231比例线段共7课时

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1、我们把我们把形状相同形状相同的两个图形说成是的两个图形说成是相似图形相似图形.A=AA=A1 1,B=B,B=B1 1,C=C,C=C1 1,D=D,D=D1 1; ; 1.53D1C1B1A1DCBAA AAA1 1,B,B BB1 1,C,C CC1 1, , 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形相似多边形.对应角相等对应角相等对应边长度的比相等对应边长度的比相等这时,对应边长度的比叫做相似比相似比,也叫相似系数相似系数.23C1B1A1CBA 如图，矩形如图，矩形ABCD和矩形和矩形A1B1C1D1相似吗？相似吗？为什么？

2、为什么？练习练习1：分析分析: 对应边长度的比不相等对应边长度的比不相等答案：不相似答案：不相似2.51.531B1C1D1A1DCBA练习练习2： 如图，菱形如图，菱形ABCD和菱形和菱形A1B1C1D1相似吗？相似吗？为什么？为什么？分析分析: 对应角不相等对应角不相等答案：不相似答案：不相似4560ABCDD1A1B1C1 线段长度的比又叫线段长度的比又叫线段的比线段的比.注意：注意：1.计算两条线段的比时，单位必须统一；计算两条线段的比时，单位必须统一；1. 线段线段a=2cm, b=3cm,求求 .2.线段线段c=4cm,d=60mm,求求 .同一单位长度下同一单位长度下2.两条线段

3、的比有顺序，不可颠倒；两条线段的比有顺序，不可颠倒；A. B. C. D. cmA. B. C. D. cm又是多又是多少呢？少呢？已知四条线段已知四条线段a、b、c、d 中，中， 那么那么 a、b、c、d 叫做叫做成比例线段成比例线段.如果如果(或或 a : b=c : d )，a : b = c : d比例内项比例内项比例外项比例外项 比例是指四条线段比例是指四条线段之间的一种关系，之间的一种关系，它们有顺序要求它们有顺序要求.练习练习3a : b = c : d 如果作为如果作为比例内项比例内项的两条线段是的两条线段是相等相等的，的， 即即 (或或 a:b=b:c)， 那么线段那么线段b

4、叫线段叫线段a，c的的比例中项比例中项.特别地，特别地，小结：相似相似多边多边形形比例比例线段线段角：角：边：边：两条线两条线段的比：段的比：比例比例线段线段长度单位统一；长度单位统一；与单位无关，本身没有单位；与单位无关，本身没有单位；两条线段有顺序要求；两条线段有顺序要求；概念：概念：项、比例内项、比例外项；项、比例内项、比例外项；四条线段有顺序要求；四条线段有顺序要求；对应角相等对应角相等对应边长度的比相等对应边长度的比相等特别地：特别地：比例中项；比例中项；相似比（相似系数）相似比（相似系数）课堂作业：课堂作业：课本第课本第49页第页第2题；题；基础训练基础训练24.1：同步练习同步练

5、习1作业：作业：练习练习3：如果如果a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm,则下列比例式成立的是（则下列比例式成立的是（ ）A. B. C. D.返回返回已知四条线段a、b、c、d ，如果a cb d = ，或 a：b=c：d，那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.如果作为比例内项的是两条相同的线段 ，即a bb c = ， 或 a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.(1)比例的基本性质如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.因为 a：b=c：d，即a

6、cb d = ，比例的内项乘积等于外项乘积比例的内项乘积等于外项乘积. .两边同乘以两边同乘以 bd，得，得 ad=bc；上述性质反过来也对，就是上述性质反过来也对，就是如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .(1)比例的基本性质a：b=c：d ad=bc.特殊地说：a：b=b：c b =ac.2综合地说：练习练习1:如果PA PCPB PD= ，那么 PAPD=如果CD DFEB AD= ，那么 ADCD=PBPC；EBDF；如果AD PBPB BC= ，那么 ADBC=如果DE DFDF DC= ，那么 DEDC=PB2；DF2；说明：(1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不

7、相同)；(2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变了).a cb d = a bc d = d cb a = . 练习练习2：如果 AEBF=AFBE，AE= ，那么 BE= ，BF= ，AF= ；BE= ，BF= ，AF= ，AE= ，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE说明：同时对调比例式两边的比的前后项，比例式仍然成立(比值变了).a cb d = b da c = . 练习22：如果 AC2=ABAD，AC= ，那么 AB= ；ABADACACACAD独山镇天峰初中 李贤武(2)合比性质如果 = ，a cb d

8、那么= .ab cd b d DFEFACBC= ，练习练习31：如图，已知 那么 AB DEBC EF= ，理由：理由：AB DEBC EF= AC DFBC EF= .AB+BC DE+EF BC EF=ABCDEFDFDEACAB= ，练习练习32：如图，已知 那么 AB DEBC EF= ，理由：理由：AB DEBC EF= AB+BC DE+EF AB DE=BC EFAB DE= AC DFAB DE= .ABCDEFEFDE练习练习33：如图，已知 BCAB= ，那么 AC DFBC EF= ，ABCDEF理由：理由：AC DFBC EF= ACBC DFEF BC EF=AB

9、DEBC EF= BC EFAB DE= .AFAC练习练习34：如图，已知 AEAB= ，那么 BE CFEA FA= ，理由：理由：BE CFEA FA= AE+BE AF+CF AE AF=AB ACAE AF= AE AFAB AC= .ABCEF有没有简单方法？AFAC练习练习35：如图，已知 AEAB= ，那么 BE CFAB AC= ，理由：理由：BE CFAB AC= AB ACBE CF= AE+BE AF+CF AE AF=AE AFBE CF= ABBE ACCF BE CF=BE CFAE AF= = .AE AFAB AC= AB ACAE AFABCEF(3)等比性

10、质如果 那么= = a cb d =mn (b+d+n0),a+c+mb+d+n = .a ba cb d =mn = = 证明：设=k,则 a=bk, c=dk,m=nk, =a+c+mb+d+nbk+dk+nk b+d+n=(b+d+n)k b+d+n=k= .aba cb d =mn = = a+c+mb+d+n= .ab？独山镇天峰初中 李贤武练习练习35：如图，已知 AEAB= ，那么 BE CFAB AC= ，ABCEFAFAC理由：BE CFAB AC= AC CFAB BE= AC CFAB BE=AF ACAE AB= AE AFAB AC= .AF AEAC AB= ACC

11、F ACABBE AB= ABBE0独山镇天峰初中 李贤武例1、已知 = ，求 .x+y 5 x 3y 4 y解： = ，x+y 5 3y 4 = ，x+y 15 y 4x+yy 154 y 4 = ，x 11y 4 = .独山镇天峰初中 李贤武例2、已知 a：b：c=2：5：6， 求 的值.2a+5bc3a2b+c解：设 = = = k,a b c2 5 6则 a=2k,b=5k,c=6k, =2a+5bc3a2b+c4k+25k6k6k10k+6k=23 2.例3、已知：如图， = = ，OA OB 3OC OD 2求：(1) ; (2) .OAACOA+OBOC+ODOABCD分析：(1

12、)OAAC OAOA+OCOA+OC OAOCOA=23.例3、已知：如图， = = ，OA OB 3OC OD 2求：(1) ; (2) .OAACOA+OBOC+OD解：(1) = ，OCOA23 = ，OA 3OC 253 = ，OA+OC OA即 = ，AC 5OA 3 = ；OA 3AC 5OABCD例3、已知：如图， = = ，OA OB 3OC OD 2求：(1) ; (2) .OAACOA+OBOC+OD解：(2) = .OA+OBOC+OD32 = = ，OA OB 3OC OD 2OABCD 学以致用学以致用学以致用学以致用巧用比例性质解题巧用比例性质解题巧用比例性质解题巧

13、用比例性质解题BC66. 若 ，则7.若则k=_2或-18.已知 ,则a:b=_19:139.如果那么 9一、探索交流，建立概念一、探索交流，建立概念CABACBCAB这两个问题可以抽象出同一个数学问题：在线段这两个问题可以抽象出同一个数学问题：在线段AB上，上，有一个点有一个点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC，当点，当点C的位置的位置 比较比较 美时，美时， 与与 的值是固定的，且都近似约等于的值是固定的，且都近似约等于0.6. 黄金分割黄金分割 点点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC，如果，如果 那么称线段那么称线段AB被点被点C黄金分割，点黄金分

14、割，点C叫做线段叫做线段AB的黄金分割点，的黄金分割点，AC与与AB的比称为的比称为黄金比黄金比.AC,ABBCAC= =BAC从形式上理解：成比例线段的形式从形式上理解：成比例线段的形式.从比值上理解：黄金比从比值上理解：黄金比一、探索交流，建立概念一、探索交流，建立概念（1 1）图形中与）图形中与ADEADE的面积相等的三角形有的面积相等的三角形有 . .ABCDE如图，在如图，在ABC中中，D是是AB上一点，上一点，AD=DB,DE BC交交AC与点与点E，连结，连结BE.（2 2 2 2）连结）连结）连结）连结CD,CD,CD,CD,图形中与图形中与图形中与图形中与ADEADEADEA

15、DE的面积相等的三角形还的面积相等的三角形还的面积相等的三角形还的面积相等的三角形还 有有有有 . . . . BDE CEDhABCDE 在在ABC中中, ,D是是AB上任意一点，上任意一点，DEBC,DEBC,猜想猜想：证明：证明：连结连结BE、CD交交AC与点与点E，则：，则：ABCDE 在在ABCABC中中,D,D是是ABAB上任意一点，上任意一点，DEBC,DEBC,交交ACAC与点与点E E，则：，则：推广：推广：结论结论：怎样用文字怎样用文字把这一发现把这一发现表述出来表述出来？ 讨论：若讨论：若DEDE截在截在AB,ACAB,AC的延长线上，或的延长线上，或DEDE截在截在BA

16、,CABA,CA的延长线上，如上图，上面的的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？三个比例式还成立吗？ABCDEABCDE三角形一边的平行线的性质定理：三角形一边的平行线的性质定理： 平行于三角形一边的直线截其平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线），他两边（或其他两边的延长线），所得对应线段成比例所得对应线段成比例. .ABCDECABDE DE BC 观察、猜想类比、证明一、选择题一、选择题1 1、如图、如图1 1，DE BC，下列比例式中，不成立的是（下列比例式中，不成立的是（ ）A.B.C.D.ABCDE图1ABCDO图22 2、如图、如图2 2，AB CD，AD和

17、和BC相交于点相交于点O，下列比例式中，下列比例式中，正确的是（正确的是（ ）A.B.C.D.BD如图：已知如图：已知DE BC,AB=15,AC=10,BD=6. .求求CE. .解解DEBC,DEBC, 由由AB=15,AC=10,BD=6,AB=15,AC=10,BD=6,得得 CE=4. ABCDE 如图，在如图，在ABC中，中，DE BC，DE与与AB、AC分别分别相交于点相交于点D、E.已知：已知：求求 AD的长的长ABCDE思考思考ABC中，若中，若DE BC，则，则 它们的值与它们的值与 相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDEF如图，已知如图，已知l1l2l3 求证：求证：

18、思思 考考 题题:平行线分线段成比例定理下下下下上上上上=三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例对应成比例.全全全全=上上上上全全全全=下下下下FCl1l2l3EDBAabFEDabl1l2l3ABCDEFabl1l2l3ABCDEF ! !注意注意: :平行线分线段成比例定理得到的比例平行线分线段成比例定理得到的比例式中式中, ,四条线段四条线段与与两直线的两直线的交点位置无关交点位置无关! !abl1l2l3ABCDEF 两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线

19、段也相等线段也相等.平行线等分线段定理：平行线等分线段定理：平行线等分线段定理：平行线等分线段定理： 平行线分线段成比例定理与平行线等分平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？线段定理有何联系？ABCDEFABCDEF结论：后者是前者的一种特殊情况！ab基本图形：基本图形：“A”字形字形l1l2l3ABC（D）EFab基本图形：基本图形：“8”字形字形l1l2l3ABCD（E）F练习一：练习一：CEBEBCCEADACAEEBDFFCDFDEDFFEDBCAEGADBCEFFBAEDC 已知：如图已知：如图 ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4. 求求 AC。练习二：练习二：23lD

20、CBEAF1llE（1）若）若l1 / l2， 说出比例线段说出比例线段（2）若）若l2 / l3， 说出比例线段说出比例线段（3）若）若l1 / l3， 说出比例线段说出比例线段（4）若）若l1 / l2/ l3，DE=3, EO=2, OF=4, OB=1, 求：求：AB、OC的长的长.练习三：练习三：abl1l2ABCDEFOabl1l2l3ABCDEFO例例 题题 1：已知：已知：EG/BC ，GF/CD,求证：求证：FEABCDG例例 题题 2：已知：已知：BE平分平分ABC，DE/BC. AD=3, DE=2, AC=12, 求求AE的长度的长度DEBCA3223k2k 在在RtA

21、BC中，中，C=90，DEBC于于 点点E. AD = 5, DB = 10, CE = 4. 求求DE、AC 的长度的长度.BCAED练习四：练习四：5104869FBF=DE探探 究：究：EF/ABBFACAE=BCDE/BCAEADACAB=BCDEACAEABAD=DE练习五：练习五： 1.（1）在）在ABC中，中，DE / BC，AD= 6， AB= 9 ， DE= 4，则，则BC的长是的长是（2）若）若DE : BC = 2 : 5，则，则 AD : DB =（3）若）若BC= 7，DE= 4，AE= 8，那么，那么EC=A2. 已知已知DE / BC，AB= 1，AC= 2，AD

22、= 3，DE= 4，则，则BC= ，AE =BCED62 : 368/31.5ABCDE练习五：练习五：3. 已知：如图，已知：如图，DE / BC，EO: OC =3:7.373734OAEDBC练习五：练习五：4. 已知：如图，已知：如图，ABC 的中线的中线 AD、BE 交于点交于点G. 求证：求证：GDEBAC思考题：思考题： 已知已知AD / ED / BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求，求EF的长的长ABCDEF解法一：解法一： 作AG / CD交EF于HAD / EF / BCAD=15, BC=21AD = HF = GC =15 ，BG = 62AE = EB

23、= 2EF=215 =17GH解法二：解法二：连结 AC 交 EF于MMEF / BC2AE = EB BC=21EM=2131同理可得同理可得: MF =ADCDFCADABBE= 1532=10 EF = EM + MF = 17= 7思考题：思考题： 已知已知AD / ED / BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求，求EF的长的长ABCDEF 1. 已知：在已知：在ABC中，中，BD平分平分 ABC，与与AC相交于点相交于点D； DE / BC，交，交AB于点于点E，AE= 9，BC=12，求，求BE的长的长.探索、思考：求线段长度（比值）探索、思考：求线段长度（比值）AB

24、CDE132912xxFHGEABCD 2. 如图，已知如图，已知ABCD，E、F为为BD的三等的三等分点，分点，CF交交AD于于G，GE交交BC于于H .(1) 求证：点求证：点G为为AD的中点；的中点；4k2kk3k探索、思考：求线段长度（比值）探索、思考：求线段长度（比值）FCABDE 3. 如图，如图，ABC中，中，D是是AB上的点，上的点，E是是AC上的点，延长上的点，延长ED与射线与射线CB交于点交于点F若若AE EC = 1 2，AD BD = 3 2 求求FB FC的值的值3k2k2m6m探索、思考：求线段长度（比值）探索、思考：求线段长度（比值）G3m4m2m 3. 如图，如

25、图，ABC中，中，D是是AB上的点，上的点，E是是AC上的点，延长上的点，延长ED与射线与射线CB交于点交于点F若若AE EC = 1 2，AD BD = 3 2 求求FB FC的值的值FCABDEH探索、思考：求线段长度（比值）探索、思考：求线段长度（比值）3k2k3m6m 3. 如图，如图，ABC中，中，D是是AB上的点，上的点，E是是AC上的点，延长上的点，延长ED与射线与射线CB交于点交于点F若若AE EC = 1 2，AD BD = 3 2 求求FB FC的值的值FCABDEM探索、思考：求线段长度（比值）探索、思考：求线段长度（比值）3k2km2m6k 3. 如图，如图，ABC中，中，D是是AB上的点，上的点，E是是AC上的点，延长上的点，延长ED与射线与射线CB交于点交于点F若若AE EC = 1 2，AD BD = 3 2 求求FB FC的值的值FCABDE3k2km2m4kN探索、思考：求线段长度（比值）探索、思考：求线段长度（比值）6k