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1、椭圆型方程的五点差分格式微分方程数值解计算科学系 杨韧椭圆型方程的五点差分格式第三章 椭圆型方程的差分格式椭圆型方程的五点差分格式3.1 正方形区域中的正方形区域中的Laplace 方程方程 Dirichlet边值问题的差分模的差分模拟 设设是是 xy 平面中的具有正方形边界平面中的具有正方形边界 的的一个有界区域，考虑一个有界区域，考虑Laplace方程的第一边值方程的第一边值 Dirichlet ）问题）问题椭圆型方程的五点差分格式 网格节点（网格节点（l ， m）处的二阶中心差商代替处的二阶中心差商代替二阶微商二阶微商l , m+1l1,m l , m l+1 , ml , m1椭圆型方
2、程的五点差分格式Laplace方程的五点差分格式方程的五点差分格式(3.6)为为截断误差为截断误差为O(h2)。-Ul, m+1 -Ul1,m 4U l , m -U l+1 , m-Ul, m1椭圆型方程的五点差分格式令令则则Laplac方程的五点差分格式为（方程的五点差分格式为（3.8）即即椭圆型方程的五点差分格式 例例1 用五点差分格式求解用五点差分格式求解 Laplace方程方程在区域在区域内的近似解，边界值为：内的近似解，边界值为：取取 。椭圆型方程的五点差分格式 解解 网格点如图所示网格点如图所示 U7 U8 U9 U4 U5 U6 U1 U2 U3u(1,0)=20 u(2,0)
3、=20 u(3,0)=20 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式矩阵方程矩阵方程AU=K，K由边界条件所确定，解得由边界条件所确定，解得U = U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9=A-1K = 55.7143 43.2143 27.1429 79.6429 70.0000 45.3571 112.8571 111.7857 84.2857T椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的
4、五点差分格式加密网格，取加密网格，取 h = 0.5椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式定义向量定义向量为为从左到右，自下而上从左到右，自下而上的自然次序排列的未知函的自然次序排列的未知函数值，则正方形区域数值，则正方形区域中的内部节点上的中的内部节点上的( (M-1)-1)2 2 个线性方程个线性方程写为矩阵方程写为矩阵方程 AU=K,其中其中K由边界条件确定由边界条件确定.椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式3.2 Neumann边值问题的差分模的差分模拟 表示函数表示函数 u 沿着边界的外法线方向导数，沿着边界的外法线方向导数，在正方形的四个顶点上法向量没有定义，
5、取平均值代替。在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替。椭圆型方程的五点差分格式讨论左边界讨论左边界 x = 0 上的导数边值条件的差分模拟上的导数边值条件的差分模拟又由点（又由点（0，m）的五点差分格式）的五点差分格式消去消去U-1, m，得，得0 , m+1-1 , m 0 , m 1 , m0 , m-1椭圆型方程的五点差分格式边界边界 x = 0上上 (3.14)边界边界 x = 1上上(3.15)边界边界 y = 0上上(3.16)边界边界 y = 1上上(3.17)椭圆型方程的五点差分格式边界边界 x = 0 -2U1 , m -U0 , m+14U0 , m-U0 , m
6、-1-2UM-1 , m-UM , m+14UM , m-UM , m-1-Ul-1 , 0 4Ul , 0 -Ul+1 , 0-2Ul , 1-Ul-1 , M 4Ul , M -Ul+1 , M-2Ul , M-1边界边界x = 1边界边界y = 0边界边界y = 1椭圆型方程的五点差分格式在顶点（在顶点（0，0）,取偏导数的平均值作为外法线方向取偏导数的平均值作为外法线方向导数导数用一阶中心差商代替微商用一阶中心差商代替微商在顶点（在顶点（0，0）,五点差分格式为五点差分格式为故故-1,0 0,0 1,00,10,-1椭圆型方程的五点差分格式在四个顶点在四个顶点（0，0）（0，M）（M，
7、0）（M，M）椭圆型方程的五点差分格式 例例1 1 在单位正方形区域在单位正方形区域上解上解LaplaceLaplace方程的方程的NenmannNenmann问题问题解解 网格节点如图所示网格节点如图所示U7U8U9 顶点顶点U4U5 内点内点U6 边界点边界点U1U2U3椭圆型方程的五点差分格式矩阵方程为矩阵方程为椭圆型方程的五点差分格式令令则矩阵方程为则矩阵方程为椭圆型方程的五点差分格式3.3 混合（Robins）边值条件椭圆型方程的五点差分格式 例例1 用五点差分格式求解用五点差分格式求解 Laplace方程方程在区域在区域内的近似解，边界值为：内的近似解，边界值为：取取 。椭圆型方程
8、的五点差分格式 解解 网格节点如图所示网格节点如图所示 U10 U11 U12 U7 U8 U9 U4 U5 U6U1 U2 U3u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(0,0)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0 u(4,0)=0椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式解矩阵方程解矩阵方程 AU = KU= 71.8218 56.8543 32.2342 75.2165 61.6806 36.0412 87.3636 78.6103 50.2502 115.6276 115.1468 86.3492T椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式作业作业: 1、 P.115例例3.1取取h=1/3，利用五点，利用五点差分格式写出求解节点上的差分格式写出求解节点上的Ul,m值的线值的线性方程组及矩阵方程。性方程组及矩阵方程。 2、P.159习题三习题三 2
