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1、2.3.1 函数极值的概念函数极值的概念2.3.2 函数极值的求法函数极值的求法 第第2章章 极极限限2.3 函数的极值函数的极值2.3.3 函数最值的求法函数最值的求法 2.3.3 函数最值应用举例函数最值应用举例 首页上页返回下页 yxOabyf(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函数函数 y=f (x)在点在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值处的函数值f(x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：观察图像：首页上页返回下页2.3.1
2、 函数极值的概念函数极值的概念设函数设函数 y = f ( x )在在(a , b)内连续内连续 , x0 是是(a , b)内一内一点点如果对于点如果对于点 x0近旁的任意一点近旁的任意一点 x ， 均有均有 f ( x ) f ( x0 )，则就称则就称 f ( x0 )是函数是函数 f ( x )的一个的一个极大值极大值， 点点 x0 是是 f ( x )的一个的一个极大点极大点；如果对于点如果对于点 x0近旁的任意一点近旁的任意一点 x ， 均有均有 f ( x ) f ( x0 )，则就称则就称 f ( x0 )是函数是函数 f ( x )的一个的一个极小值极小值， 点点 x0 是是
3、 f ( x )的一个的一个极小点极小点；首页上页返回下页 yxO观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为函数的极值函数的极值 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点。aby f(x)x1 f (x1) 0 x2 f (x2) 0 x3 f (x3) 0 x4 f (x5) 0 x5首页上页返回下页如果函数如果函数 f (x) 在点在点 x0 处有极值，且处有极值，且 f (x0)存在，存在，则必有则必有 f (
4、x0) 0。取得极值的必要条件：取得极值的必要条件：驻点：驻点：使导数使导数 f (x)为零的点叫函数为零的点叫函数 f(x)的驻点。的驻点。 说明：说明： 可导函数可导函数 f(x)的极值点必定的极值点必定是函数的驻点。但函数是函数的驻点。但函数 f(x)的驻的驻点却不一定是极值点。点却不一定是极值点。x yOf(x)x3对于函数 f(x)x3可知， x 0是是函数的驻点，不是函数的极函数的驻点，不是函数的极值点。值点。 首页上页返回下页函数极值的判定定理函数极值的判定定理设函数设函数 f (x)在点在点 x0 的近旁可导且的近旁可导且 f (x0) = 0(1)若在点若在点 x0 的的左左
5、侧近旁侧近旁 f (x) 恒为正恒为正； 在点在点 x0 的的右右侧近旁侧近旁 f (x)恒为负恒为负， 则函数则函数 f (x)在点在点 x0 处取得处取得极大值极大值 f ( x0 ) (2)若在点若在点 x0 的的左左侧近旁侧近旁 f (x) 恒为负恒为负； 在点在点 x0 的的右右侧近旁侧近旁 f (x)恒为正恒为正， 则函数则函数 f (x)在点在点 x0 处取得处取得极小值极小值 f ( x0 ) 首页上页返回下页 yxOx1x2abyf(x)在极大值点附近在极大值点附近在极小值点附近在极小值点附近 f (x)0 f (x)0 f (x)0首页上页返回下页2.3.2 函数极值的求法
6、函数极值的求法(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；求可导函数求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤：的极值点和极值的步骤：(2) 求出导数求出导数f(x)； (3) 令令f (x)=0，求出求出 f (x)的全部的全部驻点驻点；(4) 用驻点把定义域划分为用驻点把定义域划分为部分区间部分区间， 考察每个部分区间内考察每个部分区间内 f (x) 的符号的符号， 以确定每个驻点是否是以确定每个驻点是否是极值点极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。若是极值点，确定是极大点还是极小点。首页上页返回下页例例求求 (4) 列表讨论，如下列表讨论，如下：xf (x)f (x)(,2)+2
7、0(2 , 3)单调减少30(3 , + )单调增加函数在函数在 x = 2处取得极小值处取得极小值62 在在 x = 3的单调区间和极值的单调区间和极值.解：解：(1) f (x) 的定义域为的定义域为(,)；(2) f(x) =3x + 3x + 18(3) 令令 f (x) = 0得驻点得驻点 x1 =2, x2 =3单调减少 极小值62首页上页返回下页2.3.3 函数最值的求法函数最值的求法 yxOMabyf(x)mx1x2x3x4x5问：问：最大值与最小值可能在何处取得？最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？怎样求最大值与最小值？ 观察极值与最值的关系：观察极值与最值
8、的关系：首页上页返回下页xO y yf(x ) abxO y yf(x ) ab 如如果果函函数数 f (x)在在a, b上上单单调调增增加加(减减少少)，则则 f (a)是是 f(x)在在a, b上上的的最最小小值值(最最大大值值)，f (b)是是 f (x)在在a, b上的最大值上的最大值(最小值最小值)。函数的最值一般分为两种情况：函数的最值一般分为两种情况：（1）首页上页返回下页xO y f(x0) yf(x ) ax0bxO y f(x0) yf(x ) ax0b 如果连续函数在区间如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一内有且仅有一个个极极大大(小小)值值，而而没没有有极极小小(
9、大大)值值，则则此此极极大大 (小小)值就是函数在区间值就是函数在区间a, b上的最大上的最大(小小)值。值。函数的最值一般分为两种情况：函数的最值一般分为两种情况：（2）首页上页返回下页求函数在区间内的最值的步骤求函数在区间内的最值的步骤(1) 求出函数求出函数 y = f (x)在在(a , b)内的内的全部驻点全部驻点和和(2) 驻点处的函数值驻点处的函数值；(2) 求出区间求出区间端点处的函数值端点处的函数值；(3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数(4) 的最大值，最小的就是函数的最小值。首页上页返回下页求函数求函数 y = x + 3 x9x在上在上4 , 4 的最大值和最小值
10、。的最大值和最小值。解解 (1) 由由 f (x)=3x +6x9,(2) 区间端点区间端点4 , 4 处的函数值为处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76(3) 比较以上各函数值，比较以上各函数值，例例得驻点为得驻点为 x1=3，x2=1 驻点处的函数值为驻点处的函数值为f (3)=27, f (1)=4可知函数在可知函数在4 , 4 上的上的最大值为最大值为 f (4) =76，最小值为最小值为 f (3)=27 首页上页返回下页求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。答 案最大值最大值 f (/2)=/2，最小值最小值 f (/2)=
11、 /2最大值最大值 f (3/4)=5/4，最小值最小值 f (5)= 5+ 最大值最大值 f (1)=29，最小值最小值 f (3)= 61练练 习习首页上页返回下页2.3.4 函数最值应用举例函数最值应用举例 在实际问题中，如果函数在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间在某区间( a , b )内内只有一个驻点只有一个驻点 x0 ，而且从实际问题而且从实际问题本身又可以知道函数在本身又可以知道函数在 ( a , b ) 内必有最大值内必有最大值或最小值，那么或最小值，那么 f ( x0 )就是所求的最大值或最就是所求的最大值或最小值小值.首页上页返回下页 把一个边长为把一个边长为4
12、8cm的正方形铁皮的四角各的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？的方盒容积最大？题题例例484848-2x 解解 设截去的小正方形设截去的小正方形 的边长为的边长为x cm xx方盒容积为方盒容积为V cm首页上页返回下页 把一个边长为把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作方盒。问在四
13、角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？的方盒容积最大？题题例例方盒容积为方盒容积为V cm则则 V = x(482x) , ( 0 x 24 )482xx解解 设截去的小正方形设截去的小正方形 的边长为的边长为x cm 首页上页返回下页 把一个边长为把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？的方盒容积最大？题题例例解解 设截去的小正方形的边长为设截去的小正方形的边长为x cm , 方盒容
14、积为方盒容积为V cm则则 V = x(482x) , ( 0 x 24 )求导数得求导数得 V =(482x)+2x(482x)(2)令令V = 0 , 求得函数的唯一驻点为求得函数的唯一驻点为 x = 8于是于是 , 当当 x= 8 时函数时函数 V 取得最大值取得最大值即当截去的小正方形边长为即当截去的小正方形边长为8 cm时时方盒容积最大方盒容积最大首页上页返回下页要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？使材料最省？答答 案案hr练练 习习设桶底面半径为设桶底面半径为r,
