的荷载和支座和支座控制控制强度条件：度条件：MWz4-7 梁的合理梁的合理设计二、合理二、合理选取截面外形取截面外形1、
20、 尽能尽能够使横截面面使横截面面积分布在距中性分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面以使弯曲截面系数与面积比比值W/A增大。增大。yzzybhz4-7 梁的合理梁的合理设计2、 对于由拉伸和于由拉伸和紧缩强度相等的度相等的资料料 制成的制成的梁，其横截面梁，其横截面应以中性以中性轴为对称称轴。yzzybhz4-7 梁的合理梁的合理设计3、对于拉、于拉、压强度不等的度不等的资料制成的梁，料制成的梁，应采用采用对中性中性轴不不对称的截面，以尽量使梁的最大任称的截面，以尽量使梁的最大任务拉、拉、压应力分力分别到达到达(或接近或接近)资料的料的许用拉用拉应力力 st 和和许用用压应力力 sc 。O
21、zyy1y24-7 梁的合理梁的合理设计一矩形木梁的合理高一矩形木梁的合理高宽比比R北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为bh4-7 梁的合理梁的合理设计强度：正应力：1 1、在面、在面积相等的情况下，相等的情况下，选择抗弯模量大的截面抗弯模量大的截面其它资料与其它截面外形梁的合理截面zD1zaa4-7 梁的合理梁的合理设计zD0.8Da12a1z4-7 梁的合理梁的合理设计工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z4-7 梁的合理
22、梁的合理设计三、合理三、合理设计梁的外形梁的外形思索各截面弯矩思索各截面弯矩变化可将梁部分加化可将梁部分加强或或设计为变截截面梁。面梁。F1F2 50kN 40 kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.510010320104-7 梁的合理梁的合理设计 假假设梁的各横截面上的最大正梁的各横截面上的最大正应力都到达力都到达资料料的的许用用应力，那么称力，那么称为等等强度梁度梁鱼腹梁。腹梁。(a) l2Fh(x)b(b)Fl24-7 梁的合理梁的合理设计 对于铸铁类抗拉、压才干不同的资料，最好运用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形才干弱的一方，即：假设抗拉才
23、干弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，那么令中性轴接近上端。如以下图：2 2、根据、根据资料特性料特性选择截面外形截面外形s sGz4-7 梁的合理梁的合理设计二采用二采用变截面梁截面梁 ，如以下，如以下图：最好是等强度梁，即假设为等强度矩形截面，那么高为同时Px4-7 梁的合理梁的合理设计s ss ss ss s4-8 4-8 思索思索思索思索资资料塑性料塑性料塑性料塑性时时的极限弯矩的极限弯矩的极限弯矩的极限弯矩全面屈服后,平面假设不再成立;s se essssssss理想弹塑性资料的理想弹塑性资料的s-e 图图ssssssss弹性极限弹性极限分布图分布图塑性极限塑性极限分布图分布图例例4 4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M maxM max与塑性极限弯与塑性极限弯矩矩 Mjx Mjx之比。之比。解：4-8 4-8 思索思索思索思索资资料塑性料塑性料塑性料塑性时时的极限弯矩的极限弯矩的极限弯矩的极限弯矩LOGO
