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1、第二讲复变函数与解析函数& 1. 复变函数的定义复变函数的定义& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射5 复变函数复变函数1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义A 例例1例例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作： 定义域定义域函数值集合函数值集合 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之
2、间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-1oxy(z)图图1-1uv(w)o例例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射为多值函数为多值函数,2支支.定义定义
3、 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.例例 已知映射已知映射w= z3 ，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。例例& 1. 函数的极限函数的极限& 2. 运算性质运算性质& 3.函数的连续性函数的连续性6 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性1. 函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个
4、预先给定的邻域中邻域中A (1)(1) 意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. .(2) A是复数是复数. . 2. 运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理1(3) 若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. .定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !例例1例例2例例33.函数的连续性函数的连续性定义定义定理定理3例例4 证明证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。证明证明xy(z)ozz
5、例例5 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为连续函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。有界性：有界性：第二章第二章第二章第二章 解析函数解析函数解析函数解析函数& 第一节第一节第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念& 第二节第二节第二节第二节 函数解析的充要条件函数解析的充要条件函数解析的充要条件函数解析的充要条件& 第三节第三节第三节第三节 初等函数初等函数初等函数初等函数& 1. 1. 复变函数的导数定义复变函数的导数定义复变函数的导数定义复变函数的导数定义&
6、 2. 2. 解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念2.1 解析函数的概念解析函数的概念 一一. 复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f (z)在区域在区域D内可导内可导。A (1) (1) z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2)
7、(2) z=z=x+iy,x+iy,z z= =x+iy, f=f(z+z)-f(z) x+iy, f=f(z+z)-f(z) 例例1(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)复合函数的导数复合函数的导数 ( f g(z
8、) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0。&思考题思考题思考题思考题例例3 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例2解解解解例例4 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。证明证明A (1) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原
9、故。以任意方式趋于零的原故。 (2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续可导与连续若若 w=f (z) 在点在点 z0 处可导处可导 w=f (z) 点点 z0 处连续处连续.?二二. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则
10、称 f (z)在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的解析函内的解析函数数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。如果如果f (z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f (z)的的奇点奇点。A (1) w=f (z) 在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。 (2) 函数函数f (z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。定理定理1 设设w=f (z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及及 f (z) g(z) (g (z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。定理定理 2 设设 w=f (h) 在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析, h=g(z) 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析, h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。u注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；u注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；u注解3、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：注解：
