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1、觀測量的權權的觀念與計算緒言n觀測量含有誤差，而各觀測量的誤差大小也不一样。n為了滿足某些幾何條件，各觀測量必須加以矫正。n就誤差理論而言，誤差大的其矫正量也要大，誤差小的則矫正量小。n觀測量的權是在比較與其他觀測量的相對價值的一種指標。權是用來在平差中控制觀測量矫正的大小量。n精度愈高的權愈大，反之則權愈小。n因此，權與變異數成反比。換言之，矫正量的大小與權成反比。n權是相對的，因此，協變方矩陣中的變異數與協變方，可以用餘因子(cofactor)替代。其關係式如下第ij個觀測量的餘因子參考變異數，用來決定比例緒言n餘因子矩陣Q可寫為n其中為協變方矩陣n因此，權矩陣為在非相關觀測量中權矩陣為對
2、角矩陣可用單位權(觀測量)變異數取代加權平均值n觀測兩次，其中一次是另一次的二倍好，假设較差的那一次的權值為1，則較好的那一次的權值應為2。n在計算平均值時，權值為2的觀測量應被加兩次，而權值為1的觀測量則被加1次，再除以總次數3。n例如，以EDM丈量距離其精度為以捲尺丈量的兩倍，以EDM丈量的結果為152.5m，而以捲尺丈量良的結果為151.9m，則其加權平均值為加權平均值n假設z有m個獨立的觀測量zi，每個觀測量的標準差為，則觀測量平均值為n假设將觀測量分成兩組，一組的數量為ma另一組的數量為mb，且m=ma+mb，則平均值為n總平均值則為加權平均值第十章將證明加權平均為一組加權觀測之最或
3、是值例例9.1 假設一段距離假設一段距離d量測三次，得以下結果：量測三次，得以下結果：92.61, 權為權為3、92.60, 權為權為2、92.62, 權為權為1；試計算其權平均。；試計算其權平均。解：加權均值為假设忽略權，則三個量測之簡單平均值為：92.61權與標準差的關係由誤差傳播定律知將對各觀測量的偏導數值代入，得同理，得權與標準差的關係(9.15)與(9.16)二式中，為常數，由(9.13)式， 與 之權分別為ma與mb，而因權為相對的，故由(9.15)與(9.16)二式，可得：可得結論：對非相關之觀測量，權與量測之變方成反比。加權觀測量的統計學n標準偏向n由定義知，當某觀測量的精度等
4、於w個單位權觀測量的平均值時，則該觀測量的權為w。n假設0為單位權的標準誤差，假设y1、y2、yn維觀測量，其標準差分別為1、 2、 、 n ，權則分別為w1、w2、wn，則由(9.5)式，可得加權觀測量的統計學標準偏向則為不等權的標準誤差則為因為等權的標準誤差為加權觀測量的統計學n 權為w的標準誤差與加權平均的標準誤差由權與變異數關係知同理得標準偏向加權觀測量的統計學假设令上式分母中的權為1，則得加權觀測量的單位權標準偏向(參考標準偏向)S0加權平均的參考標準誤差與標準偏向分別為角度量測的權在觀測條件一样下，某平面三角形的三個內角：1、2與3，分別被量測了n1、n2與n3。那麼這些角度的相對
5、權為假设干？為分析權與角度觀測次數之間關係，設S為角度單一觀測之標準偏向，三個角度之平均值如下：平均值的變異數為因觀測量的權與觀測變異數成反比，且為相對的，故三個角度的權為：權與觀測次數成正比逐差水準測量的權(1)(2)(3)BM A=100.00BM X水準網右圖所示為水準網，水準線1、2與3的長度分別為2公里、3公里與4公里。水準線長度不同，其相應的高差誤差也會不一样，因此各水準線的權也會不同。而其相對權應為假设干？因為逐差水準測量高差的標準誤差為同一水準線為常數逐差水準測量的權因此，3條水準線的權分別為：因為權是相對的直接水準測量的權與其線長成反比。而水準線長度與其擺設儀器次數直接水準測
6、量的權與其線長成反比。而水準線長度與其擺設儀器次數成正比，所以權與儀器設站次數成反比成正比，所以權與儀器設站次數成反比實例例例9.2 假假设设三角形三角形ABC之三個角由同一個人，利用一之三個角由同一個人，利用一样样儀器觀測，觀測儀器觀測，觀測成果為：成果為：A=451525, n=4, B=833722, n=8, C=510739, n=6；試平；試平差差矫矫正這些角度。正這些角度。解：如表解：如表9.1所示，根據觀測次數來給定權，所示，根據觀測次數來給定權，矫矫正數則與權成反比；三正數則與權成反比；三個角度量測個角度量測值值的和為的和為1800026，故閉合差為，故閉合差為26；在第三欄
7、之；在第三欄之矫矫正正因子裡，為計算方便且避開分數，將因子裡，為計算方便且避開分數，將矫矫正因子乘以正因子乘以24，而因權為相對，而因權為相對者，故此並不影響者，故此並不影響矫矫正。最後一列各項總和可用來重複檢核。正。最後一列各項總和可用來重複檢核。實例例例9.3 類似圖類似圖9.1之水準網，水準線之水準網，水準線(1), (2), (3)之線長分別為之線長分別為2, 3, 4公里，公里，假假设设三段線之觀測高差分別為：三段線之觀測高差分別為：2.120m, 2.123m, 2.129m，求各段高，求各段高差之加權平均，與水準點差之加權平均，與水準點BMX之高程之高程(每一段均自每一段均自BM
8、A測至測至BMX)。解：水準線解：水準線(1), (2), (3)之權分別為之權分別為1/2, 1/3, 1/4，又因權為相對者，上列權，又因權為相對者，上列權可乘上恣意數可乘上恣意數12而得：而得：6, 4, 3，再應用，再應用(9.13)式，高差之加權平均為：式，高差之加權平均為：故BMX之高程=100.000+2.123=102.123m；假设不考慮加權平均，僅求簡單平均，則平均高差變為2.124m。實例例例9.4 利用布卷尺量得一段距離為利用布卷尺量得一段距離為190.741m，權設為，權設為1；又用鋼卷尺量得；又用鋼卷尺量得為為190.716m，權設為，權設為2；再用；再用EDM量得
9、為量得為190.710m，權設為，權設為4。試求線。試求線長之最或是值長之最或是值(即加權平均即加權平均)與加權平均值之標準偏向。與加權平均值之標準偏向。解：加權平均其中v1=190.716190.741=0.025 w1v12=1(0.025)2=0.00062v2=190.716190.716= 0.000 w2v22=2( 0.000)2=0.000000v3=190.716190.710=+0.006 w3v32=4(+0.006)2=0.000144wv2=0.000769實例例例9.5 假设自水準點假设自水準點A測至測至B，共四條不同之路線，資料如表，共四條不同之路線，資料如表9.2所示，為所示，為計算方便，權計算成計算方便，權計算成18/li，試求高差之最或是值，試求高差之最或是值(加權平均加權平均)、加權平均、加權平均之標準偏向、與加權觀測之標準偏向。之標準偏向、與加權觀測之標準偏向。解：解：實例標準偏向假设僅求簡單平均，則平均高差變為7.730m。加權平均標準偏向加權觀測量的標準偏向作業n9.2、9.8、9.9
