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1、2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义1知识回顾知识回顾 1. 向量与数量有何区别向量与数量有何区别? 2. 怎样来表示向量怎样来表示向量? 3. 什么叫相等向量什么叫相等向量?数量只有大小没有方向数量只有大小没有方向,如如:长度长度,质量质量,面积等面积等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向线段来表示用有向线段来表示AB2）用字母来表示用字母来表示如,长度相等长度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.正因为如此正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下的前提下,移到任何
2、位置移到任何位置.即向量可以平移即向量可以平移24.平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向量5.共线向量：向量可以平移，平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称作共线向量因此平行向量又称作共线向量3 上海上海香港香港台北台北引入引入1： 由于大由于大陆和台湾没陆和台湾没有直航，因有直航，因此要从上海此要从上海去台湾探亲，去台湾探亲，乘飞机乘飞机要先从上海要先从上海到香港，再到香港，再从香港到台从香港到台北，这两次北，这两次位移之和是位移之和是什么？什么？ 4上海上海香港香港台北台北OAB 由于大由于大陆和台湾没陆和台湾没有直航，因有直航，因此要从上海
3、此要从上海去台湾探亲，去台湾探亲，乘飞机乘飞机要先从上海要先从上海到香港，再到香港，再从香港到台从香港到台北，这两次北，这两次位移之和是位移之和是什么？什么？ 5OABOA+AB=OB6向量加法的定义向量加法的定义:我们把求两个我们把求两个向量向量 的和的运算的和的运算,叫做向量叫做向量的加法的加法, 叫做叫做 的和向量的和向量.两个向量的和仍两个向量的和仍然是一个然是一个向量向量.7向量的加法的三角形法则向量的加法的三角形法则：CAB首首尾尾相相接接首首尾尾连连8例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。 则则 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任
4、取一点O，作作 ， ，例题讲解：例题讲解：9尝试练习一：尝试练习一：ABCDE（1）根据图示填空：）根据图示填空：10思考思考7 7： 等于什么向量？等于什么向量？等于什么向量等于什么向量？11ABC(1)同向(2)反向ABC12判断判断 的大小的大小1、 共线共线(1)同向(2)反向13判断判断 的大小的大小2、不共线、不共线oAB三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边综合以上探究我们可得结论：14 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸长了伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一
5、个力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了相同长度EOEO。从力学的观点分析，力。从力学的观点分析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME OF图图2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：15OABC起起点点相相同同2.向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：-16OABC起起点点相相同同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则： 文字表述为：以文字表述为：以同一起点同一起点的两个的两个向量为向量为邻边邻边作平行四边形，则作平行四边形，则以公共以公共起点为起点的对角线起点
6、为起点的对角线所对应向量就是所对应向量就是和向量和向量。17对于向量的加法的理解需要注意下面两点对于向量的加法的理解需要注意下面两点:(1) 两个向量的和仍然是向量两个向量的和仍然是向量(简称和向量简称和向量)(2) 位移的合成是三角形法则的物理模型位移的合成是三角形法则的物理模型.力的合成力的合成为平行四边形法则的物理模型为平行四边形法则的物理模型.18例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，以以 为邻边作为邻边作 ，连结连结OC，则，则平行四边形法则平行四边形法则19O练习2：如图，已知
7、 、 ，用向量加法的平行四边形法则作出 。(1)(2)O20向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法AC2.它们之们有联系吗它们之们有联系吗? 1.两种方法做出的结果一样吗两种方法做出的结果一样吗?向向量量加加法法的的定定义义任意给出两个向量任意给出两个向量a与与b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + b21bbaba向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法三三 角角 形形 法法 则则:平行四边形法则平行四边形法则:AC2.它们之们有联系吗它们之们有联系吗? 1.两种方法做出的结果一样吗两种方法做出的结果一样吗?向向量量加加法法的的定定义义任意给出两个向量任
8、意给出两个向量a与与b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + bb22练习1：如图：已知向量 、 用向量加法的三角形法则作出 。(1)（2）(3)(4)23尝试练习二：尝试练习二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三角形法则和和平行四边形平行四边形法则作出法则作出 24思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。律？请画图进行探索。OABCACD25baba+abba+bac+ab+
9、()a+bc+(),.a如图，已知如图，已知 , , ，请作出，请作出bcab+ab+cb+,bacc26数学应用数学应用如图，一艘船从如图，一艘船从 A点出发以点出发以的速度向垂直于的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以对岸的方向行驶，同时河水以km/h的速度向东流的速度向东流,求船实际行驶速度求船实际行驶速度 的大小与方向的大小与方向.解解:如图如图,设用向量设用向量 表示船向垂直于对岸表示船向垂直于对岸的速度的速度,用向量用向量 表示水流的速度表示水流的速度答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 .以以AC,AB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形,则则 就是船实
10、际行驶的速度就是船实际行驶的速度27向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法若水流速度和船速的大小保持不变若水流速度和船速的大小保持不变,最后要能使渡船垂直过江最后要能使渡船垂直过江,则船的则船的航向应该如何航向应该如何?在白纸上作图探究在白纸上作图探究.探究探究D5C281、求两个向量、求两个向量_ 的运算的运算,叫做向量的加法。叫做向量的加法。2、 向量的加法可由向量的加法可由_或或_ 求得。求得。3、利用三角形法则求向量和要、利用三角形法则求向量和要_，和和三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则“首尾相接首尾相接”向量的起点放在一起。向量的起点放在一起。利用平行四边形求向量
11、和要将利用平行四边形求向量和要将_29.化简化简练一练练一练.根据图示填空根据图示填空ABDECA1A2+A2A3=_(A1A2+A3A4 )+A2A3=_30数学应用数学应用31请选用合适符号连接：请选用合适符号连接：探究探究32练习题练习题33练习：限时练习：限时2分钟分钟3412本节课学习的数学知识本节课学习的数学方法特殊与一般，归纳与类比，数形结合，几何作图，向量加法的实际应用回顾与小结3.向量加法满足交换律与结合律向量加法满足交换律与结合律2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则352.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运
12、算及其几何意义36（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考：思考：如设如设实数实数 的相反数记作的相反数记作 。如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？回顾：回顾：37一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：（1）（3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。记作：记作： 的相反向量仍是的相反向量仍是 。二、向量的减法：二、向量
13、的减法：（2）38BAC设设DE又又所以所以你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？ 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ 39三、几何意义：三、几何意义： 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量注意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地BAO（三三角角形形法法则则）40练习：练习：（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得终点作向量，所得向量是什么呢？向量是什么呢？（2）当）当 ， 共
14、线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ABOABO41已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。例例3OBACD作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，则则作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。点。43练习：练习：已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。（1）（2）（3）（4）44例例4在在 ABCD中，中，你能用你能用 表示表示 吗？吗？DBAC 与与 互相垂直？互相垂直？ 变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条满足什么条件时，件时， 变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条满足什么条件时，件时， 4547向量的减法向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（二、几何意义（起点相同起点相同，由减向量的终点，由减向量的终点 指向指向被减向量被减向量的终点）。的终点）。48
