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1、第四节第四节 全微分全微分方向导数方向导数梯度梯度 我们以二元函数为主, 进行讲解, 所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中.一一. . 全微分全微分回忆一元函数的微分回忆一元函数的微分可微可导运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.一元函数的增量多元函数的全增量回忆一元微分的几何意义回忆一元微分的几何意义yDyd 一元: 用切线上的增量近似曲线上的增量. 多元: 用切平面上的增量近似曲面上的增量.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量二元函数全微分的定义二元函数全微分的定义时, 若函数在点 X0 处的全增量可则称函数在点 X0 处可微, 设函数在点的某一邻域称
2、为函数在点 X0 处的全微分, 其中, a , b 是与DX内有定义, 当获得增量且表示为 0有关的常数.无关,仅与X全微分概念的极限形式其中如果函数在区域中的 每一点均可微, 则称函数在区域 上可微 .函数在区域上的可微性函数在区域上的可微性可微连续可导? 在多元函数中, 三者的关系如何？可微：连续：可微与连续的关系可微与连续的关系 ( (可微的必要条件可微的必要条件) )可微与连续的关系可微与连续的关系 ( (可微的必要条件可微的必要条件) )函数在点 X0 处可微,则必在点 X0 处连续 .可微连续可导?在多元函数中, 可微连续可微与可导的关系可微与可导的关系 ( (可微的必要条件可微的
3、必要条件) )定理定理若在点处可微,可微：可微与可导的关系可微与可导的关系 ( (可微的必要条件可微的必要条件) )定理定理则其两个偏导数均存在, 且若在点处可微,证证若函数可微, 则即同理, 取可微连续可导在多元函数中, 可微可偏导可微连续可导在多元函数中, 可微可偏导在多元函数中, 可偏导可微?函数在点(0, 0)处连续, 且有有界的偏导数, 但不可微.例1 该例留给学生课后研讨 参考书：高等数学中的反例 朱 勇等编 华中工学院出版社 1986年 p 120130逆命题逆命题? ?可 微连续可导连 续可 导连续可导连续可导OkOk定理定理设在内有定义, 可偏导.若,在点处连续, 则函数 f
4、 ( X ) 在点 X0 处可微.二元函数可微的充分条件二元函数可微的充分条件证要证明函数 f ( X ) 在点 X0 处可微, 即要证利用微分中值定理由偏导数的连续性故同理其中为该极限过程中的无穷小量.从而, 函数的全增量又由夹逼定理 这一步是怎 么得来的 ？故即函数 f ( X ) 在点 X0 处可微.如果函数在区域中具有连续偏导数和, 则称函数为区域中的类函数 , 记为当不强调区域时, 记为二. 全微分的计算 请看书 P28 请看书 P28全微分的计算全微分的计算例2解 将 y, z 看成常数: 将 x , z 看成常数: 将 x , y 看成常数:故例3若可微, 求其全微分.解例例4.
5、 求 u = xyz 的全微分.解解:故 du = yzxyz1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdy= xyz1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdy)回头看全微分公式回头看全微分公式这与物理中的叠加原理相符.三三. . 方向导数方向导数回忆一元函数的单侧导数:ABCxOyz.P0Pl.利用点函数推广到方向导数的定义方向导数的定义 设函数在内有定义.若点 沿射线 l 趋于时, 极限l 方向的方向导数. 记为存在, 则称该极限值为函数在点处沿比较方向导数与偏导数的概念比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中, 分母在偏导数中, 分母可正、可负.即使 l 的方向与
6、 x 轴 , y 轴的正方向一致时,方向导数与偏导数也是两个不同的概念.单向双向 利用直线方程可将方向导数的定义表示为利用直线方程可将方向导数的定义表示为: :射线 l 的方程:则故怎么计算方向导数？方向导数导计算公式方向导数导计算公式若函数在点处可微,则函数在点处沿任一方向的方向导数存在, 且其中, 各偏导数均为在点处的值.定理定理例4解例5由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处向导数值都等于 1:的两个偏导数均不存在, 但它在该点沿任何方向的方向导数均存在, 且方此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是必要条件.只与函数在点 X0 处的偏导数有关.1一个问题：一个问题：该问题仅在不同时为零才有意义.在给定点沿什么方向增加得最快?可微函数现在正式给出的定义grad u且四四. . 梯度梯度定义定义设则称向量为函数在点处的梯度, 记为或 梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致, 而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值. 以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中.在中在中可统一表示为例6解从而 梯度及其运算公式的参考书 工程数学 矢量分析与场论谢树艺 高等教育出版社 1985年
