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1、第8.5.3节二、格林公式二、格林公式 格林公式及其应用 第八章 一、单连通区域与复连通区域一、单连通区域与复连通区域 D853格林公式PPT课件一、单连通区域与复连通区域一、单连通区域与复连通区域 定义定义3 3 设设D为平面区域为平面区域, ,如果如果D内任一闭曲线所围的内任一闭曲线所围的部分部分都属于都属于D, ,则称则称D为为单连通区域单连通区域; ;否则称为否则称为复连通区域复连通区域. . 直观地看直观地看, , 单连通区域单连通区域不含有不含有“洞洞”( (包括点包括点“洞洞”), ”), 复连通区域是复连通区域是含有含有“洞洞”( (包括点包括点“洞洞”)”)的区域的区域 .
2、. 单连通区域单连通区域复连通区域复连通区域上页 下页D853格林公式PPT课件例如例如, ,平面上的圆形区域平面上的圆形区域 上半平面上半平面 均为单连通区域均为单连通区域; ; 都是复连通区域都是复连通区域. . 圆环域圆环域 及及 D DD DD DD D。单连通单连通 复连通复连通 及及 上页 下页D853格林公式PPT课件平面区域平面区域D的的边界曲线边界曲线L的的正向正向规定如下规定如下: : 当我们沿着当我们沿着L的这个方向行走时的这个方向行走时, ,区域区域D总是在总是在 我们前进方向的我们前进方向的左侧左侧，即，即“外逆内顺外逆内顺”.”.上页 下页D853格林公式PPT课件
3、定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成, 则有则有( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,或或二、二、 格林公式格林公式上页 下页D853格林公式PPT课件证明证明:1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 且且则则上页 下页D853格林公式PPT课件即即同理可证同理可证、两式相加得两式相加得:上页 下页D853格林公式PPT课件2) 若若D不满足以上条件不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的
4、区域 , 如图如图 证毕证毕上页 下页D853格林公式PPT课件推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积 格林公式格林公式例如例如, 椭圆椭圆所围面积所围面积上页 下页D853格林公式PPT课件例例1. . 设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 证明证明证证: 令令则则利用格林公式利用格林公式 , 得得上页 下页D853格林公式PPT课件例例2. 计算计算其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点 的分段光滑正向简单闭曲线的分段光滑正向简单闭曲线.解解: 令令设设 L 所围区域为所围区域为D,由格林公式知由格林公式知上页 下页D853
5、格林公式PPT课件在在D 内作圆周内作圆周取逆时取逆时针方向针方向, 对区域对区域应用格应用格记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , 得得(也可变形后用格林公式也可变形后用格林公式) 上页 下页D853格林公式PPT课件例例3. 计算计算其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 解解: 令令, 则则利用格林公式利用格林公式 , 有有上页 下页D853格林公式PPT课件平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件第8.5.4节及二元函数的全微分求积及二元函数的全微分求积一、平面上曲线积分
6、与路径无关的等价条件一、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、二元函数的全微分求积二、二元函数的全微分求积三、全微分方程三、全微分方程上页 下页D853格林公式PPT课件一、平面上曲线积分与路径无关的等价条件一、平面上曲线积分与路径无关的等价条件1 曲线积分与路径无关的含义：曲线积分与路径无关的含义：定义定义4 4 设设G是一个开区域是一个开区域, ,如果对于如果对于G内任意指定的内任意指定的 两个点两个点A、B以及以及G内从点内从点A到点到点B的任意两条曲线的任意两条曲线, , 成立成立, ,就称曲线积分就称曲线积分 总有总有 与与路径无关路径无关. .否则便说与路径有关否则便说与路径有关.
7、 . 上页 下页D853格林公式PPT课件曲线积分曲线积分 曲线积分与路径无关的一个曲线积分与路径无关的一个等价说法等价说法： 沿沿G内内任意闭曲线任意闭曲线l 的积分值等于零的积分值等于零, ,即即 与路径无关与路径无关等价于等价于 证明证明: :若曲线积分在若曲线积分在G内与路径无关，内与路径无关， 则对则对G内任意闭曲线内任意闭曲线l, ,有有 上页 下页D853格林公式PPT课件即即这里这里 反过来反过来, ,设对设对G内任意闭曲线内任意闭曲线l, ,有有 则对则对G内任意两点内任意两点M、 N以及连结以及连结M与与N的任何两条的任何两条 与与 有有 含在含在G内的曲线内的曲线 上页
8、下页D853格林公式PPT课件即即 在在G内与路径无关内与路径无关. . 故曲线积分故曲线积分 路径无关路径无关, ,即只依赖于即只依赖于L的两个端点的两个端点 注：注：若曲线积分若曲线积分 在在G内与内与 因此常记为：因此常记为：上页 下页D853格林公式PPT课件定理定理4. 设设D 是单连通区域是单连通区域 ,在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,路径无关的充要条件是路径无关的充要条件是函数函数则曲线积分则曲线积分二二 曲线积分与路径无关的条件：曲线积分与路径无关的条件：上页 下页在在D内处处成立内处处成立. . 在在D内与内与证明证明 充分性充分性 设设L为为D中任一分段光
9、滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,(如图如图) ,利用利用格林公式格林公式 , 得得区域为区域为所围所围 (必要性略必要性略) D853格林公式PPT课件上页 下页说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某单连通区域内若在某单连通区域内则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线.1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;注意注意: :利用曲线积分与路径无关的条件求解时利用曲线积分与路径无关的条件求解时, ,应当应当验证验证不一定与路径无关不一定与路径无
10、关( (或或就不一定为零就不一定为零). ). 如积分如积分 当当 时时, , 但但 这是因为这是因为在在(0,0)(0,0)处不处不连连 定理定理4中的两个条件中的两个条件. 若有一个条件不满足若有一个条件不满足,则曲线积分就则曲线积分就 续续. D853格林公式PPT课件例例4. 计算计算其中其中L是星形线是星形线从点从点A(t=0)到点到点B(t= )的的一段一段.上页 下页解解 这里这里 则当则当 时时, ,有有上式仅在原点处不成立上式仅在原点处不成立, , 所以在不包含原点的单所以在不包含原点的单连通连通 区域内曲线积分与路径无关区域内曲线积分与路径无关. . D853格林公式PPT
11、课件上页 下页由由A到到B作一条辅作一条辅助曲线助曲线 , ,且使原点在且使原点在 与与 所围成的闭区域之外所围成的闭区域之外, , 为计算简便起见为计算简便起见, ,取取 为上半为上半 于是于是 有有 圆周圆周,如图所示如图所示: D853格林公式PPT课件例例5. 计算计算其中其中L 为上半为上半 从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L 所围所围原式原式圆周圆周 区域为区域为D , 则则上页 下页D853格林公式PPT课件注意注意: :利用积分与路径无关的条件求解利用积分与路径无关的条件求解, ,为方便
12、起见为方便起见, , 常选常选直线段直线段, ,折线段折线段, ,圆弧线圆弧线等作为等作为积分路径积分路径. . 定义定义 若若 则称则称 为函数为函数的全微分的全微分, ,的一个的一个( (二元二元) )原函数原函数. . 称为称为1.1.原函数的概念原函数的概念二、二元函数的全微分求积二、二元函数的全微分求积 上页 下页D853格林公式PPT课件的原函数存在性的原函数存在性 2.2.定理定理5 5 设函数设函数 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,则则 在在单连通单连通区域区域G内具有内具有 二元函数二元函数 的全微分的充分必要条件是的全微分的充分必要条件是 在在G内处处成立内处处成立. .
13、且且 在在G内为某个内为某个 为为G内任意固定点内任意固定点. . 其中其中 ( (证明略证明略) ) 上页 下页(15) (16) D853格林公式PPT课件3.3.原函数原函数u(x, y) 的求法的求法由定理由定理4 4与定理与定理5 5知知, ,公式公式(16)(16)中的曲线积分与路径无关中的曲线积分与路径无关, , 因此求函数因此求函数u(x, y)时时, ,一般可选用一般可选用直线形路线直线形路线或或平行于平行于 (17)(17)(18)(18)方法方法1 1 利用公式利用公式(16)(16)求之求之上页 下页坐标轴的直角折线坐标轴的直角折线计算计算,于是公式于是公式(16)化为
14、化为: 或或 D853格林公式PPT课件方法方法2 2 利用全微分公式求之利用全微分公式求之 设设由由 , ,两边对两边对x 积分积分, ,得得 上式两边对上式两边对y求偏导数求偏导数, ,得得 又又由上式求出由上式求出 ， 可得可得 (19) 上页 下页D853格林公式PPT课件例例6 6 验证在整个验证在整个 平面内平面内, , 是某个函数的全微分是某个函数的全微分, ,并求出一个这样的函数并求出一个这样的函数. . 解法解法1 1 这里这里 , ,且有且有 在整个在整个 平面内成立平面内成立, , 因此因此, , 由定理由定理5 5知知, ,在整个在整个 平面内平面内, , 是某个函数的
15、全微分是某个函数的全微分. . 上页 下页取积分路径为从点取积分路径为从点 到点到点 再到点再到点 的直的直角折线角折线, , 由公式由公式(17)(17)得得 D853格林公式PPT课件(17)成立成立, ,因此由定理因此由定理5,5,存在函数存在函数 在整个在整个 平面内满足平面内满足 从而有从而有 解法解法2 2 因为在整个因为在整个 平面内有平面内有 上页 下页D853格林公式PPT课件由由 , ,得得 其中其中 是是 的待定函数的待定函数. .上页 下页又函数又函数 满足满足 从而有从而有 , ,即即 由此式求得由此式求得 于是于是 求偏导得求偏导得: : 两边对两边对将将D853格
16、林公式PPT课件例例7 7 选取选取 使使 为某个函数为某个函数 的全微分，并求出函数的全微分，并求出函数 因为因为 来选定来选定 . .由定理由定理5 5知知, , 应由应由解解: :首先首先求求上页 下页由由 即即 D853格林公式PPT课件得得 所以所以 若若 为函数为函数 的全微分，由公式的全微分，由公式(17)(17)下面求下面求上页 下页思考：积分曲线的起点为何不取为思考：积分曲线的起点为何不取为(0,0)? D853格林公式PPT课件的原函数的原函数u(x, y)与求曲线与求曲线 4.4.积分积分 的联系的联系 下面我们证明下面我们证明两个两个与一元函数积分学中类似的结果：与一元
17、函数积分学中类似的结果：函数，则有函数，则有 其中其中C为常数为常数. . 事实上事实上, ,由由 即即 或或上页 下页 （1）若若 均为均为 的原的原 D853格林公式PPT课件（2） 若若为为的原函数，则有的原函数，则有事实上事实上, ,由定理由定理5 5及及（1）,可得可得 （2020）在在(20)(20)中令中令 得得 于是于是 上式两边令上式两边令 得得 其中其中上页 下页D853格林公式PPT课件为方便为方便, ,将上式记为将上式记为其中其中 公式公式(21)(21)与一元函数定积分中的与一元函数定积分中的牛顿牛顿- -莱布尼兹莱布尼兹 上页 下页公式公式类似类似. D853格林公
18、式PPT课件例例8 8 计算计算 解解 取取 有有 由公式由公式(21),(21),得得 从而从而 上页 下页D853格林公式PPT课件定义定义5 5 将一个一阶方程写成下列形式将一个一阶方程写成下列形式（2222）后后, ,若微分方程若微分方程(22)(22)的左端恰好是某一个二元函数的左端恰好是某一个二元函数的全微分的全微分, ,即即那么方程那么方程(22) (22) 称为称为全微分方程全微分方程( (或或称为恰当方程称为恰当方程). ). 这里这里 1.1.全微分方程的定义全微分方程的定义三、全微分方程三、全微分方程上页 下页D853格林公式PPT课件2.2.全微分方程的判别方法全微分方
19、程的判别方法具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, ,则方程则方程(22)(22)为全微分方程的为全微分方程的定理定理6 6 设函数设函数 在单连通区域在单连通区域G内内 充分必要条件是充分必要条件是定理的证明由定理定理的证明由定理5 5及全微分方程的定义得到及全微分方程的定义得到. . 上页 下页D853格林公式PPT课件3.3.全微分方程的通解求法全微分方程的通解求法 对方程对方程当条件当条件 满足时满足时, ,由定理由定理5 5知知, ,存在函数存在函数 满足满足 这时方程这时方程(22)(22)可以写成可以写成就是方程就是方程(22)(22)的通解的通解, ,其中其中C为常数为常数 .
20、 . 由此可见由此可见, ,求全微分方程求全微分方程(22)(22)的通解转化为求的通解转化为求的原函数的原函数 上页 下页D853格林公式PPT课件例例9 9 求方程求方程的通解的通解. .解解 这里这里 所以它是全微分方程所以它是全微分方程. . 由由 “观察法观察法”可得方程的左端为可得方程的左端为 即即 于是方程的通解为于是方程的通解为 方法方法1 1 凑全微分法凑全微分法 其中其中C为任意常数为任意常数 . . 上页 下页D853格林公式PPT课件方法方法2 2 分组求解法分组求解法把方程左端分成若干组之和把方程左端分成若干组之和, ,而使每一组为较简函数而使每一组为较简函数的全微分
21、的全微分, ,从而得出求方程通解的方法从而得出求方程通解的方法. . 例例1010 求解求解 解解 把原方程改写成把原方程改写成 或或 从而得通解为从而得通解为 上页 下页D853格林公式PPT课件方法方法3 3 二元函数的全微分求积法二元函数的全微分求积法即利用公式即利用公式(17)(17)或或(18)(18)求原函数求原函数. .下面再解例下面再解例10.10.例例1111 求解求解解解 这里这里所以这是全微分方程，所以这是全微分方程， 由公式（由公式（1818）有）有 取取 从而得通解为从而得通解为 上页 下页D853格林公式PPT课件方法方法4 4 由由 出发求出发求 例例1212 求
22、方程求方程 的通解的通解. . 解解 因为在整个因为在整个 平面内有平面内有 因此它是全微分方程因此它是全微分方程. .即存在即存在 , ,使使 从而有从而有 由由 , ,得得成立成立, , 上页 下页D853格林公式PPT课件其中其中 是是 的待定函数的待定函数, ,上式两边对上式两边对 求偏导数求偏导数, , 得得: :. .又函数又函数 满足满足 , ,从而有从而有 , ,即即 . .由此式求得由此式求得 代入代入(23)(23)式得式得 于是所设方程的通解为于是所设方程的通解为 (23)(23)上页 下页D853格林公式PPT课件方法方法5 5 积分因子法积分因子法全微分方程全微分方程
23、. .如果存在函数如果存在函数 使得方程使得方程 为全微分方程，则称为全微分方程，则称是方程（是方程（2222）的积分因子的积分因子. .不能满足时，方程（不能满足时，方程（2222）就不是）就不是当条件当条件函数函数上页 下页D853格林公式PPT课件例例1313 求方程求方程 的通解的通解. . 解解 因为因为 ,所以该方程不是全微分方程所以该方程不是全微分方程. .把方程改写成把方程改写成由于由于 , ,可见可见 是一个积分因子是一个积分因子, ,上述方程乘上该积分因子上述方程乘上该积分因子, , 上页 下页D853格林公式PPT课件便将原方程化为便将原方程化为 , 于是求得原方程的通解
24、为于是求得原方程的通解为 提示提示: :求积分因子无简便的一般方法求积分因子无简便的一般方法, ,通常是在通常是在积分因子比较明显时积分因子比较明显时( (或者说可以凭观察得到或者说可以凭观察得到),),才用求积分因子的方法解微分方程才用求积分因子的方法解微分方程. .上页 下页D853格林公式PPT课件8.5.5* 曲线积分的应用曲线积分的应用 一、对弧长的曲线积分的应用一、对弧长的曲线积分的应用 1.1.曲线的弧长曲线的弧长 计算平面曲线的弧长公式计算平面曲线的弧长公式: : 计算空间曲线的弧长公式计算空间曲线的弧长公式: : 其中其中 其中其中 上页 下页D853格林公式PPT课件例例1
25、414 计算星形线计算星形线 的全长的全长. . 解解 由对称性由对称性, ,所求弧长为第一象限内弧长的所求弧长为第一象限内弧长的4 4倍倍. . 于是于是 上页 下页D853格林公式PPT课件2.2.物质曲线的质量物质曲线的质量 若平面物质曲线若平面物质曲线L的线密度为的线密度为 曲线曲线L的质量的质量 则平面物质则平面物质 则空间则空间物质物质 若空间物质曲线若空间物质曲线 的线密度为的线密度为曲线曲线 的质量的质量 类似于重积分类似于重积分, ,有求曲线形物体质心坐标及转动惯有求曲线形物体质心坐标及转动惯 上页 下页量公式量公式, 此处从略此处从略. D853格林公式PPT课件二、对坐标
26、的曲线积分的应用二、对坐标的曲线积分的应用 由对坐标的曲线积分的物理意义知由对坐标的曲线积分的物理意义知(p213): (p213): 表示质点在变力表示质点在变力 的作用下，沿光滑有向的作用下，沿光滑有向 曲线弧曲线弧L由点由点A移动到点移动到点B所作的功所作的功W, ,即即 上页 下页D853格林公式PPT课件 例例1515 质点质点 沿以沿以 为直径的半圆周，从点为直径的半圆周，从点 运动到点运动到点 的过程中受变力的过程中受变力 作用，作用， 等于点等于点P 与原点与原点O 之间的距离之间的距离, ,其方向其方向垂直于线段垂直于线段 OP , ,且与且与y 轴正向的轴正向的夹角小于夹角
27、小于 求变力求变力 P 所作的功所作的功. . 解解 按题意按题意, ,变力变力 上页 下页的大小的大小 对质点对质点 所以所以D853格林公式PPT课件又圆弧又圆弧 的参考数方程为的参考数方程为 因此，变力因此，变力 所作的功所作的功 上页 下页D853格林公式PPT课件内容小结内容小结1. 格林公式格林公式2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有作业作业 P233 4(1); 5(2),(3); 8; 10(1)上页 下页D853格林公式PPT课件思考与练习思考与练习1. 设设且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ?提示提示:上页 下页D853格林公式PPT课件 备用题备用题 1. 设设 C 为为沿沿从点从点依逆时针依逆时针的半圆的半圆, 计算计算解解: 添加辅助线如图添加辅助线如图 ,利用格林公式利用格林公式 .原式原式 =到点到点D853格林公式PPT课件
