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1、第第 4 章章 IIRIIR滤波器设计滤波器设计葛青葛青4.14.1滤波器的概念及分类滤波器的概念及分类l数字滤波器：数字滤波器：通过对数字信号的运算处理，改变信号频谱，完成滤波作用的算法或装置。数字滤波器具有稳定、适应性强、线性相位等优点,避免了模拟滤波器固有的电压漂移、温度漂移和噪声等问题。 2.2.滤波原理滤波原理线性时不变系统线性时不变系统输入输出关系可用如下数学函数来描述输入输出关系可用如下数学函数来描述 时域：时域： 频域：频域： l幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况率成分的衰减情况l相频特性：反映各频率成分通过滤波器后相频特性
2、：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况（在时间上的延时情况（ 联系无失真传输条联系无失真传输条件）件） 2.2.滤波原理滤波原理假定假定 和和 如图（如图（a）、（）、（b）所示，则由上式）所示，则由上式可得出可得出 的波形如图（的波形如图（c）所示。）所示。滤波原理波原理滤波后，输出滤波后，输出 频率成分中频率成分中 的部分被滤除掉了。的部分被滤除掉了。设计不同形状的设计不同形状的 ，就可以得到不同的滤波结果。，就可以得到不同的滤波结果。 2.2.滤波原理滤波原理l滤波器的设计就是用一个因果稳定的线性移不变系统的系统函数去逼近理想滤波器的性能。l数字滤波器设计数字滤波器设计: :确定
3、传输函数H(z)的过程。 滤波器的设计原理滤波器的设计原理l表征滤波器频率响应的特征参量（表征滤波器频率响应的特征参量（3个参量）个参量）（1 1）幅度平方响应：幅度的平方与频率的关系）幅度平方响应：幅度的平方与频率的关系（2 2）相位响应）相位响应（3 3）群延迟响应）群延迟响应（物理意义）:相位对角频率的导数的负值。若滤波器通带内群延迟响应=常数，则为线性相位滤波器，联系无失真传输问题。无失真传输系统无失真传输系统 如果系统响应仅是输入信号在时间上的延时和幅度上的放大或缩小，就认为信号在传输过程中没有失真，这种系统称为无失真传输系统无失真传输系统。无失真传输系统无失真传输系统 3.3.滤波
4、器的分类滤波器的分类分类标准可分类型处理信号的方式经典滤波器和现代滤波器处理信号的类型模拟滤波器和数字滤波器通过信号的频段低通、高通、带通和带阻滤波器实现方法模拟滤波器数字滤波器LC滤波器、螺旋滤波器、晶体滤波器、陶瓷滤波器、声表面滤波器、微带滤波器和有源滤波器等有限冲激响应滤波器无限冲激响应滤波器设计方法Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器和椭圆滤波器等l经典滤波器：用于提取有用的信号，抑经典滤波器：用于提取有用的信号，抑制不需要的干扰；或将信号分成不同的制不需要的干扰；或将信号分成不同的频率成分；频率成分；l现代滤波：信号检测和信号估计现代滤波：信号检测和信号估计经典滤波
5、器和现代滤波器经典滤波器和现代滤波器模拟和数字滤波器的理想幅频特性曲线模拟和数字滤波器的理想幅频特性曲线 模模拟滤波器幅波器幅频特性曲特性曲线数字数字滤波器幅波器幅频特性曲特性曲线x(n)y(n)数字信号处理？ IIR(infinite impulse response):IIR(infinite impulse response):有限冲激响应滤波器有限冲激响应滤波器, ,单位冲激响应单位冲激响应h(n)h(n)是无限是无限长序列长序列 FIR(finite impulse response): FIR(finite impulse response):无限冲激响应滤波器无限冲激响应滤波器,
6、 ,单位冲激响应单位冲激响应h(n)h(n)是有限是有限长序列长序列数字滤波器的分类数字滤波器的分类x(n)y(n)数字信号处理？IIR系统与系统与FIR系统系统l从系统函数的构造来区分1.IIR系统：至少有一个极点。包括全极点系统（分子只有常数项）和零极点系统（分子不止常数项）；有反馈环路，采用递归型结构。2.FIR系统：收敛域内无极点，是全零点系统。无反馈环路，多采用非递归结构。IIRIIR滤波器及滤波器及FIRFIR滤波器的系统函数滤波器的系统函数l有限冲激响应滤波器的传输函数为l无限冲激响应滤波器的传输函数为不全为零不全为零4.4.数字滤波器的性能要求l一个理想滤波器，要求所在通频带内
7、幅频响一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响应是一常数；相位频率相应为零或是频率的应是一常数；相位频率相应为零或是频率的线性函数。但一个实际的滤波器要是不可能线性函数。但一个实际的滤波器要是不可能得到上述幅频和相频响应。以低通滤波器为得到上述幅频和相频响应。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围围。4.4.数字滤波器的性能要求p p：通带衰减通带衰减 s s：阻带衰减阻带衰减 p p：通带截止频率通带截止频率s s：阻带截止频率阻带截止频率p p-s s ：过渡带过渡带 通带允许的最大衰减通带允许的最大衰减 阻带最小衰减：阻带最小衰减： 4
8、.4.数字滤波器的性能要求式中假定式中假定 被归一化为被归一化为1 1l按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标术指标l一个因果稳定的离散一个因果稳定的离散LSILSI系统的系统函数系统的系统函数H H( (z z) )逼近此性能指标逼近此性能指标l利用有限精度算法实现此系统函数：如运算利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等结构、字长的选择等l实际技术实现：软件法、硬件法或实际技术实现：软件法、硬件法或DSPDSP芯片芯片法法数字滤波器的设计过程数字滤波器的设计过程数字滤波器的设计数字滤波器的设计lIIRIIR滤波器设计主要内容包括：
9、滤波器设计主要内容包括：巴特沃思、切比雪夫模拟低通滤波器设计；巴特沃思、切比雪夫模拟低通滤波器设计；脉冲响应不变法和双线性变换法的数字化变脉冲响应不变法和双线性变换法的数字化变换方法；换方法；数字高通、带通和带阻滤波器的设计。数字高通、带通和带阻滤波器的设计。l而而FIRFIR滤波器是直接采用的数字式设计方法。滤波器是直接采用的数字式设计方法。针对针对FIRFIR滤波器特征，首先介绍了其线性相位滤波器特征，首先介绍了其线性相位的实现条件，然后介绍了窗函数法和频率抽的实现条件，然后介绍了窗函数法和频率抽样法的设计方法。样法的设计方法。 设计设计IIRIIR数字滤波器一般有以下两种方法：数字滤波器
10、一般有以下两种方法：l1. 1. 模拟滤波器模拟滤波器: :首先设计一个合适的模拟滤首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等阻等。l2.直接在频域或者时域中进行数字滤波器设直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计算机作计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。辅助设计。4.2 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计l IIR滤波器以模拟低通滤波器为
11、基础的设计方滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，带阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计过程中有两种不同的变换在设计过程中有两种不同的变换,频带变换和模频带变换和模拟拟/数字变换。根据这两种变换的先后次序，引数字变换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方法出两种设计方法。 4.2 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计归一化归一化模拟低通模拟低通模拟低通、模拟低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻模拟域模拟域频
12、带变换频带变换双线性双线性变换变换归一化归一化模拟低通模拟低通数字数字低通低通数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字域数字域频带变换频带变换或双线性或双线性变换变换冲激响应冲激响应不变法不变法其它非低通数字滤波器的设计过程其它非低通数字滤波器的设计过程IIRIIR的设计方法的设计方法借用模拟滤波器借用模拟滤波器先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指标的数字滤波器。满足给定指标的数字滤波器。设计步骤设计步骤 将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤 波器的技术指标；波器的技术指标；根据转换后
13、的技术指标设计模拟原型滤波器；根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器； 按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。4 4.2.2.1.1 模拟低通滤波器的设计模拟低通滤波器的设计常用模拟低通滤波器及其特点1.巴特沃思巴特沃思(Butterworth)(Butterworth)滤波器滤波器: 特点是从通带中心向两边幅频特性单调下降；2.2.切比雪夫型切比雪夫型I(Chebyshev)滤波器:通带内有等波纹幅频特性函数，阻带内有单调下降的幅频特性函数；3.3.切比雪夫型切比雪夫型II(Chebyshev)滤波器:通带内有单调下降的幅频特性函数，阻带内有等波
14、纹幅频特性函数；4. .椭圆椭圆滤波器(又称考尔Cauer滤波器或双切比雪夫切比雪夫滤波器):通带和阻带内均有等波纹幅频特性；5.贝塞尔贝塞尔(Bessel)(Bessel)滤波器滤波器（又称最大平坦群时延滤波器）:在中心频率附近逼近线性相位特性；模拟滤波器的设计过程模拟滤波器的设计过程（1）根据要求确定设计指标；（2）选择滤波器类型；（3）计算滤波器阶数；（4）通过查表或计算确定滤波器的系统 函数Ha(s);（5）综合实现并装配调试；4 4.2.2.1.1 模拟低通滤波器的设计模拟低通滤波器的设计1.巴特沃思低通滤波器（1）基本性质 巴特沃思滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃
15、斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。 N N为滤波器阶数为滤波器阶数c c为为3dB3dB截止频率截止频率巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数巴特沃斯滤波器的主要特征 a.对所有的N: 即即b. 是 的单调下降函数。c. 随着阶次N的增大而更接近于理想低通滤波器。 归一化原型滤波器是指截止频率归一化原型滤波器是指截止频率 已经归一已经归一化成化成 的低通滤波器。对于截止频率为的低通滤波器。对于截止频率为 某某个低通滤波器，则令个低通滤波器，则令 替归一化原型滤波器系统替归一化
16、原型滤波器系统函数中的函数中的 ， 对于其他高通、带通、带阻滤波器，可应用后面讨对于其他高通、带通、带阻滤波器，可应用后面讨论到的频带变换法，由其变换得出。论到的频带变换法，由其变换得出。 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器的阶次， 为3dB截频。( (2 2) )巴特沃思低通滤波器巴特沃思低通滤波器设计过程设计过程通带最大衰减和阻带最小衰减可由定义式求出通带最大衰减和阻带最小衰减可由定义式求出: :( (设设=0=0处幅度归一化到处幅度归一化到1 1) ), , 则则: :(2)巴特沃思低通滤波器设计过程1)1)求出求出N NN Nminmin
17、应取向上取整。应取向上取整。2 2) )如技术指标未给出如技术指标未给出 ，则可由下式计算：，则可由下式计算： 或或采用上式求采用上式求 ，阻带指标有富裕量；，阻带指标有富裕量；下式则通带指标有富裕量。下式则通带指标有富裕量。查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 , 即得到实际滤波器传输函数Ha(s)。3)求系统函数Ha(s)低通巴特沃斯滤波器设计步骤：低通巴特沃斯滤波器设计步骤：（1 1）由）由 求滤波器阶次求滤波器阶次N N；（2 2）由）由N N查表，求出归一化传输函数查表，求出归一化传输函数 ；（3 3）令）令 代入代入 ，得实际，得实际 滤波器传输函数滤波器
18、传输函数H Ha a(s) (s) 。 N Nminmin应取向上取整。应取向上取整。N及 计算或通带边频: 通带的最大衰减为: 阻带边频为: 阻带的最小衰减为: 例:设计一巴特沃思低通滤波器，使其满足以下指标: 解:根据滤波器技术指标 取N=4, 查表得四阶巴特沃思多项式，得归一化系统函数表达式确定阶次N巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数代入代入1.巴特沃思滤波器设计步骤：巴特沃思滤波器设计步骤：(1)(1)根据技术指标求根据技术指标求求出滤波器的阶数N和3d
19、B截止频率N Nminmin应取向上取整。应取向上取整。或或1.巴特沃思滤波器设计步骤：巴特沃思滤波器设计步骤：(2)(2)求系统函数求系统函数Ha(s) 1)1)查表求查表求 Ha(s) 查表求得归一化传输函数查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 , 得到实际滤波器传输函数。求滤波器的极点，并由求滤波器的极点，并由s s平面左半平面的平面左半平面的极点构成极点构成 。幅度平方函数极点为： 将s平面左半平面的N个极点分配给2)极点法极点法求系统函数Ha(s) 例：例：已知已知f fp p=5kHz=5kHz，p p=2dB=2dB，f fs s=12kHz=12kHz
20、， s s=30dB=30dB，设计巴特沃斯低通滤波器。，设计巴特沃斯低通滤波器。 解：（解：（1 1）确定阶次）确定阶次N N： 取取N=5N=5，其极点为，其极点为（归一化极点） （2 2）查表求极点：）查表求极点：P1,2=-0.3090P1,2=-0.3090 j0.9511; j0.9511; p3,4=-0.8090 p3,4=-0.8090 j0.5857; p0=-1.000 j0.5857; p0=-1.000所以所以 （3）求）求 c：所以所以s比题目中给出的指标小比题目中给出的指标小，过渡带符合要求。过渡带符合要求。（4）去归一化，求）去归一化，求Ha(S)将将p=s/c
21、代入代入Ha(P)，得：，得：切比雪夫滤波器引入原因：切比雪夫滤波器引入原因：Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在阻带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因此并不经济。更有效的方法是将指标的精度要求均匀的分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀分布在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。4.2.24.2.2切比雪夫滤波器设计切比雪夫滤波器设计通带内等波纹，阻带内单调通带内等波纹，阻带内单调-切比雪夫切比雪夫1 1型型通带内单调，阻带内等波纹通带内
22、单调，阻带内等波纹-切比雪夫切比雪夫2 2型型切比雪夫切比雪夫1 1型的幅度平方函数：型的幅度平方函数：是小于是小于1 1的正数，称为纹波参数，是表示通的正数，称为纹波参数，是表示通带内纹波大小的一个参数，带内纹波大小的一个参数， 愈大，纹波也愈大，纹波也愈大。愈大。p p称为有效通带截止频率。称为有效通带截止频率。频率通常对频率通常对p p归一化，归一化， 在通带内，在1和 之间起伏变化；在阻带内是单调下降的； 当N为奇数时，滤波器在 处的幅度响应为1；当N为偶数时，滤波器 在 处的幅度响应为 。当 时， 4.2.24.2.2切比雪夫滤波器设计切比雪夫滤波器设计基本性质基本性质的确定的确定设
23、允许的通带纹波为，那么 阶数阶数N N 的确定的确定(1)(1)查表得查表得 (2)查表得查表得幅度平方函数的极点幅度平方函数的极点 其中 的确定的确定极点分布极点分布2N个等角度间隔（间隔为/N）分布在 为长半轴， 为短半轴的椭圆 上的点。 切比雪夫滤波器的传输函数切比雪夫滤波器的传输函数 系数A由s=0时滤波器幅度响应的值确定:当N为奇数时，当N为偶数时， 去归一化得到滤波器的传输函数去归一化得到滤波器的传输函数Ha(s)切比雪夫低通滤波器的设计步骤切比雪夫低通滤波器的设计步骤 (1)(1)由给定的设计指标确定切比雪夫滤波由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器的参数器的参数、N N和和p p(
24、2)确定Ha(s) 1)查表求得归一化传输函数查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 ，即得到实际滤波器传输函数。切比雪夫低通滤波器的设计步骤切比雪夫低通滤波器的设计步骤 归一化归一化ChebyshevChebyshev低通滤波器的传输函数为低通滤波器的传输函数为切比雪夫低通滤波器的设计步骤切比雪夫低通滤波器的设计步骤 归一化归一化ChebyshevChebyshev低通滤波器的传输函数为低通滤波器的传输函数为为了得到单位峰值增益，一般选为了得到单位峰值增益，一般选切比雪夫低通滤波器的设计步骤切比雪夫低通滤波器的设计步骤 (2)(2)确定确定Ha(s)Ha(s)2 2）
25、滤波器的极点，并由）滤波器的极点，并由s s平面左半平面平面左半平面的极点构成的极点构成Ha(s)Ha(s)。切比雪夫低通滤波器的设计步骤切比雪夫低通滤波器的设计步骤 系数A由s=0时滤波器幅度响应的值确定:当N为奇数时，当N为偶数时， 切比雪夫低通滤波器的设计步骤切比雪夫低通滤波器的设计步骤 去归一化得到滤波器的传输函数去归一化得到滤波器的传输函数Ha(s)切比雪夫滤波器是一种全极型滤波器，切比雪夫滤波器是一种全极型滤波器，它是由切比雪夫多项式的正交函数它是由切比雪夫多项式的正交函数 推导出来的，采用了在通带内等波动，推导出来的，采用了在通带内等波动，在通带外单调衰减的准则去逼近理想特在通带
26、外单调衰减的准则去逼近理想特性。性。它比巴特沃斯滤波器在通带内有更均匀它比巴特沃斯滤波器在通带内有更均匀的特性，是在所有全极型滤波器中过渡的特性，是在所有全极型滤波器中过渡带最窄的最优滤波器。带最窄的最优滤波器。 4.2.24.2.2切比雪夫滤波器设计切比雪夫滤波器设计N=3N=41c1/(1+2)( (2)2)设计过程设计过程 1 1) )根据要求的滤波器指标确定波纹参数根据要求的滤波器指标确定波纹参数和和N N。 滤波器的阶数滤波器的阶数N N的确定：的确定： 的确定：的确定：待定参数待定参数可通过通带内的最大衰减来求得可通过通带内的最大衰减来求得【例】 设计一个满足下列指标的Chebys
27、hev低通滤波器。当 时， ；当 时， 。【解】 取N3归一化归一化ChebyshevChebyshev低通滤波器的传输函数为低通滤波器的传输函数为归一化归一化ChebyshevChebyshev低通滤波器的传输函数为低通滤波器的传输函数为为了得到单位峰值增益，一般选为了得到单位峰值增益，一般选 2)查表求得归一化传输函数查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 ，即得到实际滤波器传输函数。(2)(2)设计过程设计过程基本思路：基本思路：转换要求：转换要求：（1 1）确保稳定性；）确保稳定性；（2 2）模仿的频响特性基本一致）模仿的频响特性基本一致4.3 IIR4.3 I
28、IR数字滤波器的实现数字滤波器的实现由模拟滤波器设计由模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器常用方法常用方法工程上常用工程上常用: :1.1.脉冲响应不变法脉冲响应不变法2.2.双线性变换法双线性变换法1.1.变换原理变换原理 数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期.如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的Z变换，即数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数h(n)h(n)的的Z Z变换便是变换便是H(z)H(z)。 4.3.1脉冲响应不变法( Impulse I
29、nvariance ) 下面我们分析从模拟滤波器到数字滤波器S平面和Z平面之间的映射关系。 信号响应系统？tf (t)tp (t)Tsfs (t)Tstfs (t)Tst-s -mm s1/TStFs()1/TS-s -mm s1/TSt1/TS抽样信号的傅里叶变换 时域离散非周期信号频域连续周期的频谱 信号响应系统？抽样信号的傅里叶变换数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。可能有混叠失真jS/2-S/23S/2ImZReZ-3S/2冲激不变法冲激不变法s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系jImzRez1 j/T-/T3/T-3/T5/T-5/Ts平面到z平面的多值映射但
30、是，实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，但是，实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到时，采用脉冲响应不变法
31、设计的数字滤波器才能得到良好的效果。良好的效果。 脉冲响应不变法中的频响混叠现象 1)1)滤波器指标以模拟域形式给出，此时滤波器指标以模拟域形式给出，此时解决混叠的方法： 已确定，采样频率增加，令采样时间间隔令采样时间间隔（T T=1/=1/f fs s）减小）减小混叠减小。2)滤波器指标以数字域形式给出，此时未确定，但已定，采样频率增加，为保证omegas不变，必有增加，增加滤波器的阶数N，混叠减小。信号响应系统？脉冲响应不变法的基本思路脉冲响应不变法的基本思路拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换z z变换变换 设模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数 NM，则可表达为部分分式
32、形式其拉氏反变换为 对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列脉冲响应不变法脉冲响应不变法模拟到数字的转换模拟到数字的转换再对h(n)取Z 变换，得到数字滤波器的传递函数脉冲响应不变法脉冲响应不变法模拟到数字的转换模拟到数字的转换（1 1）S S平平面面的的每每一一个个单单极极点点s s= =s sk k变变换换到到Z Z平平面面上上z z=e=es sk kT T处的单极点。处的单极点。（2 2） H Ha a( (s s) )与与H H( (z z) )的部分分式的系数相同，都是的部分分式的系数相同，都是A Ak k。（3 3）如如果果模模拟拟滤滤波波器器是是因因果果稳稳定定的的，则
33、则所所有有极极点点s sk k位位于于S S平平面面的的左左半半平平面面，即即ReResksk00， 则则变变换换后后的的数数字滤波器字滤波器的的全全部部极极点点在在单单位位圆圆内内，即即|e|es sk kT T|=e|=eReRes sk kT T11，因此数字滤波器也是因果稳定的。，因此数字滤波器也是因果稳定的。Ha(s)和H(z) 比较比较练习：设模拟滤波器的系统函数为设模拟滤波器的系统函数为 试用脉冲响应不变法将试用脉冲响应不变法将H Ha a( (s s) )转换成转换成IIRIIR数字滤波器的数字滤波器的系统函数系统函数H H( (z z) )。 解 直接利用公式可得到数字滤波器
34、的系统函数为直接利用公式可得到数字滤波器的系统函数为 设设T T=1=1，则有，则有 冲激响应不变法的实现步骤冲激响应不变法的实现步骤(1)确定数字滤波器的性能指标（ ) 和( )(2)利用 ，将数字滤波器的性能指标变换 成模拟滤波器的性能指标( )和( ）(3)利用成熟的模拟滤波器设计方法设计模拟滤波器，求出(4)将模拟滤波器系统函数 转变成数字滤波器的系统函数4.4.冲激响应不变法的优缺点冲激响应不变法的优缺点优点：优点：一个线性相位的模拟滤波器可以映射成为一个线性相位的数字滤波器。缺点：缺点：根据奈奎斯特抽样定理，冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，即只适用低通、带通滤波器的设计，不
35、适合高通、带阻滤波器的设计，否则会出现混叠，而且这种频率混叠现象的出现不会因抽样周期的减少而消失。例: IIR低通滤波器的设计指标如下：1）通带截止频率P0.1rad， 阻带起始频率s0.25rad 2）通带最大衰减p=3dB， 阻带最小衰减s=15dB设计举例解：1) 根据DF指标, 将DF指标转换为归一化LPF指标1.巴特沃思滤波器设计步骤：巴特沃思滤波器设计步骤：(1)(1)根据技术指标求根据技术指标求求出滤波器的阶数N和3dB截止频率N Nminmin应取向上取整。应取向上取整。或或2) 根据归一化LPF指标, 查表求Ha(S)3) 将Ha(S)化成部分分式之和4) 求H(z)（1 1
36、）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在无频率混叠时能较好地重现原模拟滤波器的无频率混叠时能较好地重现原模拟滤波器的频率特性；频率特性；（2 2）由于数字域的冲激响应完全模仿模拟域）由于数字域的冲激响应完全模仿模拟域的冲激响应，故时域特性逼近好；的冲激响应，故时域特性逼近好；（3 3）存在频率效应，对于非带限的模拟滤波）存在频率效应，对于非带限的模拟滤波器不适用。器不适用。脉冲响应不变法的优缺点jS/2-S/23S/2ImZReZ-3S/2 4 4. .3.23.2 双线性变换法双线性变换法（ Bilinear Transformation method Bil
37、inear Transformation method ）为了克服脉冲响应不变法的频谱混叠为了克服脉冲响应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压缩方法现象，采用非线性频率压缩方法-双线性变换法。双线性变换法。从s到z平面的映射： 映射时应满足的条件：如原模拟滤波器是因果稳定的，则数字滤波器也应是因果稳定的，并且性能指标符合设计要求。4.3.2双线性变换法（Bilinear Transform)1.1.变换原理变换原理 s平面到z平面的映射关系二次映射法S S1 Z为了将S平面的j轴压缩到S1平面j1轴上的 到 一段上，可通过以下的正切变换实现： 这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C
38、。 当 由 时, 由 经过变化到 ，即S平面的整个 轴被压缩到S1平面的 一段.将这一关系解析扩展至整个S平面， 则得到S平面到S1平面的映射关系：再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令令令(1)整个s平面到s1平面上的转换为：( (2 2) )s s1 1平面到平面到z z平面的变换则为：平面的变换则为：( (3 3) )从从s s平面到平面到z z平面的变换为：平面的变换为：或或（）（）（）（）4.3.2 双线性变换法2.变换常数的选择 常常数数的的选选择择可可以以使使模模拟拟滤滤波波器器的的频频响响特特性性和和数数字字滤滤波波器器的的频频响响特特性性在在不不同同的的频频率率范
39、范围围有有对对应应的的关关系系，起起到到调调节节二二者者频频带带间间关关系系的的作作用用。选择的方法有两种选择的方法有两种。1)1)使使模模拟拟滤滤波波器器和和数数字字滤滤波波器器的的频频响响特特性性在在低低频频部部分分有有较较确确切切的的对对应应关关系系，即即当当 较较小小的的时候，有时候，有由此得由此得 2)2)使数字滤波器的某一特定频率使数字滤波器的某一特定频率( (例如截止频率例如截止频率 与模拟原型滤波器的特定频率与模拟原型滤波器的特定频率 严格对应，即严格对应，即2.2.变换常数的选择变换常数的选择由于在待定的模拟频率和待定的数字频率处频由于在待定的模拟频率和待定的数字频率处频率响
40、应应严格相等，因而可以较准确的控制截率响应应严格相等，因而可以较准确的控制截止频率位置。止频率位置。 3.3.双线性变换可以消除频率混叠的原因双线性变换可以消除频率混叠的原因j1j1S/2-S/2ImZReZ如令则得3. 模拟角频率和数字角频率的映射关系3. 模拟角频率和数字角频率的映射关系Ha(j)2双线性变换的频率对应关系双线性变换的频率对应关系双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应频率混叠效应”，但出现了模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形数字频率为一种非线性的关系情形即：即：可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法
41、的主要缺点。具体而言，在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。 双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计仍然是应用最为广泛的设计IIRIIR数字滤波器的方法。数字滤波器的方法。 （1 1）确定数字低通技术指标：）确定数字低通技术指标： 通带截止频率通带截止频率 、通带衰减、通带衰减 阻带截止频率阻带截止频率 、阻带衰减、阻带衰减 （2 2）预畸变：将数字低通指标转换成模拟低通）预畸变：将数字低通指标转换成模拟低通指标（指标（ 和和 不变不变 ） 边界频率的变换关系：边界频率的变换关系：
42、4.4.双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤4.4.双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤（3 3）设计模拟低通滤波器传输函数）设计模拟低通滤波器传输函数H Ha a(s)(s)；（4 4）将）将H Ha a(s)(s)转换成数字低通滤波器：转换成数字低通滤波器： 这里的采样间隔这里的采样间隔T T可任意选取，可任意选取， 通常取通常取 T=1T=1。 例：例：用双线性变换法将图示用双线性变换法将图示RCRC低通滤波器低通滤波器转换成数字低通滤波器。转换成数字低通滤波器。解：解：传输函数传输函数 数字滤波器的传递函数为：数字
43、滤波器的传递函数为： 例2：设计数字低通滤波器，要求在通带内频率设计数字低通滤波器，要求在通带内频率低于低于0.20.2 时，容许幅度误差在时，容许幅度误差在1dB1dB以内；以内；在频率在频率0.30.3 到到 之间的阻带衰减大于之间的阻带衰减大于15dB15dB。 解：（解：（1 1）数字低通指标）数字低通指标（2 2）模拟低通指标：）模拟低通指标：（3 3）设计巴特沃斯模拟低通滤波器：）设计巴特沃斯模拟低通滤波器：查表后，得查表后，得得模拟滤波器传输函数Ha(s)取N=6通带指标有富裕量去归一化,令代入（4 4）用双线性变换法转换成数字低通滤波器）用双线性变换法转换成数字低通滤波器 例例
44、3:用双线性变换法和模拟低通巴特沃斯原型，用双线性变换法和模拟低通巴特沃斯原型，设计一数字低通滤波器，已知设计一数字低通滤波器，已知 fs=20kHz , fpass=4 kHz , fstop=5 kHz, pass= 0.5 dB , stop=10 dB. 解解:（1 1）数字滤波器性能指标：）数字滤波器性能指标： pass=2 fpass/fs=0.4 rad stop=2 fstop/fs=0.5 rad pass= 0.5 dB stop=10 dB（2 2）模拟滤波器指标）模拟滤波器指标 取取 N=7（3） 查表查表: Ha(p) （4 4）数字滤波器传递函数：）数字滤波器传递函
45、数： 所以所以 H(z)=H0(z)H1(z)H2(z)H3(z)例：设计IIR滤波器代替如下性能的模拟LPF 1)fp=50Hz fs=125Hz 2)p3dB, s15dB 3)采样频率f=1kHz解: 1)用脉冲响应不变法 ; 2)双线性变换法(3)数字带通的设计a.思路:归一化LPF模拟BPF数字BPF将代入上式归一化归一化LPF指标为：指标为：本章小结本章小结1. 1. 介绍了滤波器的概念、常见的分类方法以介绍了滤波器的概念、常见的分类方法以及技术指标，及技术指标，2. Butterworth2. Butterworth低通滤波器在通带内具有最平低通滤波器在通带内具有最平坦的振幅特性
46、，其幅频特性在通带和阻带内坦的振幅特性，其幅频特性在通带和阻带内都是随着频率的升高而单调下降。滤波器的都是随着频率的升高而单调下降。滤波器的特征完全由阶数决定，阶数越大，通带越平特征完全由阶数决定，阶数越大，通带越平坦，过渡带越陡峭。因此在设计时，为了使坦，过渡带越陡峭。因此在设计时，为了使通带内的衰减足够小，需要的滤波器阶次将通带内的衰减足够小，需要的滤波器阶次将会很高。会很高。本章小结本章小结3. Chebyshev3. Chebyshev低通滤波器在通带范围内，其幅低通滤波器在通带范围内，其幅频特性曲线为等幅振荡，在阻带范围内为单频特性曲线为等幅振荡，在阻带范围内为单调减小。滤波器的阶数
47、等于通带内等幅波动调减小。滤波器的阶数等于通带内等幅波动的次数，即最大值和最小值的总数。若要求的次数，即最大值和最小值的总数。若要求阻带截止频率上的衰减越大，或过渡带幅度阻带截止频率上的衰减越大，或过渡带幅度特性越陡，则所需要的阶数越高。但在同样特性越陡，则所需要的阶数越高。但在同样的通带衰减要求下，其阶数较的通带衰减要求下，其阶数较ButterworthButterworth型型要小。要小。4. 4. 在低通滤波器设计时，关键是根据给定的在低通滤波器设计时，关键是根据给定的技术指标，计算出所需的滤波器阶数，然后技术指标，计算出所需的滤波器阶数，然后套用套用ButterworthButterw
48、orth或或ChebyshevChebyshev型归一化低通型归一化低通滤波器传输函数的普遍形式，其中的参数可滤波器传输函数的普遍形式，其中的参数可以通过查表求得。以通过查表求得。5. 5. 高通、带通和带阻滤波器的设计是通过频高通、带通和带阻滤波器的设计是通过频率变换后，转换为低通滤波器进行设计的。率变换后，转换为低通滤波器进行设计的。其变换关系见表。其变换关系见表。 本章小结本章小结归一化低通滤波器到各类实际滤波器的变换归一化低通滤波器到各类实际滤波器的变换 变换类型变换关系式备 注归一化低通低通 为低通滤波器的上限截止频率归一化低通高通 为高通滤波器的下限截止频率归一化低通带通为带通滤波器的下限截止频率 为低通滤波器的上限截止频率归一化低通带阻为阻通滤波器的下限截止频率 为阻通滤波器的上限截止频率本章小结本章小结
