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1、考纲要求考纲研读1.掌握“归纳猜想证明”这一基本思路2了解数学归纳法的基本原理3能利用数学归纳法证明与自然数有关的命题.1.数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；2归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；3由 k 推导到 k1 时，有时可以“套”用其他证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面.第3讲数学归纳法1运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是_，第二步是_，两步缺一不可2用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括_归纳递推(或归纳假设)恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等归纳奠基(或递推基础)1在用数学归纳法证明多边
2、形内角和定理时，第一步应验证()CAn1 时成立Bn2 时成立Cn3 时成立Dn4 时成立解析：多边形至少有三边时，在第二步证明从 nk 到 nk1 成立时，左边增加的项数是()A2k B2k1 C2k1 D2k1A3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形有对角线数 f(n1)为()CAf(n)n1Cf(n)n1Bf(n)nDf(n)n2解析：在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n1 条对角线4设平面内有 n(n2)条直线，其中任意两条不平行，任意)三条不过同一点，则它们的交点的个数 f(n)为(An(n1)Bn(n1)D14n21猜想 an 的表达式，其结果是_.考点1对数学归
3、纳法的两个步骤的认识例1：已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n)k(k2 且为偶数)时命题为真，则还需证明(Ank1 时命题成立Bnk2 时命题成立Cn2k2 时命题成立Dn2(k2)时命题成立解题思路：从数学归纳法的两个步骤切入，k 的下一个偶数是k2.解析：因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k2.故选B.答案：B用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：(1)n 的范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定nk 时命题的形式f(k)；(3)从 f(k1)和f(k)的差异，寻找由k到k1 递推中，左边要加(乘)上的式子【互动探
4、究】1用数学归纳法证明 1aa2an1an11a(a1，n)BN*)时，在验证 n1 时，左边计算所得的式子是(A1B1aC1aa2D1aa2a4解析：n1 时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1a.nn 242用数学归纳法证明不等式1 1n1 n21 13的过程中，由k推导到k1 时，不等式左边增加的式子是_.解析：求f(k1)f(k)即可当nk时，左边增加的式子是，即1 1k1 k21kknk1 时，左边1 1k2 k31(k1)(k1).故左边1 1 12k1 2k2 k11(2k1)(2k2).1(2k1)(2k2)考点2用数学归纳法证明恒等式命题解题思路：从特殊入手，探求a
5、，b，c 的值，考虑到有3 个未知数，先取n1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切nN*，等式都成立(k1)(k2)123(k1)211(k1)10当 nk1 时，等式也成立综合(1)(2)，对nN*等式都成立这是一个探索性命题，“归纳 猜想 证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式. 对于探索命题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后进行严密的论证从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有3个未知数，先取n1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切nN*，等式都成立【互动探究】考点3用数学归纳法证明整除性命题例3：试证：当n为正整数时，f(n)32n28
6、n9能被64整除【互动探究】4求证：二项式x2ny2n(nN*)能被xy整除证明：(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命题成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)，显然x2k2y2k2能被xy整除，即当nk1时命题成立由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立考点4用数学归纳法证明不等式命题1用数学归纳法证明问题时应注意(1)第一步验证 nn0 时，n0 并不一定是 1.(2)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由 k 到k1 时命题的变化(3)由假设 nk 时命题成立，证明 nk1 时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标2用数学归纳法证明时，从 nk 到 nk1 的关键是，要注意初始值，要弄清 nk 和 nk1 时的结论是什么，要有目标意识，紧盯 nk1 时的结论，对 nk 时的结论进行一系列的变形，变形的目标就是 nk1 时的结论，这就是所谓的“凑假设，凑结论”
