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1、1.2.1 应用举例基础知识复习1、正弦定理2、余弦定理1、分析分析：理解题意，画出示意图 2、建模建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求求解解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 实际问题实际问题数学问题（三角形）数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形中的有关名词、术语解斜三角形中的有关名词、术语：（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。）坡度：斜面与地平面所成的角度。（2
2、）仰角和俯角：在）仰角和俯角：在视线视线和和水平线水平线所成的角中，所成的角中，视线在水平线视线在水平线上方上方的角叫仰角，视线在水平线的角叫仰角，视线在水平线下下方方的角叫俯角。的角叫俯角。（3）方位角：从正北方向）方位角：从正北方向顺时针顺时针转到目标方向转到目标方向的夹角。的夹角。（4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角内交叉而成的角1.仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;2.俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；方位角方位角N目标方向线4.方向角方向角:是指从指定方
3、向线到是指从指定方向线到 目标方向线的水平角目标方向线的水平角, 如北偏东如北偏东30度度,南偏西南偏西45度度.几个概念：几个概念：3.方位角：正北方向线顺时针方向方位角：正北方向线顺时针方向 到目标方向线的夹角。到目标方向线的夹角。例例1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一
4、边，可以用正弦定理解三角形解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。变式练习：两灯塔变式练习：两灯塔A A、B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距离都的距离都等于等于a km,a km,灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东3030，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C南偏东南偏东6060，则，则A A、B B之间的距离为多少之间的距离为多少？例例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。一种测量两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河
5、的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用余弦定理计算中，应用余弦定理计算出出AB两点间的距离两点间的距离变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河
6、岸选取相距4040米的米的C C、D D两两点，测得点，测得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=求求A、B两点间距离两点间距离 .注：阅读教材注：阅读教材P12P12，了解，了解基线基线的概念的概念练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的
7、海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2
8、）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC
9、中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的 测测量量出出角角C C和和BCBC的的长长度度，解解直直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的长。的长。 图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一
10、种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。BEAGHDC解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点
11、在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测测角角仪仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。解：在解：在ABC中，中，BCA= 9
12、0 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，例例3 3：如图：如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶正西行驶, ,到到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西偏北在西偏北15150 0的方向上的方向上, ,行驶行驶5km5km后到达后到达B B处处, ,测测得此山顶在西偏北得此山顶在西偏北25250 0的方向上的方向上, ,仰角为仰角为8 80 0, ,求求此山的高度此山的高度CD CD 分析：要测出高分析：要测出高CD,只要测出只要测出高所在的直角三角形的另一条高所在的直角三角形的另一条直
13、角边或斜边的长。根据已知直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出条件，可以计算出BC的长。的长。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高，求此山的高度度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047
14、米。米。解：在解：在ABC中，中，C=25-15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。BDAC5km15258变式：某人在变式：某人在M M汽车站的北偏西汽车站的北偏西20200 0的方的方向上的向上的A A处，观察到点处，观察到点C C处有一辆汽车处有一辆汽车沿公路向沿公路向M M站行驶。公路的走向是站行驶。公路的走向是M M站站的北偏东的北偏东40400 0。开始时，汽车到。开始时，汽车到A A的距离的距离为为3131千米，汽车前进千米，汽车前进2020千米后，到千米后，到A A的的距离缩短了距离
15、缩短了1010千米。问汽车还需行驶千米。问汽车还需行驶多远，才能到达多远，才能到达M M汽车站？汽车站？ 例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后后到达海岛到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该沿怎此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确距离精确到到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC180
16、7532137，根据余弦定，根据余弦定理，理，我海军舰艇在我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后，处获悉某渔船发出的求救信号后，立即测出该渔船在方位角（指由正北方向顺时针立即测出该渔船在方位角（指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角）为旋转到目标方向的水平角）为 45，距离，距离A为为10海海里的里的C处，并测得渔船正沿方位角处，并测得渔船正沿方位角 105 的方向以的方向以9海里海里/时速度向某岛时速度向某岛P靠拢，我海军舰艇立即以靠拢，我海军舰艇立即以21海里海里/时的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的时的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进？并求出靠近渔船所用时间航向前进？并
17、求出靠近渔船所用时间。北北北北BCA解：解：练习练习1 1如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕绕C点旋转点旋转时，通过连杆时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在在A处，设连处，设连杆杆AB长为长为340mm，由柄由柄CB长为长为85mm，曲柄自曲柄自CB按顺时针方按顺时针方向旋转向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距移动的距离离 ）（精确到）（精确到1mm） 已知已知AB
18、C中，中， BC85mm，AB340mm，C80，求求AC 解：（如图）在解：（如图）在ABC中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：因为因为BCAB，所以所以A为锐角为锐角 ， A1415 B180（AC）8545 又由正弦定理：又由正弦定理：解解 题题 过过 程程答：活塞移动的距离为答：活塞移动的距离为81mm 解解 题题 过过 程程 解：如图，在解：如图，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：A 2.我我舰舰在在敌敌岛岛A南南偏偏西西50相相距距12海海里里的的B处处，发发现现敌敌舰舰正正由由岛岛沿沿北北偏偏西西10的的方方向向以以10海海里里/小小时时的的速速度度航航行行问问我我舰舰需需以多大速度、沿什么方向航行才能用以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？小时追上敌舰？CB 我舰的追击速度为我舰的追击速度为14海里海里/小时，小时，练习练习又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得：故我舰航行的方向为北偏东故我舰航行的方向为北偏东3. 3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。总总 结结实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明
