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1、函数背景下的不等式问题函数背景下的不等式问题长沙市十五中高三数学备课组长沙市十五中高三数学备课组1.考纲要求考纲要求*函数函数（1 1）了解映射的概念，理解函数的概念。）了解映射的概念，理解函数的概念。（2 2）了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单）了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。调性的方法。 （3 3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，）了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。会求一些简单函数的反函数。（4 4）理理解解分分数数指指数数的的概概念念，掌掌握握有有理理指指数数幂幂的的运运算算性性质质，掌掌握
2、指数函数的概念、图象和性质。握指数函数的概念、图象和性质。（5 5）理理解解对对数数的的概概念念，掌掌握握对对数数的的运运算算性性质质，掌掌握握对对数数函函数数的概念、图象和性质。的概念、图象和性质。（6 6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。某些简单的实际问题。*不等式不等式（1 1）理解不等式的性质及其证明）理解不等式的性质及其证明 （2 2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数的定理，并会简单应用于它们的几何平均数的定理，并会简单应
3、用（3 3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。（4 4）掌握简单不等式的解法。）掌握简单不等式的解法。（5 5）理解不等式：）理解不等式： 2.函数与不等式的相依关系函数与不等式的相依关系函函数数与与不不等等式式的的关关系系实实际际上上是是等等与与不不等等的的关关系系，等等与与不不等等的的关关系系，既既对对立立又又统统一一，相相互互依依存存。如如含含一一个个未未知知数数的的不不等等式式 均均 可可 化化 为为 f(x)f(x) 0 0或或 f(x)f(x) 0 0的的 形形 式式 ， 这这 就就 是是 函函 数数 y=f(x) y=f(x
4、) 的的函函数数值值大大于于零零或或函函数数值值小小于于零零，解解不不等等式式就就是是求求函函数数值值对对应应的的x x的的范范围围。对对不不等等式式的的研研究究，可可以以了了解解函函数数的的定定义义域域、值值域域、单单调调性性、奇奇偶偶性性、周周期期性性及及函函数数图图象象的的形形状状、范范围围，同同时时不不等等式式也也是是研研究究函函数数极极值值的的重重要要工工具具，可可以以说说离离开开了了不不等等式式的的研研究究就就认认识识不不了了函函数数。函函数数是是高高中中数数学学的的基基石石，高高等等数数学学的的灵灵魂魂，而而不不等等式式是是研研究究函函数数的的工工具具，它它们们是是初初等等数数学
5、学过过渡渡到到高高等等数数学学的的纽纽带带。所所以以，它它们们自自然然成成为为高高考考的的重重点点、热热点，所以高考中长考不衰。点，所以高考中长考不衰。3.20042005高考试题中解答题函数与不高考试题中解答题函数与不等式情况的横向分析等式情况的横向分析考题情况列表分析考题情况列表分析表表（04年年）试试 卷卷 名名 称称全国全国1全国全国2全国全国3全国全国4北京北京上海上海天津天津题题号号1922191819、2018、1921分分值值1214121212、1312、1412试试 卷卷 名名 称称重庆重庆湖南湖南浙江浙江福建福建江苏江苏广东广东辽辽宁宁题题号号20202021222118
6、、 20、22分分值值12121214141212、 12、14表表(05年年)试试 卷卷 名名 称称全国全国1全国全国2全国全国3天津天津北京北京理理辽辽宁宁题题号号19172220、222022分分值值12121212、141412试试 卷卷 名名 称称江苏江苏湖南湖南浙江浙江江西江西北京北京（春）（春）题题号号20无无181719、20分分值值14141413、13表表试卷名称试卷名称考考点点提提要要04全国全国1用导数法求函数的单调区间用导数法求函数的单调区间04全国全国2用导数法求函数的最大值和证明不等式用导数法求函数的最大值和证明不等式04全国全国3有关函数与不等式的应用性问题有关
7、函数与不等式的应用性问题04全国全国4求连续函数在闭区间上的最大值和最小值求连续函数在闭区间上的最大值和最小值04北京北京求求列列车车运运行行误误差差中中参参数数的的范范围围；有有限限个个正正数数的的大大小小比比较较和和不不等式的证明等式的证明04上海上海函函数数与与不不等等式式型型的的应应用用性性问问题题；函函数数的的定定义义域域和和参参数数的的取取值值范围范围04天津天津三次函数的极值和切线的方程三次函数的极值和切线的方程04重庆重庆三次函数的极值和参数的取值范围三次函数的极值和参数的取值范围04湖南湖南函数的单调性与函数在闭区间上的最大值函数的单调性与函数在闭区间上的最大值04浙江浙江函
8、数切线的方程与函数的最大值函数切线的方程与函数的最大值04福建福建分析分式函数的单调性与求不等式恒成立时参数的取值范围分析分式函数的单调性与求不等式恒成立时参数的取值范围04辽宁辽宁解解不不等等式式；函函数数最最值值的的应应用用性性问问题题；函函数数的的导导数数与与不不等等式式恒恒成立时参数的取值范围成立时参数的取值范围04江苏江苏条件为不等式的不等式的证明条件为不等式的不等式的证明04广东广东函数背景下的解不等式与方程根的判定函数背景下的解不等式与方程根的判定05全国全国1函数的最值及参数的取值范围函数的最值及参数的取值范围05全国全国2函数背景下的指数不等式、绝对值不等式的求解函数背景下的
9、指数不等式、绝对值不等式的求解05全国全国3利用导数法求解函数背景下的不等式问题利用导数法求解函数背景下的不等式问题05江西江西函数背景下求解含参不等式函数背景下求解含参不等式05浙江浙江二次函数背景下的解绝对值不等式及求参数的取值范围二次函数背景下的解绝对值不等式及求参数的取值范围05北京理北京理抽象函数背景下的不等式证明抽象函数背景下的不等式证明05北京春北京春分式函数求极值问题分式函数求极值问题05天津天津利用导数法求解函数背景下的不等式问题利用导数法求解函数背景下的不等式问题05江苏江苏求函数的最值与解不等式求函数的最值与解不等式05辽宁辽宁利用导数法求解不等式利用导数法求解不等式分析
10、与启示分析与启示 在在全全国国0404、0505年年的的3232份份高高考考试试卷卷中中，有有2323份份考考了了函函数数与与不不等等式式的的题题目目占占70%70%，有有9 9份份考考了了数数列列与与不不等等式式的的题题目目占占30%30%，同同一一份份试试卷卷中中多多的的出出现现3 3道道函函数数与与不不等等式式有有0404辽辽宁宁，出出现现2 2道道的的有有0404北北京京、0404上上海海、0505北北京京、0505天天津津。从从题题次次来来看看，20042004年年1818道道题题中中排排在在2020题题后后的的有有1111道道，占占61%61%。但但在在20052005年年的的13
11、13道道题题中中排排在在第第1717题题的的有有2 2道道，排排在在第第1818题题的的有有1 1道道，排排在在第第1919题题的的有有2 2道道，排排在在第第2020题题的的有有5 5道道，排排在在第第2222题题的的有有3 3题题，这这说说明明函函数数情情景景下下的的不不等等式式问问题题在在高高考考中中有有变变易易的的趋趋势势。我我们们在在应应考考复复习习中中不不宜宜搞搞得得太太难难。而而数数列列与与不不等等式式的的题题目目一一般般在在2121题题与与2222题题。知知道道了了这这一一点点，复复习习就就有了方向。有了方向。 从从试试题题的的题题型型结结构构上上看看，应应用用题题有有8 8道
12、道，占占25%25%。0505年年只只有有一一道道函函数数与与不不等等式式的的应应用用题题，设设一一问问的的有有3 3道道题题，占占9%9%，设设三三问问的的有有6 6道道题题（主主要要出出现现在在全全国国试试卷卷中中），占占18%18%，其其余余均均为为2 2问题，占问题，占73%73%。 从考试内容（表从考试内容（表）上看，涉及单调性或最值的有）上看，涉及单调性或最值的有1212道道题，占题，占38%38%。求参数的取值范围的有。求参数的取值范围的有1010道题，占道题，占31%31%。恒成立问。恒成立问题有题有2 2道，占道，占7%7%，不等式的证明有，不等式的证明有4 4道，占道，占1
13、3%13%。几乎每道题都。几乎每道题都涉及到了不等式的转化和解不等式，这说明教学中应特别注意涉及到了不等式的转化和解不等式，这说明教学中应特别注意解不等式的基本功的训练，几种常用证不等式的方法应巩固加解不等式的基本功的训练，几种常用证不等式的方法应巩固加强，恒成立问题的几种解题方法与解题模式要进行归纳总结，强，恒成立问题的几种解题方法与解题模式要进行归纳总结，让学生对可能出现的问题对之有法，应之有策。让学生对可能出现的问题对之有法，应之有策。 从从涉涉及及到到的的函函数数形形式式上上看看，最最多多的的是是以以e e为为底底的的指指、对对函函数数，有有1010道道题题，二二次次函函数数有有7 7
14、道道题题，分分式式函函数数有有7 7道道题题，三三次次函函数数有有2 2道道题题，抽抽象象函函数数有有4 4道道题题，含含绝绝对对值值的的有有3 3道道题题。这这些些数数据据表表明明，因因为为导导数数的的加加入入，以以前前不不太太考考的的超超越越函函数数和和三三次次函函数数突突然然加加大大了了考考试试的的力力度度而而成成为为一一个个新新的的热热点点，跃跃居居第第一一，传传统统的的二二次次函函数数和和分分式式函函数数依依然然占占很很大大的的份份额额，抽象函数和含绝对值的函数在复习时要占一定的比例。抽象函数和含绝对值的函数在复习时要占一定的比例。 从整体上看，函数与不等式在解答题中是考查的重点内容
15、，从整体上看，函数与不等式在解答题中是考查的重点内容，0404年较之年较之0303年有较大的变化，年有较大的变化，0505年的试题在年的试题在0404年的基础上稳年的基础上稳中有变，但较之中有变，但较之0404年导数加入高考时的变化要小得多。试卷更年导数加入高考时的变化要小得多。试卷更加体现初等数学与高等数学的衔接性、选拔性。特别值得一提加体现初等数学与高等数学的衔接性、选拔性。特别值得一提的是，北京这两年的考题坚持改革创新，题型新颖，一改传统的是，北京这两年的考题坚持改革创新，题型新颖，一改传统的应用题模式，更加具高等数学的语言特征，题目虽然运算量的应用题模式，更加具高等数学的语言特征，题目
16、虽然运算量不大，但对思维能力的要求高，给学生留下了较大的探索空间，不大，但对思维能力的要求高，给学生留下了较大的探索空间，题目较长，阅读量大，学生需要认真阅读理解、分析、搜集、题目较长，阅读量大，学生需要认真阅读理解、分析、搜集、处理多个信息，并提炼、加工，找出数量关系转化为数学模型，处理多个信息，并提炼、加工，找出数量关系转化为数学模型，对对考查学生的创新能力做了新的探索，值得我们在复习中借鉴。考查学生的创新能力做了新的探索，值得我们在复习中借鉴。4.几点建议几点建议（1 1） 加强对常考函数的模块训练，对二次函数、分式函数、加强对常考函数的模块训练，对二次函数、分式函数、指、对函数、抽象函
17、数、三次函数、分段函数、恒成立问题指、对函数、抽象函数、三次函数、分段函数、恒成立问题及函数与不等式互相转化的问题进行针对性训练，可以增强及函数与不等式互相转化的问题进行针对性训练，可以增强学生考试的应对能力，但不要搞题海战术，通过有限的题让学生考试的应对能力，但不要搞题海战术，通过有限的题让学生掌握解这类题的通法通则。学生掌握解这类题的通法通则。 （2 2） 重视导数在解题中的万能作用。在高中阶段引入导数，重视导数在解题中的万能作用。在高中阶段引入导数，其主要作用是解决切线、极值、单调性等问题，是每年高考其主要作用是解决切线、极值、单调性等问题，是每年高考的必考内容，利用导数求解函数与不等式
18、就显得必不可少，的必考内容，利用导数求解函数与不等式就显得必不可少，它可以取代很多初等的求解方法而具有万能作用。它可以取代很多初等的求解方法而具有万能作用。 （3 3） 函函数数与与不不等等式式是是高高中中代代数数中中的的重重点点和和难难点点，复复习习中中首首先先不不宜宜搞搞得得太太难难，以以免免让让学学生生望望而而生生畏畏，而而应应采采取取螺螺旋旋式式的的复复习习方方法法，先先易易后后难难，循循序序渐渐进进，教教师师讲讲解解力力求求通通透透，以以质取胜，一知半解的知识学生是用不动的。质取胜，一知半解的知识学生是用不动的。（4 4） 加加强强对对文文字字题题的的阅阅读读理理解解，学学生生阅阅读
19、读时时第第一一遍遍是是泛泛读读，理理解解大大概概题题意意和和实实际际问问题题的的背背景景，然然后后才才是是逐逐字字逐逐句句的的推推敲敲，挖挖掘掘隐隐含含条条件件，设设自自变变量量，寻寻找找函函数数关关系系式式，建建立立模模型型，写写出定义域，再寻找下一步的解题方法。出定义域，再寻找下一步的解题方法。（5 5） 对对于于不不等等式式的的证证明明问问题题，首首先先要要训训练练学学生生学学会会参参照照目目标标进进行行分分析析、比比较较，确确定定证证题题思思路路和和方方法法。常常用用比比较较法法、分分析析法法、综综合合法法、放放缩缩法法、三三角角换换元元、反反证证法法、数数学学归归纳纳法法等，学生要滥
20、熟于心，招之即来，应用自如。等，学生要滥熟于心，招之即来，应用自如。5热点题型举例热点题型举例例题例题1：设不等式：设不等式0，对于满足，对于满足的一切的一切m的值都成立，求的值都成立，求x的取值范围。的取值范围。解一解一：（：（主元法）令主元法）令0，不成立，不成立由题意由题意00xx 综上综上:解二解二:(分离系数法分离系数法)原不等式可化为原不等式可化为:02x 1(2)(3)-201x 综上综上:x 点评：没有函数，构造函数。利用函数的单调性解题，这充点评：没有函数，构造函数。利用函数的单调性解题，这充分体现了函数思想在解答数学问题中的作用。解法二是利用分体现了函数思想在解答数学问题中
21、的作用。解法二是利用分离系数的方法，这是解恒成立问题的常规方法。学生必须分离系数的方法，这是解恒成立问题的常规方法。学生必须掌握好。掌握好。例2：已知函数f(x) = （a,b为常数）且方程f(x)x+ 12 = 0有两个根为x1 = 3，x2 = 4 （1）求函数f(x)的解析式； （2）设k 1,解关于x的不等式f(x) 。解：(1) 将x1 = 3，x2 = 4代入方程求得a = 1 ,b =2 f(x) = (2) 不等式即为 0 1k2时， k = 2时， k2时， 点评：本题以函数为载体，涉及到了解方程、含参数的不等式等有关知识，解题时用到了待定系数法、方程思想、分类讨论，考查了学
22、生多方面的能力。例例3：已知函数：已知函数f(x)=，设数列设数列an满足满足:a1=1,an+1=f(n),设数列设数列bn满足满足:bn=|an|,Sn=b1+b2+bn,(1)用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：；(2)证明：证明：Sn证明：（证明：（1）当）当x0时，时，下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：当当n=1时，时，不等式成立。，不等式成立。假设当假设当n=k时，不等式成立，时，不等式成立，那么，那么所以，当所以，当n=k+1时，不等式也成立。时，不等式也成立。根据根据和和可知对任意正整数可知对任意正整数n，不等式都成立。，不等式都成立。（2）由（）由（1）知，）知，,
23、故对任意正整数故对任意正整数n，点评：本题主要涉及到了函数、数列、不等式、数学归纳法等点评：本题主要涉及到了函数、数列、不等式、数学归纳法等基础知识，这种题型在高考中占有很大的比例，且多为压轴题。基础知识，这种题型在高考中占有很大的比例，且多为压轴题。在解题过程中，主要使用转化与化归的思想。复习以中偏难题在解题过程中，主要使用转化与化归的思想。复习以中偏难题为主。为主。例例4：长株潭一体化后，住在一个城市的人到另一个城市上班：长株潭一体化后，住在一个城市的人到另一个城市上班成为可能，为了方便城市间人员的往来，决定成为可能，为了方便城市间人员的往来，决定2010年在三个城年在三个城市间修一条轻轨
24、铁路，已知长潭相距市间修一条轻轨铁路，已知长潭相距40Km，株潭相距，株潭相距20Km，有一班车运行时间表规定：早晨，有一班车运行时间表规定：早晨7：00从珠洲出发，从珠洲出发，7：15到到达湘潭，达湘潭，7：18从湘潭出发，从湘潭出发，7：45到达长沙，但在实际运行时到达长沙，但在实际运行时有误差，设运行时以有误差，设运行时以vKm/min匀速行驶。匀速行驶。（1）写出以）写出以v为自变量列车到达湘潭、长沙的运行时间误为自变量列车到达湘潭、长沙的运行时间误差之和的函数关系式；差之和的函数关系式；（2）为确保上班人员正点到达，要求列车在湘潭、长沙两）为确保上班人员正点到达，要求列车在湘潭、长沙
25、两站的运行误差之和不超过站的运行误差之和不超过5min,求求v的取值范围。的取值范围。解：解：点评：高考应用题一般立意新颖，学生要仔细阅读题意，正确点评：高考应用题一般立意新颖，学生要仔细阅读题意，正确理解题目的背景材料，列出解析式即建立数学模型，再利用数理解题目的背景材料，列出解析式即建立数学模型，再利用数学知识解决问题。学知识解决问题。解：解：点评：本题两次将三次函数问题利用求导转化为二次函数问点评：本题两次将三次函数问题利用求导转化为二次函数问题来处理，是近年高考的一个新兴题型，充分体现了常量与题来处理，是近年高考的一个新兴题型，充分体现了常量与变量的辨证关系，应用极值证明不等式，值得借鉴。变量的辨证关系，应用极值证明不等式，值得借鉴。
