高维波动方程的初值问题

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1、3.2 3.2 高维波动方程的初值问题高维波动方程的初值问题3.2.1 3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式三维波动方程的基尔霍夫公式上节我们讨论了上节我们讨论了一维波动方程一维波动方程的初值问题，的初值问题，得到了得到了达朗贝尔公式达朗贝尔公式。对于对于三维波动方程三维波动方程，可，可用用球面平均法球面平均法形式地推出解的表达式。形式地推出解的表达式。这表达这表达式通常被称为式通常被称为基尔霍夫公式基尔霍夫公式。现在，我们考察三维波动方程的初值问题现在，我们考察三维波动方程的初值问题(27(27) )(28(28) )其中其中与与为已知函数。为已知函数。1(27(27) )(28(28)

2、)首先，任意固定点首先，任意固定点表示以表示以为球心，为球心，为半径的球面。为半径的球面。 利用利用球坐标球坐标，则球面上的点，则球面上的点用用表示球面表示球面的的单位单位外法向外法向，则球面则球面上的点可简单记作上的点可简单记作同时同时也可被看成单位球面上的点。也可被看成单位球面上的点。因此，我们因此，我们也记球面上的微元也记球面上的微元为球心，为球心，2(27(27) )(28(28) )此外，记此外，记表示以表示以为球心，为球心， 为半径的球体，为半径的球体，则在则在上的体积分用球坐标可表示为上的体积分用球坐标可表示为现在引进现在引进 的的球面平均数球面平均数对上式两边对对上式两边对取极

3、限取极限得得3(27(27) )(28(28) )微积分里面的微积分里面的奥奥- -高公式高公式其中其中为简单闭曲面为简单闭曲面外法向外法向。所围成的区域，所围成的区域，是是 的的单位单位可写成散度形式可写成散度形式4(27(27) )(28(28) )微积分里面的微积分里面的奥奥- -高公式高公式写成写成散度形式散度形式为为其中其中为简单闭曲面为简单闭曲面外法向外法向。所围成的区域，所围成的区域，是是 的的单位单位现将方程现将方程(27)(27)两边在两边在上积分得上积分得5(27(27) )(28(28) )微积分里面的微积分里面的奥奥- -高公式高公式写成写成散度形式散度形式为为其中其中

4、为简单闭曲面为简单闭曲面外法向外法向。所围成的区域，所围成的区域，是是 的的单位单位现将方程现将方程(27)(27)两边在两边在上积分得上积分得6(27(27) )(28(28) )微积分里面的微积分里面的奥奥- -高公式高公式写成写成散度形式散度形式为为其中其中为简单闭曲面为简单闭曲面外法向外法向。所围成的区域，所围成的区域，是是 的的单位单位现将方程现将方程(27)(27)两边在两边在上积分得上积分得7(27(27) )(28(28) )另一方面，利用另一方面，利用则有则有8(27(27) )(28(28) )于是于是两边对两边对 求导得求导得因此可得因此可得的通解为的通解为其中其中为二阶

5、可微函数。为二阶可微函数。9(27(27) )(28(28) )上式两端分别对上式两端分别对求导得求导得(29(29) )(30(30) )上面的两式中，令上面的两式中，令得得在在(29)(30)(29)(30)式中取式中取得得10(27(27) )(28(28) )在上式中取在上式中取并代入并代入可得可得11(27(27) )(28(28) )当初始函数足够光滑时，容易验证，由公式当初始函数足够光滑时，容易验证，由公式(31)(31)所表示的函数所表示的函数确实是问题确实是问题(27)(28)(27)(28)的解。的解。(31(31) )三维波动方程三维波动方程的泊松公式的泊松公式12例例1

6、 1 求下列初值问题的解求下列初值问题的解(31(31) )解解由公式由公式(31)(31)得得13例例1 1 求下列初值问题的解求下列初值问题的解解解由公式由公式(31)(31)得得(31(31) )14(32(32) )(33(33) )(34(34) )3.2.2 3.2.2 降维法降维法用用降维法降维法求解二维波动方程的初值问题求解二维波动方程的初值问题由于可把二维波动方程的初值问题看做是三维由于可把二维波动方程的初值问题看做是三维波动方程初值问题的特殊情况，波动方程初值问题的特殊情况， 故可用故可用三维波动三维波动方程的泊松公式方程的泊松公式来表示二维波动方程初值问题的来表示二维波动

7、方程初值问题的解，解， 并由此导出二维问题解的表示式的另外一种并由此导出二维问题解的表示式的另外一种形式。形式。一种由高维问题的解引出低维问题解的方法。一种由高维问题的解引出低维问题解的方法。15(35(35) )(32(32) )(33(33) )(34(34) )利用公式利用公式(31)(31)可得二维波动方程初值问题可得二维波动方程初值问题(32)-(34)(32)-(34)的解为的解为这里的积分是在三维空间这里的积分是在三维空间中的球面中的球面上上进行的。进行的。16(35(35) )(32(32) )(33(33) )(34(34) )由于由于及及都是与都是与无关的函数，无关的函数，

8、 因此在球面上因此在球面上的积分可以化为它在平面的积分可以化为它在平面常数上的投影常数上的投影上的积分。上的积分。由于球面上的面积元素由于球面上的面积元素和它的投影和它的投影平面元素平面元素之间成立着如下的关系：之间成立着如下的关系：17(35(35) )(32(32) )(33(33) )(34(34) )其中其中为这两个面积元素法线方向间的夹角。为这两个面积元素法线方向间的夹角。因此有因此有注意到上下半球面上的积分都化成同一圆上的注意到上下半球面上的积分都化成同一圆上的积分，积分，因此，应取圆因此，应取圆上的积分的上的积分的2 2倍，倍，18(35(35) )(32(32) )(33(33

9、) )(34(34) )所以所以(36(36) )19(32(32) )(33(33) )(34(34) )(36(36) )上式称为上式称为二维波动方程初值问题的泊松公式二维波动方程初值问题的泊松公式。由于积分区域由于积分区域是以是以为半径的圆域。为半径的圆域。为中心，为中心，所以我们通常采用所以我们通常采用极坐标极坐标来计算来计算(36)(36)式中的积分。式中的积分。20例例2 2 求下列问题的解求下列问题的解解解由公式由公式(36)(36)得得(36(36) )21(31(31) )3.2.3 3.2.3 解的物理意义解的物理意义假设初始扰动仅发生在空间假设初始扰动仅发生在空间某个有限

10、域某个有限域内内. .在区域在区域外外任取一点任取一点我们考察在点我们考察在点处在各个不同时刻所受到处在各个不同时刻所受到初始扰动影响的情况初始扰动影响的情况. .我们知道解我们知道解在点在点和时刻和时刻 的值的值是由是由初值函数初值函数在球面在球面和和上的值所决定上的值所决定, ,所以只有所以只有当球面当球面和区域和区域相交时相交时, ,(31)(31)式中的积分才不为式中的积分才不为0 0，从而，从而在区域在区域外外任取一点任取一点22(31(31) )用用分别表示点分别表示点到区域到区域当当时，时，的的最近最近和和最远最远距离，如图距离，如图还有一段距离，还有一段距离，积分为积分为0 0

11、，处处所以该球面上的所以该球面上的和和这时扰动还未达到点这时扰动还未达到点因而因而球面球面与区域与区域值为值为0 0，和和当当时，时，初始扰动在初始扰动在处于扰动状态。处于扰动状态。积分的值一般不为积分的值一般不为0 0，此时点此时点相交，相交，球面球面一直与区域一直与区域的值一般也不为的值一般也不为0 0，那那以瞬间达到点以瞬间达到点处。处。23(31(31) )用用分别表示点分别表示点到区域到区域当当时，时，的的最近最近和和最远最远距离，如图距离，如图初始扰动区域初始扰动区域开始又取零值，开始又取零值，不再与它相交，不再与它相交，和和这说明扰动已经越过了这说明扰动已经越过了球面球面已越过了

12、已越过了因此，在因此，在中任一点处的扰动引起的波以速度中任一点处的扰动引起的波以速度有界区域有界区域向周围传播，向周围传播，从从中扰动影响的区域，中扰动影响的区域，秒时受到初始时刻区域秒时受到初始时刻区域点，点，点处恢复到原来的静止状态。点处恢复到原来的静止状态。就是所有以就是所有以为中心，为中心，因此，在因此，在中扰动影响的区域，中扰动影响的区域，秒时受到初始时刻区域秒时受到初始时刻区域就是所有以就是所有以为中心，为中心，24(31(31) )因此，在因此，在中任一点处的扰动引起的波以速度中任一点处的扰动引起的波以速度有界区域有界区域向周围传播，向周围传播，中扰动中扰动影响的区域影响的区域，

13、秒时受到初始时刻区域秒时受到初始时刻区域就是所有以就是所有以为中心，为中心，为半径的为半径的球面的全体球面的全体。当当 足够大时，这种球面簇有足够大时，这种球面簇有内外两个包络面内外两个包络面。25(31(31) )当当 足够大时，这种球面簇有足够大时，这种球面簇有内外两个包络面内外两个包络面。外包络面外包络面称为传播波的称为传播波的前阵面前阵面( (简称简称波前波前) )， 内包络内包络面面称为传播波的称为传播波的后阵面后阵面( (简称简称波后波后) )。 这前后阵面的这前后阵面的中间部分就是受到初始扰动影响的部分。中间部分就是受到初始扰动影响的部分。26(31(31) )前阵面以外前阵面以

14、外的部分表示的部分表示波尚未传到波尚未传到的区域，的区域，而而后阵面以内后阵面以内的部分式的部分式波已传过并恢复了原来状态波已传过并恢复了原来状态的区域。的区域。因此，当初始扰动限制在空间某局部范围因此，当初始扰动限制在空间某局部范围内时，波的传播由清晰的前阵面和后阵面，内时，波的传播由清晰的前阵面和后阵面，现象在物理学中称为现象在物理学中称为惠更斯原理惠更斯原理或或无后效现象无后效现象。这种这种27(31(31) )由于在点由于在点 这种现象在物理学中称为这种现象在物理学中称为惠更斯原理惠更斯原理或或无后效无后效现象现象。时它的影响是时它的影响是在在为中心，为中心，为半径的球面为半径的球面处

15、的扰动，处的扰动，在以在以上，上，故解故解(31)(31)称为称为球面波球面波。28(36(36) )对于二维波动方程初值问题的解对于二维波动方程初值问题的解(36)(36)也可作也可作类似的讨论。类似的讨论。 但有一点值得注意，但有一点值得注意， 由于积分是在由于积分是在这个圆域上进行的，这个圆域上进行的，所以对任一点所以对任一点随着时间随着时间 的增加，的增加，由由等于等于0 0变为不等于变为不等于0 0之后，之后， 就不会像空间情形那样就不会像空间情形那样又由不等于又由不等于0 0变为等于变为等于0 0了，了，但将从某一时刻起但将从某一时刻起逐渐减小。逐渐减小。所以所以二维情形与三维情形

16、有明显不同二维情形与三维情形有明显不同之处。之处。29(36(36) )对于二维问题，可以把它看作所给初始扰动对于二维问题，可以把它看作所给初始扰动坐标的空间问题。坐标的空间问题。对于二维情形，传播波对于二维情形，传播波只有前阵面只有前阵面，而，而无后无后阵面阵面，惠更斯原理不再成立。，惠更斯原理不再成立。这种现象称为这种现象称为波的弥散波的弥散，或者说，这种，或者说，这种波具有后效现象波具有后效现象。是在一个无限长的柱体内发生，而且不依赖于是在一个无限长的柱体内发生，而且不依赖于这样在点这样在点处的初始扰动，应处的初始扰动，应看作是过点看作是过点且平行于且平行于轴的无限长直线上的初轴的无限长直线上的初始扰动，始扰动， 在在时它的影响是在以该直线为轴，时它的影响是在以该直线为轴，为半径的圆柱面内，为半径的圆柱面内，因此解因此解(36)(36)称为称为柱面波柱面波。30内容小结内容小结(31(31) )(27(27) )(28(28) )1. 1. 三维波动方程三维波动方程初值问题的泊松公式初值问题的泊松公式31(36(36) )(32(32) )(33(33) )(34(34) )内容小结内容小结2. 2. 二维波动方程二维波动方程初值问题的泊松公式初值问题的泊松公式32