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1、1 12 2.3.3 角平分线的性质角平分线的性质 （1） 学习目标：学习目标： 1.通过操作、验证等方式，通过操作、验证等方式， 掌握掌握角平分线的性质角平分线的性质定理定理; 2.能能运用运用角的平分线性质定理角的平分线性质定理 解决解决简单的几何问题简单的几何问题. . 复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA122下图中，能表示点下图中，能表示点P到直线到直线l的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长 如图如图，是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器，其中其中AB=AD，BC=DC.将点将点A放在角的顶点
2、放在角的顶点，AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下，沿沿AC画一条画一条射线射线AE，AE就是角平分线就是角平分线. 你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?经过上面的探索，你能得经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一法吗？小组内互相交流一下吧！下吧！探究探究1-想一想想一想证明：证明：ABAD，BCDC 又又AC是公共边是公共边 ABCADC（SSS） BACDAC 即即AE是平分线是平分线EA A作法作法:以以O为圆心为圆心,任意长为半径作任意长为半径作弧弧,交交OA于于M,交交OB于于N.分别以分别以M,N为圆心为圆心,大于大于 的
3、长为半径作弧的长为半径作弧,两弧在两弧在AOB的内部交于点的内部交于点C.作射线作射线OC,射线射线OC即为所求即为所求.0温馨提示温馨提示: 作角平分线是最基本的作角平分线是最基本的尺规作图尺规作图,大家一定要掌握噢大家一定要掌握噢!试一试试一试由上面的探究可以得出作已知角的由上面的探究可以得出作已知角的平分线的平分线的方法方法已知已知: AOB.求作求作: AOB的平分线的平分线.将将 AOB对折对折,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边),然后展开然后展开,观察两观察两次折叠形成的三条折痕次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结你能得到什么结论论?O
4、ABAOBED探究探究2-做一做做一做 已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E. 求证：求证：PD=PE.AOBPED证一证证一证证明：证明：OC是是AOC的平分线的平分线 AOCBOC 又又PDOA，PEOB PDOPEO90 又又OP是公共边是公共边 PDOPEO（AAS） PDPEC角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说PD OA ，PE OB OC平分平分 AOBPDPE用符号表示为：用符号表示为
5、：AOBPEDCAOCBOC推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能少必须写完全，不能少了任何一个。了任何一个。角平分线的性质角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件： （1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上； （3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。 已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，
6、PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E. 求证：求证：PD=PE.AOBPED试一试Cw已知已知:如图如图,在在ABC中中，AD是它的角平分线是它的角平分线，且且BDCD，DEAB，DFAC，垂足分别是垂足分别是E、F.w求证求证:EBFC.BAEDCF用一用用一用(1)证证明：明：AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，DFAC DEDF 在在RtBED和和RtCFD中中 BDCD DEDF RtBED RtCFD（HL） BECF用一用用一用(2) 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们们所所在在的的两两个个三三 角角 形形 全
7、全 等等 ,即即 RtCDF RtEDB. 现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要要我我们们找找什什么么条件条件? DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明. 如如 图图 ： 在在 ABC中中 ， C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于E，F在在AC上上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！丰收乐园丰收乐园回味无穷回味无穷v定理（文字定理（文字语言）言）: 角平分角平分线上上的点到的点到这个角的两个角的两边的距离相等的距离相等.v符号符号语言：言： 12， PDOA，PEOB(已知已知) PD=PE(角平分角平分线上的点到上的点到这个角的两个角的两边距离相等距离相等).v用尺用尺规作角的平分作角的平分线.OCB1A2PDE书山有路勤为径学海无涯苦作舟
