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1、 P问题问题1:切线切线l问题问题2:2: 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。xyo不能不能l2l1AB0xy直线直线l1与曲线与曲线C C有唯一有唯一公共点公共点B B，但我们不能但我们不能说说l1与曲线与曲线C C相切相切如图如图: :直线直线 是曲线的切线吗？是曲线的切线吗？ 呢？呢？直线直线 与曲线与曲线C C有不止一个公共点有不止一个公共点A A，我们能
2、说我们能说 是曲线是曲线C C在点在点A A处的切线处的切线思考题思考题 1.曲线在某一点处的切线只能与曲线有曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？下图中，直线是否是曲唯一公共点吗？下图中，直线是否是曲线在点线在点P P处的切线？处的切线？xoyPxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Txy一、曲线的切线一、曲线的切线y0=f(x0)， y1=f(x1)当自变量从当自变量从x0变化到变化到x1时，时，相应的函数值从相应的函数值从f(x0)变化到变化到f(x1)y= f(x1)- f(x0)函数值的增量函数值的增量x= x1- x0自变量的增量自变量的增量Q(x0+ x, y
3、0+ y)y=f(x0+ x)-f(x0)xoyy=f(x) 设曲线设曲线C是函数是函数y=f(x)的图象，的图象，在曲线在曲线C上取一点上取一点P(x0,y0)及邻近一及邻近一点点Q(x0+x,y0+y),过过P,Q两点作两点作割割线线， 当点当点Q沿着曲线沿着曲线无限接近无限接近于点于点P点点P处的处的切线切线。即即x0时时, 如果割线如果割线PQ有一个有一个极极限位置限位置PT, 那么直线那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在曲线在曲线在某一点处某一点处的切线的定义的切线的定义xyPQTxyoPQM问题问题3 3为什么与抛物线对称轴平行的直线不是为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？
4、抛物线的切线？ 设割线设割线PQ的倾斜角为的倾斜角为，切线切线PT的倾斜角为的倾斜角为 当当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线在点，就是曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，即，即tan=Mxy曲线曲线在某一点处在某一点处的切线的斜率公式的切线的斜率公式x oyy=f(x)PQtan=PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义: 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线
5、的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:这个概念这个概念: 提供了提供了求曲线上某点切线的斜率的求曲线上某点切线的斜率的一种一种方法方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关与该点的位置有关;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在则在3) 此点有切线此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切则在此点处无切线线;3
6、) 曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T解：解：我们用曲线在，处的切线，我们用曲线在，处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况当时，曲线在处的切线平行于当时，曲线在处的切线平行于 轴轴所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降当时，曲线在处的切线的斜率当时，曲线在处的切线的斜率 所以，在附近曲线下降，即函数所以，在附近曲线下降，即函数 在附近单调递减在附近单调递减当时，曲线在处的切线的斜率当时，曲线在处的切线的斜率所以，在附近曲线下降，即函数所以，在附近曲线下降，即函数 在附近也单调递减在附近也单调递减
