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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 二重积分概念 二重积分是定积分在平面上的推广 , 不同之处在于 : 定积分定义在区间上 , 区间的 长度容易计算 , 而二重积分定义在平面区域 上 , 其 面 积 的 计 算 要 复 杂 得 多 . 一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质 返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、平面图形的面积 我们首先定义平面图形的面积我们首先定义平面图形的面积. 所谓一个平面图形所谓一个平面图形 P 是有界的是有界的, 是指构成这个平面图形的点集是平面是指构成这个平面图形的点集是平面 上上的有界点集
2、的有界点集, 即存在一矩形即存在一矩形 R , 使得使得 设设 P 是一平面有界图形是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一用平行于二坐标轴的某一 组直线网组直线网 T 分割这个图形分割这个图形 (图图21-121-1) , 这时直线网这时直线网 T 的的网眼网眼 (小小闭矩形矩形) 可分可分为三三类: (i)上的点都是上的点都是 P 的内点的内点; (ii)上的点都是上的点都是 P 的外点的外点, 即即 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(iii) 上含有上含有 P 的的边界界点点. . 将所有属于第将所有属于第(i i) 类小矩形类小矩形( (图图 21-1 中紫色部分中紫
3、色部分) )的面的面积加起来积加起来, ,记这个和数为记这个和数为 里里 表表示包含示包含P P 的那个矩的那个矩 形形 R 的面积的面积) ); 将所有第将所有第 (i) 类与第类与第 (ii) 类小矩形的类小矩形的 面积加起面积加起来来( (图图 21-1中着色部分中着色部分),),记这个和数为记这个和数为则有有 则有有 ( (这这 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由确界存在定理可以推得由确界存在定理可以推得, ,对于平面上所有直线网对于平面上所有直线网, , 显然有显然有 通常称通常称 为 P 的的内面内面积, 为 P 的的外面外面积. 定定义1 若平面若平面图形形 P
4、满足足=, 则称称 P 为可求面可求面 积的图形积的图形, ,并把共同并把共同值 作作为 P 的面的面积. 定理定理21.1 平面有界图形平面有界图形 P 可求面积的充要条件是可求面积的充要条件是: 数集数集有上确界有上确界, 有下确界有下确界. 记 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对任任给的的总存在直存在直线网网 T, 使得使得 证 必要性必要性 设有界有界图形形 P 的面的面积为. 由定由定义 1, 有有 由由及及的定的定义知道知道, 分别分别 存在直存在直线网网 与与 使得使得 记 T 为由由 与与这两个直两个直线网合并所成的直网合并所成的直线网网, 可证得可证得 返回返
5、回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是由于是由(3)(3)可得可得 从而从而对直直线网网 T 有有 充分性充分性 设对任任给的的 存在某直存在某直线网网 T, 使得使得 但但 所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由的任意性的任意性, 得得 因而平面因而平面图形形 P 可求面可求面 积积. . 推论推论 平面有界图形平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它的面积为零的充要条件是它 的外面的外面积 即即对任任给的的 存在直存在直线网网 T, 使得使得 或或对任任给的的平面平面图形形 P 能被有限个面能被有限个面积总和和 小于小于 的小矩形所覆盖的小矩形所覆盖. 返
6、回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 21.2 平面有界图形平面有界图形 P 可求面积的充要条件是可求面积的充要条件是: : P 的的边界界 K 的面积为零的面积为零. . 证证 由定理由定理21.1, ,P 可求面积的充要条件是可求面积的充要条件是: : 对任给对任给 的的存在直存在直线网网T, 使得使得由于由于 所以也有所以也有由上述推由上述推论, P 的的边界界K 的面的面积 为零为零. . 定理定理21. .3 若曲若曲线 K 为定定义在在 上的上的连续函数函数 的的图象象, 则曲曲线 K 的面的面积为零零. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证 由于由
7、于 在在闭区区间上上连续, 所以它在所以它在 上一致上一致连续. 因而因而, 当当 ，时, 可使可使 在每个小区在每个小区间 上的振幅都成上的振幅都成 高的小矩形所覆盖高的小矩形所覆盖. 由于这由于这 n 个小矩形面积的总和个小矩形面积的总和 立立 即若把曲即若把曲线 K 按按 分分 成成 n 个小段个小段, 则每一小段都能每一小段都能被以被以为宽为宽, , 为为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此由定理因此由定理21.1 的推论即得曲线的推论即得曲线 K 的面积为零的面积为零. . 推推论1 参量方程参量方程所表所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线示的光滑曲线或按段光滑曲线, ,
8、其面积一定为零其面积一定为零. . 证 由光滑曲由光滑曲线的定的定义，均存在且不同均存在且不同时为零零. 由由隐函数存在性定理函数存在性定理, (或或 因此因此(或或) 在在 上有反函数上有反函数. 再由有限覆盖定理再由有限覆盖定理, 可把区可把区间 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页使得在每一段使得在每一段 上，上，(或或 ) 存在存在 上的曲上的曲线面面积为零零, 从而整个曲从而整个曲线面面积为零零. 推论推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的图形都是可求面积的. . 分成分成 n 段段:(或或 ,于是在于是在
9、 上上 反函数反函数 (或或 所以在所以在 有连续的有连续的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 平面中并非所有的点集都是可求面积的平面中并非所有的点集都是可求面积的. . 例如例如 易知易知因因此此是不可求面是不可求面积的的. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、二重积分的定义及其存在性 二重积分的几何背景是二重积分的几何背景是 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积. .设设 为定定义在可求在可求面积的有界闭域面积的有界闭域 D上的上的 非负连续函数非负连续函数. .求以曲求以曲 面面为顶, D 为 底的柱体底的柱体 (图图21-2) 的体积的体积 V. 图
10、图 21-2返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页采用类似于求曲边梯形面积的方法采用类似于求曲边梯形面积的方法. . (1) 分割分割: :先用一组平行于坐标轴的直线网先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域把区域 D 分成分成 n 个小区域个小区域 ( 称称 T 为区域区域 D 的一个分割的一个分割). 以以 表示小区域表示小区域 的面的面积. 这个直个直 线网也相网也相应地把曲地把曲顶柱体分割成柱体分割成 n 个以个以为底的小底的小 曲曲顶柱体柱体(2) 近似求和近似求和: 由于由于 在在 D 上上连续, 故当每个故当每个 相差无几相差无几, 因而可在因而可在上任取一点上任取一点
11、用以用以 的直径都很小的直径都很小时, 在在上各点的函数上各点的函数值 is s返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为高高, 为底底 的小平的小平顶柱体的体柱体的体积作作为的的体体积的近似的近似值(如如图图21-3) ), 即即 把这些小平顶柱体的体积加起来把这些小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体就得到曲顶柱体 体积体积 V 的近似值的近似值 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(3) 取极限取极限: 当直线网当直线网 T 的网眼越来越细密的网眼越来越细密, 即分割即分割 T 的细度的细度 ( 为为 的直径的直径)趋于零时趋于零时, 就就 有有 这类问题在物理学与
12、工程技术中也常遇到这类问题在物理学与工程技术中也常遇到, 如求非如求非 均匀平面的质量、重心、转动惯量等等均匀平面的质量、重心、转动惯量等等. 这些都是这些都是所所要讨论的二重积分的实际物理背景要讨论的二重积分的实际物理背景. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上面叙述的问题都可归为以下数学问题上面叙述的问题都可归为以下数学问题. 可求面积的小区域可求面积的小区域 以以 表示小区域表示小区域 的面积的面积, 这些小区域构成这些小区域构成 D 的的 为分割为分割 T 的细度的细度. 在每个在每个 上任取一点上任取一点 作作一个分割一个分割 T, 以以 表示小区域表示小区域 的直径的
13、直径, 称称 设设 D 为为 xy 平面上可求面积的有界闭域平面上可求面积的有界闭域, 为为 定义在定义在 D上的函数上的函数. 用任意的曲线网把用任意的曲线网把 D 分成分成 n 个个 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页称它为函数称它为函数 在在 D 上属于分割上属于分割 T 的一个积分和的一个积分和. . 定义定义2 设设 是定义在可求面积的有界闭域是定义在可求面积的有界闭域 D 上的函数上的函数. J 是一个确定的实数是一个确定的实数, 若对任给的正数若对任给的正数 总存在某个正数总存在某个正数 使对于使对于 D 的任何分割的任何分割 T, 当当它的它的细度细度 时时, 属
14、于属于 T 的所有积分和都有的所有积分和都有 和式和式 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则称则称 在在 D 上可积上可积, 数数 J 称为函数称为函数 在在 D 上二重积分上二重积分, 记作记作 其中其中 称为二重积分的被积函数称为二重积分的被积函数, x, y 称为积称为积 分变量分变量, D 称为积分区域称为积分区域. 当当 时时, 二重积分二重积分 在几何上在几何上 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页就表示以就表示以 为曲顶为曲顶, D 为底的曲顶柱体的为底的曲顶柱体的 体积体积. 当当 时时, 二重积分二重积分 的值的值 就等于积分区域就等于积分区域 D
15、的面积的面积. 注注1 由二重积分定义知道由二重积分定义知道, 若若 在区域在区域 D 上上 可积可积, 则与定积分情形一样则与定积分情形一样, 对任何分割对任何分割 T, 只要当只要当 时时, (4) 式都成立式都成立. 因此为方便计算起见因此为方便计算起见, 常常 选取一些特殊的分割方法选取一些特殊的分割方法, 如选用平行于坐标轴的如选用平行于坐标轴的 直线网来分割直线网来分割 D, 则每一小网眼区域的则每一小网眼区域的 的面积的面积 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页此时通常把此时通常把 记作记作 注注2 如定积分那样类似地可证明如定积分那样类似地可证明: : 函数函数 在
16、在 可求面积的可求面积的 D上可积的必要条件是它在上可积的必要条件是它在 D上有界上有界. . 设函数设函数 在在 D 上有界上有界, T 为为 D 的一个分割的一个分割, 它它 把把 D 分成分成 n 个可求面积的小区域个可求面积的小区域 令令 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页别称为别称为关于分割关于分割 T 的上和与下的上和与下和和. . 二元函二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样与下和同样 的性质的性质, 这里就不再重复这里就不再重复. 下面列出有下面列出有关二元函数的关二元函数的 可积性定理可积性定理, , 这里里只只证明
17、证明其中的定理其中的定理 21. .7.作和式作和式 它们分它们分 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理21. .4 在在 D 上可积的充要条件是上可积的充要条件是: 定理定理21.1.5 在在 D 上可积的充要条件是上可积的充要条件是: 对对 于任给的正数于任给的正数 存在存在 D 的某个分割的某个分割 T, 使得使得 定理定理21. .6 有界闭域有界闭域 D上的连续函数必可积上的连续函数必可积. 定理定理21.1.7 设设 是定义在有界闭域是定义在有界闭域 D 上的有上的有 界函数界函数. 若若 的不连续点都落在有限条光的不连续点都落在有限条光滑曲滑曲 线上线上, 则
18、则 在在 D 上可积上可积. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 不失一般性不失一般性, 可设可设 的不连续点全部落在的不连续点全部落在 某一条光滑曲线某一条光滑曲线 L 上上, ,并记并记 L 的长度为的长度为 l. 于是对任于是对任 给的给的 把把 L 等分成等分成 段段: 在每段在每段 上取一点上取一点 使使 与其一端点的弧长为与其一端点的弧长为 以以 为中心作边长为为中心作边长为 的正方形的正方形 则则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页现在把区域现在把区域 D 分成两部分分成两部分: : 第一部分第一部分 第第二部分二部分 由于由于 在在 上连续上连续
19、, 根根据定理据定理21. .6 与定理与定理21. .5, 存在存在 的分割的分割 使得使得 又记又记 以以T 表示由表示由 与多边形与多边形 的边界所组成的区域的边界所组成的区域 D 的的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页分割分割, 则有则有 其中其中 是是 在在 D 上的振幅上的振幅. 由于由于 在在 D 上有界上有界, 故故 是有限值是有限值. 再由定理再由定理 21. .5, 这就证得了就证得了 在在 D 上可积上可积. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、二重积分的性质 二重积分与定积分具有类似的性质二重积分与定积分具有类似的性质, 现列现列举如下举
20、如下: : 上也可积上也可积, 且且 2. 若若 在在 D上都可积上都可积, 则则 1. 若若 在在 D上可积上可积, k 为常数为常数, 则则 在在 D 在在 D 上也可积上也可积, 且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3. 若若 在在 和和 上都可积上都可积, 且且 与与 无公共无公共 内点内点, 则则 在在 上也可积上也可积, 且且 4. 若若 与与 在在 D 上可积上可积, 且且 则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页5. 若若 在在 D 上可积上可积, 则函数则函数 在在 D 上上 也可积也可积, 且且 6. 若若 在在 D 上可积上可积, 且且
21、则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这里这里 是积分区域是积分区域 D 的面积的面积. 7. (积分分中值定理中值定理) 若若 在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续, 则存在则存在 使得使得 积分中值定理的几何意义积分中值定理的几何意义: 在在 D 上上, 以以 为为顶的顶的曲顶柱体体积曲顶柱体体积, ,等于等于一个同底一个同底 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的平顶柱体的体积的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高这个平顶柱体的高等于等于在在 D 中某点中某点 处的函数值处的函数值 *例例1 设设 是是 中有界闭域中有界闭域, 是是 上上 可积函数可积函数
22、. 则则 存在顶点在存在顶点在 上的折线上的折线 ,使得使得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中 是由是由 所围成的多所围成的多 证证 设设 令令 时时, ,就有就有 取分割取分割 ，使得，使得 边形边形. . 由于由于 在在 上一致连续上一致连续, 因此因此存在存在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页直线直线 将将 分割为分割为 又将又将 分割为分割为 则则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1. .设函数设函数 在有界可求面积区域在有界可求面积区域 D 上可积上可积, , 求证求证 在在D上有界上有界. 2. .设函数设函数 定义在可求面积区域定义在可求面积区域 D 试证试证 在在 上可积的充要上可积的充要 上上, , 是是 内一条光滑曲线内一条光滑曲线. 若若 条件是条件是 在在 D 上可积上可积.
