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1、方程组与高阶方程的情形5.6.1 一一阶一一阶微分方程微分方程组的一般形式的一般形式为：= = = = )(,.),(,()(.)(,.),(,()(1111xyxyxfxyxyxyxfxymmmm初初值0002020101)(,.,)(,)(mmyxyyxyyxy= = = =将将问题记作，令：作，令：前述所有公式皆前述所有公式皆适用于向量形式。适用于向量形式。以两个方程构成的方程以两个方程构成的方程组为例：例：设为节点上的近似解，点上的近似解，则有改有改进的的Euler格式格式为 预报：校正：校正： 例例用改用改进的的Euler法求解初法求解初值问题 取步取步长h，保留六位小数。，保留六位
2、小数。 解解: 改改进的的Euler法公式法公式为预报： 校正：校正： 由初由初值,计算得算得 相相应的四的四阶龙格格库塔格式（塔格式（经典格式）典格式）为 式中式中 这是一步法，利用是一步法，利用节点点上的上的值，由上式由上式顺序序计算算然后代入然后代入即可求得即可求得节点上的点上的多个方程的多个方程的Runge-Kutta形式可写形式可写为：5.6.2 化化高高阶方程方程组为一一阶方程方程组= = = = = = =- - - -10)1(1000)1()()(,.,)(,)(),.,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作一化作一阶微分方程微分方程组求解。求解。引入新引入新变量量初初值条件条件为：即可将即可将n阶方程化方程化为如下的一如下的一阶方程方程组 例如例如,二二阶微分方程的初微分方程的初值问题 在引入新的在引入新的变量量后后,即化即化为一一阶方程方程组初初值问题:上式上式为一个一一个一阶方程方程组的初的初值问题。应用四用四阶龙格格-库塔公式得塔公式得 消去消去，上式，上式简化化为： 上述方法同上述方法同样可以用来可以用来处理三理三阶或更高或更高阶的微分方的微分方程（或方程程（或方程组）的初）的初值问题 时 然后然后计算算时的的y2和和z2；依此；依此类推，直到推，直到i=9时的的y10和和z10，即可得到，即可得到其数其数值解。解。
