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1、第五章第五章第五章第五章控制系统的稳定性分析自自动动控制原理控制原理v5-1 系系统稳统稳定性的基本概念定性的基本概念v5-2 系系统统的的稳稳定条件定条件v5-3 代数代数稳稳定判据定判据v5-4 乃奎斯特判据乃奎斯特判据v5-5 对对数幅相数幅相频频率特性的率特性的稳稳定判据定判据v5-6 控制系控制系统统的相的相对稳对稳定性定性v例例题题分析分析v课课后后习题习题整理整理ppt5-1 系系统稳统稳定性的基本概念定性的基本概念如果一个系如果一个系统统受到受到扰动扰动，偏离了原来的平衡状，偏离了原来的平衡状态态，而当，而当扰动扰动取消取消后，后，这这个系个系统统又能又能够够逐逐渐渐恢复到原来
2、的状恢复到原来的状态态，则则称系称系统统是是稳稳定的。否定的。否则这则这个系个系统统是不是不稳稳定的。定的。整理整理ppt控制系控制系统稳统稳定性的定定性的定义义：若控制系若控制系统统在任何足在任何足够够小的初始偏差的作用下，其小的初始偏差的作用下，其过过渡渡过过程随程随着着时间时间的推移，逐的推移，逐渐渐衰减并衰减并趋趋于零，具有恢复原平衡状于零，具有恢复原平衡状态态的性能，的性能，则则称称该该系系统稳统稳定。否定。否则则，称，称该该系系统统不不稳稳定。定。注意：注意：1. 稳稳定性是系定性是系统统自身的固有特性自身的固有特性,它取决于系它取决于系统统本身的本身的结结构和参构和参数数,而与而
3、与输输入无关；入无关；对对于于纯线纯线性系性系统统来来说说，系，系统统的的稳稳定与否不与初始定与否不与初始偏差的大小有关。如果，偏差的大小有关。如果，这这个系个系统统是是稳稳定的，就叫做大范定的，就叫做大范围稳围稳定。而定。而经过线经过线性化性化处处理的系理的系统统都是都是“小偏差小偏差”稳稳定。定。2. 控制理控制理论论中所中所讨论讨论的的稳稳定性其定性其实实都是指自由振都是指自由振荡荡下的下的稳稳定性定性,也就是也就是说说,是是讨论输讨论输入入为为零零,系系统仅统仅存在初始偏差不存在初始偏差不为为零零时时的的稳稳定性定性,即即讨论讨论自由振自由振荡荡是收是收敛还敛还是是发发散的。散的。整理
4、整理ppt5-2 系系统统的的稳稳定条件定条件设设定常定常线线性系性系统统的微分方程的微分方程为为：式中式中 ，若，若记记并并对对5.1作拉氏作拉氏变换变换，得，得整理整理ppt式中式中 为为系系统统的的传递传递函数。函数。因因为为是在零初始条件下，有是在零初始条件下，有则则拉氏反拉氏反变换变换，有，有由上式可知，若系由上式可知，若系统统所有特征根的所有特征根的实实部均部均为负值为负值，即，即整理整理ppt这样这样的系的系统统就是就是稳稳定的。定的。 反之，若特征根中有一个或多个根具有正反之，若特征根中有一个或多个根具有正实实部部时时，则则零零输输入将随入将随时时间间的推移的推移发发散，即散，
5、即 这样这样的系的系统统是不是不稳稳定的。定的。整理整理ppt由此可得以下由此可得以下结论结论： 1.控制系控制系统稳统稳定的充分必要条件是：系定的充分必要条件是：系统统特征方程式的根全部特征方程式的根全部具有具有负实负实部。系部。系统统特征方程式的根就是特征方程式的根就是闭环闭环极点，所以控制系极点，所以控制系统稳统稳定定的充分必要条件也可以的充分必要条件也可以说说成是成是闭环闭环极点全部具有极点全部具有负实负实部，或部，或说闭环传说闭环传递递函数的极点全部在函数的极点全部在S平面的左半面。平面的左半面。2.如特征根相同上述如特征根相同上述结论结论仍成立。仍成立。3.判断判断稳稳定性的关定性
6、的关键转变为键转变为研究系研究系统统的特征根是否具有正的特征根是否具有正实实部。部。整理整理ppt5-3 代数代数稳稳定判据定判据一一.劳劳斯判据斯判据1.系系统稳统稳定的必要条件定的必要条件:(1)特征方程的各特征方程的各项项系数都不等于零。系数都不等于零。(2)特征方程的各特征方程的各项项系数都不大于零。系数都不大于零。2.系系统稳统稳定的充要条件定的充要条件:设设系系统稳统稳定的特征方程式定的特征方程式为为劳劳斯判据斯判据给给出的系出的系统稳统稳定的充分条件是：定的充分条件是：劳劳斯斯阵阵列中第一列所有列中第一列所有项项均均为为正号。正号。劳劳斯斯阵阵列是将式的系数排成以下行和列，即列是
7、将式的系数排成以下行和列，即为劳为劳斯斯阵阵列：列：整理整理ppt 整理整理ppt其中系数其中系数 等，根据等，根据下列公式下列公式计计算：算：同同样样的方法可以的方法可以计计算算c,d,e等各行的系数等各行的系数整理整理ppt注意注意:在展开的在展开的阵阵列中列中,为简为简化其后的数化其后的数值计值计算算,可用一个正整数去除可用一个正整数去除或乘某一个整行或乘某一个整行,并不影响并不影响稳稳定性定性结论结论。劳劳斯判据斯判据还说还说明：方程式明：方程式(5.4)中中,其正其正实实部特征根数部特征根数,等于等于劳劳斯斯阵阵列中第一列的系数改列中第一列的系数改变变的的次数。次数。例例 设设控制系
8、控制系统统的特征方程的特征方程为为 试试用用劳劳斯判据判断其斯判据判断其稳稳定性定性解解 首先，由方程系数可知已首先，由方程系数可知已满满足足稳稳定的必要条件。其次，排定的必要条件。其次，排劳劳斯斯阵阵列列整理整理ppt 由由劳劳斯斯阵阵列第一列可知，其系数出列第一列可知，其系数出现负值现负值，因此系，因此系统统不不稳稳定，并定，并且符号且符号变变化两次，所以有两个正化两次，所以有两个正实实部特征根。部特征根。3.二二阶阶，三，三阶阶和四和四阶阶系系统统的的劳劳斯判据斯判据低低阶阶系系统统的的劳劳斯判据可以化斯判据可以化简简(1)二二阶阶系系统统,(2)三三阶阶系系统统,各各项项系数大于零系数
9、大于零,(3)四四阶阶系系统统,各各项项系数大于零系数大于零, , 4.特殊情况特殊情况(1)如果在如果在劳劳斯判据斯判据阵阵列中任意一行的第一个元素列中任意一行的第一个元素为为零零,可以用一可以用一个很小的正数个很小的正数 来代替它来代替它例例 设设控制系控制系统统的特征方程的特征方程为为 用用劳劳斯判据判断其斯判据判断其稳稳定性定性整理整理ppt解解 由由劳劳斯斯阵阵列列符号改符号改变变一次一次符号改符号改变变一次一次 由于由于劳劳斯斯阵阵列第一列元素的符号不一致列第一列元素的符号不一致,系系统统不不稳稳定定,并且符号改并且符号改变变两次两次,所以有两个正所以有两个正实实部特征根部特征根整
10、理整理ppt(2)劳劳斯斯阵阵列出列出现现整排零整排零例例 设设控制系控制系统统的特征方程的特征方程为为试试用用劳劳斯判据判断其斯判据判断其稳稳定性定性解解 计计算算劳劳斯斯阵阵列如下列如下整理整理ppt在此情况下在此情况下,可用可用该该行上一行的元素构造一个行上一行的元素构造一个辅辅助多助多项项式式,并利用并利用这这个个多多项项式方程的式方程的导导数的系数数的系数组组成成劳劳斯斯阵阵列表中的下一行。利用列表中的下一行。利用辅辅助多助多项项式式够够成的成的辅辅助方程，解出特征根。助方程，解出特征根。由此可得到由此可得到辅辅助多助多项项式式由此可得到由此可得到劳劳斯斯阵阵列列整理整理ppt 从从
11、劳劳斯列表中可只，第一列斯列表中可只，第一列为为出出现负现负数，数，说说明系明系统统在右半平面没在右半平面没有特征根，但是，有特征根，但是， 行的各行的各项项元素元素为为零，零，说说明虚明虚轴轴上有共上有共轭轭虚根，虚根，该该根可由根可由辅辅助方程求得：助方程求得：解解该该方程，求得系方程，求得系统统的共的共轭轭虚根：虚根：故，系故，系统处统处于零界于零界稳稳定定整理整理ppt二二 赫赫尔尔维维茨判据茨判据设设系系统统特征方程特征方程为为由其系数可得如下行列式由其系数可得如下行列式整理整理ppt系系统稳统稳定的充要条件是：主行列式定的充要条件是：主行列式 及及对对角角线线上个子行式上个子行式
12、，均大于零，即，均大于零，即整理整理ppt5-4 乃奎斯特判据乃奎斯特判据 应应用用乃奎斯特判据不需要求取乃奎斯特判据不需要求取乃奎斯特判据不需要求取乃奎斯特判据不需要求取闭环闭环闭环闭环系系系系统统统统的特征根，而是的特征根，而是的特征根，而是的特征根，而是应应应应用分用分用分用分析法或析法或析法或析法或频频频频率特性率特性率特性率特性实验实验实验实验法法法法获获获获得开得开得开得开环环环环特性特性特性特性 ，即，即，即，即 曲曲曲曲线线线线，进进进进而分析而分析而分析而分析闭环闭环闭环闭环系系系系统统统统的的的的稳稳稳稳定性。定性。定性。定性。 特点：特点：特点：特点：(1) (1) 当系
13、当系当系当系统统统统某些某些某些某些环节环节环节环节的的的的传递传递传递传递函数无法用分析法列写函数无法用分析法列写函数无法用分析法列写函数无法用分析法列写时时时时，可以，可以，可以，可以通通通通过试验过试验过试验过试验来来来来获获获获得得得得这这这这些些些些环节环节环节环节的的的的频频频频率曲率曲率曲率曲线线线线；整个系；整个系；整个系；整个系统统统统的的的的频频频频率曲率曲率曲率曲线线线线也可用也可用也可用也可用实验实验实验实验法来法来法来法来获获获获得，得，得，得，这样这样这样这样就可系就可系就可系就可系统闭环统闭环统闭环统闭环的的的的稳稳稳稳定性；定性；定性；定性；(2) (2) 与与
14、与与劳劳劳劳斯判据相同，不需要求特征方程的根；斯判据相同，不需要求特征方程的根；斯判据相同，不需要求特征方程的根；斯判据相同，不需要求特征方程的根；(3) (3) 利用开利用开利用开利用开环传递环传递环传递环传递函数的乃氏函数的乃氏函数的乃氏函数的乃氏图图图图去判断去判断去判断去判断闭环闭环闭环闭环系系系系统统统统的的的的稳稳稳稳定性；定性；定性；定性；(4) (4) 除判断除判断除判断除判断稳稳稳稳定性外，定性外，定性外，定性外，还还还还可以指出系可以指出系可以指出系可以指出系统稳统稳统稳统稳定定定定储备储备储备储备-相相相相对稳对稳对稳对稳定定定定性。性。性。性。整理整理ppt一一 米哈依
15、洛夫定理米哈依洛夫定理定理：定理：设设n次多次多项项式式D(s)有有p个零点在复平面的右半面，有个零点在复平面的右半面，有q个个零点在原点上，其余零点在原点上，其余n-p-q个零点位于左半面，个零点位于左半面，则则当当s=jw代入代入D(s)并命并命w从从0连续连续增大增大 到到 时时,复数复数D(jw)的角增量的角增量应应等于等于证证明：明： 方程方程为为一次的情况下一次的情况下 若根在左半平面，若根在左半平面，则则整理整理ppt命命s=jw,可得可得现现命命w由由0增大到增大到 ，从，从图图可以看出角可以看出角 的增量的增量为为 整理整理ppt若上式若上式b为负值为负值，则则角增量角增量为
16、为如如图图：整理整理ppt若根在右半平面，其角增量如若根在右半平面，其角增量如图图所示，所示，为为整理整理ppt现现考考虑虑n次多次多项项式式 ，且在原点有，且在原点有q个零点，可表示个零点，可表示为为在左半平面中在左半平面中,对对于每一个于每一个实实零点零点(b=0)而言而言,角增量角增量而而对对于每一于每一对对共共轭轭复零点复零点 而言而言,其中一个的角增量其中一个的角增量为为另一个另一个为为整理整理ppt所以一所以一对对共共轭轭复零点复零点总总的角增量的角增量为为而平均一个左半平面零点而平均一个左半平面零点贡贡献的角增量献的角增量为为 ,总总共有共有n-p-q个零点个零点,它它们们贡贡献
17、的角增量献的角增量为为同理同理,所有右半平面的零点所有右半平面的零点贡贡献的角增量献的角增量为为而在原点而在原点整理整理ppt综综上所述上所述,D(s)的的总总角增量角增量为为推推论论:如果如果n次多次多项项式式D(s)的所有零点都位于复平面左半平面的所有零点都位于复平面左半平面,则则当当s=jw代入代入D(s)并命并命w从从0增大到增大到 时时,复数复数D(s)的角的角连续连续增增 大大二二 乃奎斯特乃奎斯特稳稳定判据定判据1 反反馈馈系系统统开开环环和和闭环闭环的特征方程式的特征方程式 整理整理ppt该单该单位反位反馈馈系系统统的开的开环传递环传递函数函数为为闭环传递闭环传递函数函数为为令
18、：令： F是新引是新引进进的函数，其分母是系的函数，其分母是系统统开开环环特征多特征多项项式，分子是式，分子是闭环闭环特征特征多多项项式。式。对对于非于非单单位反位反馈馈系系统统，开，开环传递环传递函数函数为为 整理整理ppt2 乃奎斯特乃奎斯特队稳队稳定判据定判据(1) 若开若开环环是是稳稳定的定的,则则根据米哈依洛夫定理根据米哈依洛夫定理如果如果闭环闭环系系统稳统稳定定,有有于是于是整理整理ppt从乃氏从乃氏图图上看上看,G(jw)不包不包围围(-1,j0)点点. 稳稳定定 不不稳稳定定整理整理ppt(2) 若开若开环环系系统统不不稳稳定定,有有p个零点在右半平面个零点在右半平面,q的零点
19、在原点的零点在原点,n-p-q个零点在左半平面个零点在左半平面 则则如果如果闭环闭环是是稳稳定的定的,则则故故 整理整理ppt 也就是也就是说说,对对于一个于一个稳稳定的系定的系统统而言而言,当当w从从0连续连续增大到增大到 时时,开开环传环传递递函数在右半平面的每一个极点使函数在右半平面的每一个极点使 ；在原点；在原点处处的每一个的每一个极点使极点使 。列列 系系统统的开的开环传递环传递函数函数为为 讨论讨论开开环环增益增益K的大小的大小对对系系 统稳统稳定性的影响定性的影响 解：解：这这是一个三是一个三阶阶系系统统，没有开，没有开环环零点，且开零点，且开环环极点全部极点全部位于左半位于左半
20、s平面，因此是最小相位系平面，因此是最小相位系统统。作极坐作极坐标标草草图图，先，先计计算极限算极限值值：整理整理ppt =0时时，有，有 时时，有，有且且 增加增加时时有有整理整理ppt依此作极坐依此作极坐标标草草图图如如图图所示。所示。判判别别当当K小小时时，极坐，极坐标轨线围绕标轨线围绕 （-1, j0)点的角度增量点的角度增量为为不包不包围围(-1, j0)点，所以系点，所以系统统是是稳稳定的。定的。 当当K大大时时，围绕围绕(-1, j0)点的点的角度增量角度增量为为 由于由于围绕围绕(-1, j0)点点转转了了-1圈，圈，不等于零，所以系不等于零，所以系统统不不稳稳定。定。整理整理
21、ppt3 关于关于G(s)中含有零极点的中含有零极点的处处理方法：理方法： 当原点当原点处处存在开存在开环环极点极点时时，其表达式，其表达式为为：。：。 由于开由于开环环极点因子极点因子G(s)=1/s既不在左半既不在左半s平面上，也不在右半平面上，也不在右半s平面上，当平面上，当 由由0 变变到到时时，原点，原点处处开开环环极点的幅角增量极点的幅角增量值值是不定是不定的，因而不能的，因而不能应应用幅角增量公式来用幅角增量公式来计计算。算。 对对于于这这种情况，可以种情况，可以认为认为原点原点处处的开的开环环极点属于左半极点属于左半s平面。在平面。在数学作如下数学作如下处处理：在理：在s平面的
22、平面的s=0的的邻邻域作一半径域作一半径为为无无穷穷小的半小的半圆绕圆绕过过原点，如下原点，如下页图页图所示所示。整理整理ppt这样这样，当，当 由由0增加到增加到0+时时，原点，原点处处就已就已经获经获得了得了+ /2的增的增量。相量。相应应地，作地，作为为复复变变函数函数G(s)=1/s，由复，由复变变函数的保角定理可函数的保角定理可得，在得，在G(j )平面上的无平面上的无穷穷大半大半圆处圆处也就也就获获得得- /2的幅角增量。因的幅角增量。因此，可以在此，可以在G(j )平面上的无平面上的无穷穷大半大半圆处圆处作增作增补线补线，如上，如上页图页图所示。所示。得到相得到相应应的增的增补补
23、角角为为- /2。整理整理ppt整理整理ppt例：已知系例：已知系统统的开的开环传递环传递函数函数为为 试试用奈氏判据判用奈氏判据判别别系系统统的的稳稳定性。定性。解：解：(1)作极坐作极坐标图标图=0时，有可以确定系统极坐标图的起点为0-j时，有可以确定系统极坐标图的终点为0+j0,即原点整理整理ppt 且且 增加增加时时有有 依此作极坐依此作极坐标标草草图图如如图图所示。所示。整理整理ppt（2）稳稳定性判定性判别别当当K小小时时，不包，不包围围(-1, j0)点，所以系点，所以系统统是是稳稳定的。定的。当当K大大时时，由于，由于围饶围饶(-1, j0)点，所以系点，所以系统统不不稳稳定定
24、 结论结论：把零极点当作左半平面根：把零极点当作左半平面根处处理，并且没有右半平面零极理，并且没有右半平面零极点点时时，乃氏判据，乃氏判据变为变为：(1) 若若G(jw)曲曲线线包包围围(-1,j0)点点,系系统统不不稳稳定。定。(2) 若若G(jw)曲曲线线不包不包围围(-1,j0)点点,系系统稳统稳定。定。4.关于关于s平面上的乃氏平面上的乃氏轨轨迹的另一方案迹的另一方案 s平面上的乃氏平面上的乃氏轨轨迹迹还还有另一取法有另一取法,如下如下图图:整理整理ppt 设设在在s平面上有封平面上有封闭闭曲曲线线L,其中其中,两段是由两段是由 到到 的整个虚的整个虚轴组轴组成的成的,段是半径段是半径
25、R趋趋向于无向于无穷穷大的大的圆圆弧弧组组成的。因成的。因此，此，段就包段就包围围了整了整个个s平面的右半平面。另外，在平面的右半平面。另外，在原点附近，乃氏原点附近，乃氏轨轨迹以原点迹以原点为圆为圆心，以无心，以无穷穷小小为为半径的半径的圆圆弧逆弧逆时时针绕过针绕过原点。原点。 s平面平面这样这样取以后，乃氏取以后，乃氏图图发发生了相生了相应应的的变变化，看下面两化，看下面两图图整理整理ppt整理整理ppt此此时时，乃氏判据，乃氏判据为为(p为为右半平面极点数右半平面极点数)：(1) 当当p=0,若开若开环环乃氏乃氏图图,不包不包围围(-1,j0)点点,则闭环则闭环系系统稳统稳定定(如右如右
26、图图);反之反之,不不稳稳定定(如左如左图图)。(2) 当当p0,若开若开环环乃氏乃氏图图逆逆时针时针包包围围(-1,j0)点点p圈圈,则则系系统统稳稳定；若逆定；若逆时针时针包包围围(-1,j0)点不到点不到p圈，或圈，或顺时针顺时针包包围围(-1,j0)点，点，则闭环则闭环系系统统不不稳稳定。定。例如某系例如某系统统的开的开环传递环传递函数函数为为p=2,其乃氏其乃氏图图逆逆时针时针包包围围(-1,j0)点点2圈，故系圈，故系统稳统稳定。定。整理整理ppt整理整理ppt5-5 对对数幅相数幅相频频率特性的率特性的稳稳定判据定判据 对对数幅相数幅相频频率特性的率特性的稳稳定判据，定判据，实际
27、实际上是乃氏上是乃氏稳稳定判据的另一种定判据的另一种形式。即利用开形式。即利用开环环的伯德的伯德图图来判断系来判断系统统的的稳稳定性，而伯德定性，而伯德图图又可以通又可以通过实验获过实验获得，因此在工程上得到了广泛得，因此在工程上得到了广泛应应用。用。一、一、对对对对数幅相数幅相数幅相数幅相频频频频率特性的率特性的率特性的率特性的稳稳稳稳定判据的原理：定判据的原理：定判据的原理：定判据的原理： 根据乃氏根据乃氏稳稳定判据，利用系定判据，利用系统统开开环环乃氏乃氏图图与与单单位位圆圆及及实轴实轴的两个的两个交点在伯德交点在伯德图图上的反映来判断系上的反映来判断系统统的的稳稳定性定性首先，来看系首
28、先，来看系统统乃氏乃氏图图的的稳稳定情况：定情况：整理整理ppt整理整理ppt二、二、对对对对数幅相数幅相数幅相数幅相频频频频率特性的率特性的率特性的率特性的稳稳稳稳定判据定判据定判据定判据 1.如果开如果开环环是是稳稳定的，且在定的，且在L(w)=0的所有角的所有角频频率率w值值下，相下，相角范角范围围大于大于-线线，那么，系，那么，系统统是是稳稳定的。定的。 例：例：整理整理ppt 2. 对对数幅相数幅相频频率特性率特性稳稳定性判据的普遍情况：定性判据的普遍情况： 如果系如果系统统在开在开环环状状态态下的特征方程有下的特征方程有p个根在右半平面内，它个根在右半平面内，它在在闭环闭环状状态态
29、下下稳稳定的充分必要条件是：在所有定的充分必要条件是：在所有L(w)=0的的频频率范率范围围内，相内，相频频特性曲特性曲线线(w)在在(-)线线上的正上的正负负穿越之差穿越之差为为p/2次。次。 正穿越：当乃氏正穿越：当乃氏图图从大于从大于-的第二象限越的第二象限越过负实轴过负实轴到三象限到三象限时时，叫正穿越；叫正穿越； 负负穿越：当乃氏穿越：当乃氏图图从大于从大于-的第三象限越的第三象限越过负实轴过负实轴到二象限到二象限时时，叫正穿越；叫正穿越； 半次正穿越：半次正穿越：w=0时时，(0)=-，乃氏，乃氏图图向第三象限去向第三象限去时时，叫半次正穿越。叫半次正穿越。 整理整理ppt正,负穿
30、越半次正穿越整理整理ppt 例：判断下列各系例：判断下列各系统统的的稳稳定性定性整理整理ppt整理整理ppt5-6 控制系控制系统统的相的相对稳对稳定性定性 从乃氏从乃氏稳稳定判据可知，若系定判据可知，若系统统开开环传递环传递函数没有右函数没有右半平面的极点，且半平面的极点，且闭环闭环系系统统是是稳稳定的，那么定的，那么G(jw)的的轨轨迹离迹离(-1,j0)点越点越远远，则闭环则闭环的的稳稳定性越高，开定性越高，开环环乃氏乃氏轨轨迹离迹离(-1,j0)点越近，点越近，则闭环则闭环的的稳稳定性越低，定性越低，这这就是通常就是通常所所说说的相的相对稳对稳定性，它通定性，它通过过G(jw)的的轨轨
31、迹离迹离(-1,j0)点点越越远远近程度来度量，其定量表示近程度来度量，其定量表示为为相位裕量相位裕量 和幅和幅值值裕裕量量 ，如，如图图：整理整理ppt整理整理ppt 1.相位裕量相位裕量 相位裕量是描述系相位裕量是描述系统统相相对稳对稳定性的另一度量指定性的另一度量指标标。在。在图图中，中，对对应应于于 时时的的频频率率 （交点（交点C）称）称为为增益穿越增益穿越频频率（剪切率（剪切频频率或交界率或交界频频率）。在剪切率）。在剪切频频率率 处处，使系，使系统统达到达到临临界界稳稳定状定状态时态时所所能接受的附加相位滞后角，定能接受的附加相位滞后角，定义为义为相位裕量相位裕量 ，用，用 表示
32、。表示。对对于任何于任何系系统统，相位裕量的算式，相位裕量的算式为为 式中，式中， 是开是开环频环频率特性在剪切率特性在剪切频频率率处处的相位。的相位。 不不难难理解，理解，对对于于稳稳定的开定的开环环系系统统，若，若 ，则则 曲曲线线包包围围（-1，j0）点，相）点，相应应的的闭环闭环系系统统不不稳稳定；反之，若定；反之，若 , 则则相相应应的的闭环闭环系系统稳统稳定。一般来定。一般来说说， 越大，系越大，系统统的相的相对稳对稳定性就越好，定性就越好，这这是因是因为为系系统统的参数并非的参数并非绝对绝对不不变变，如果，如果 太小，就有可能因参数太小，就有可能因参数的的变变化而使奈奎斯特曲化而
33、使奈奎斯特曲线线包包围围（-1，j0）点，）点，导导致系致系统统不不稳稳定。定。整理整理ppt2.幅幅值值裕量裕量 设设一一稳稳定的开定的开环环系系统统奈氏曲奈氏曲线线 如如图图所示，它与所示，它与负实轴负实轴交于交于G点，与点，与单单位位圆圆交于交于C点。在开点。在开环频环频率特性的相角率特性的相角 时时的的频频率率 （交点（交点G）处处，开，开环环幅幅值值的倒数称的倒数称为为增益裕量，用增益裕量，用 表示。表示。即即 式中，式中， 称称为为相位穿越相位穿越频频率（相位交界率（相位交界频频率）。上式表示系率）。上式表示系统统在在变变到到临临界界稳稳定定时时，系，系统统的增益能增大多少。的增益
34、能增大多少。 由奈奎斯特由奈奎斯特稳稳定判据可知，定判据可知，对对于最小相位系于最小相位系统统，其，其闭环稳闭环稳定的充定的充要条件是要条件是 曲曲线线不包不包围围（-1，j0）点，即曲）点，即曲线线与与负实轴负实轴交点交点处处的模小于的模小于1，此，此时时 。反之，。反之，对对于不于不稳稳定的系定的系统统， 。整理整理ppt 综综上所述，上所述，对对于开于开环为稳环为稳定的系定的系统统，G(jw)具有正幅具有正幅值值裕量及正裕量及正相位裕量相位裕量时时，其，其闭环闭环系系统稳统稳定；定；G(jw)具有具有负负幅幅值值裕量及裕量及负负相位裕量相位裕量时时，其，其闭环闭环系系统统不不稳稳定。定。
35、 在工程在工程实实践中，践中，为为使上述系使上述系统统有有满满意的意的稳稳定定储备储备，一般希望：，一般希望： 由于在最小相位系由于在最小相位系统统的开的开环环幅幅频频特性与开特性与开环环相相频频特性之特性之间间具有一具有一定的定的对应对应关系，相位裕量关系，相位裕量 表明开表明开环对环对数幅数幅频频特性在剪切特性在剪切频频率率 上的斜率上的斜率应应大于大于-40dB/dec，因此，因此，为为保保证证有合适的相位裕量，一有合适的相位裕量，一般希望，般希望，这这一段上的斜率（也叫剪切率），等于一段上的斜率（也叫剪切率），等于-20dB/dec。如果。如果剪切率等于剪切率等于-40dB/dec，则
36、闭环则闭环有可能有可能稳稳定，也可能不定，也可能不稳稳定，但即定，但即使使稳稳定，其定，其稳稳定性也是很低的。如果剪切率定性也是很低的。如果剪切率为为-60dB/dec或更陡，或更陡，则则系系统统一般不一般不稳稳定。定。整理整理ppt 最后要注意一下各种最后要注意一下各种稳稳定判据之定判据之间间的的联联系。代数判据是利用系。代数判据是利用闭环闭环特征方程的系数判断特征方程的系数判断闭环稳闭环稳定性，而乃奎斯特判据是利用开定性，而乃奎斯特判据是利用开环频环频率挑率挑特性来判断特性来判断闭环闭环的的稳稳定性，并可以确定裕量，因而在工程上定性，并可以确定裕量，因而在工程上获获得广泛得广泛应应用。用。
37、还应还应注意，我注意，我们们学学习习的是有关定常的是有关定常线线性系性系统统的的稳稳定性定性问题问题。整理整理ppt参考参考题题 1.考考虑虑下下图图所示所示闭环闭环系系统统及相及相应应Nyquist轨线图轨线图，试试确定系确定系统统稳稳定性与定性与k值值关系。关系。 解： P=1 N=Z-P 所以：Z=0的充要条件N=1（反时针包围-1+j0 圈） K1-系统稳定 K=1-系统处于临界 K1时时，P1，N1，ZNP0，系，系统稳统稳定定 K=1时时， 过过（1, j0）点，系）点，系统处统处于于临临界界稳稳定定 K1时时，P1，N1，ZNP2，系，系统统不不稳稳定定整理整理pptY(s)X(
38、s)200 3.系系统结统结构构图图如如图图1所示，其奈魁斯特曲所示，其奈魁斯特曲线线如如图图2所示。所示。试试用奈氏判据判用奈氏判据判别别其其稳稳定性。定性。w = 0+ImRew = 0-1整理整理ppt解：系解：系统统的开的开环传递环传递函数：函数：显见显见，系，系统统开开环传递环传递函数的极点均在函数的极点均在S左半平面（没有不左半平面（没有不稳稳定定的极点），即的极点），即P0又，按已知的奈魁斯特曲又，按已知的奈魁斯特曲线线，它，它顺时针绕顺时针绕（1，j0）2次，次，即即N2根据奈魁斯特根据奈魁斯特稳稳定判据，定判据，闭环闭环系系统统位于右半平面的极点数：位于右半平面的极点数：ZNP202故可判定此系故可判定此系统闭环统闭环不不稳稳定。定。整理整理pptv课课后后习题习题v5、6、10、11、12、14、15、16、17、19整理整理ppt
