非平稳序列的随机分析 本章结构n差分运算nARIMA模型nAuto-Regressive模型n异方差的性质n方差齐性变化n条件异方差模型 3.1 差分运算n差分运算的实质n差分方式的选择n过差分 差分运算的实质n差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法nCramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息n差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息 差分方式的选择n序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳 n序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响 n对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息 例3.1 【例3.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用 差分前后时序图n原序列时序图n差分后序列时序图 例3.2n尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息 差分后序列时序图n一阶差分n二阶差分 例3.3n差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 差分后序列时序图n一阶差分n1阶－12步差分 过差分 n足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息n但过度的差分会造成有用信息的浪费 例3.4n假设序列如下 n考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差 比较n一阶差分n平稳n方差小n二阶差分（过差分）n平稳n方差大 3.2 ARIMA模型nARIMA模型结构nARIMA模型性质nARIMA模型建模nARIMA模型预测n疏系数模型n季节模型 ARIMA模型结构n使用场合n差分平稳序列拟合n模型结构 ARIMA 模型族nd=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)nP=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)nq=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)nd=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model ARIMA模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型 例3.6n对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模 一阶差分序列时序图 一阶差分序列自相关图 一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值613.330.01781218.330.10601824.660.1344 拟合ARMA模型n偏自相关图 建模n定阶nARIMA(0,1,1)n参数估计n模型检验n模型显著n参数显著 ARIMA模型预测n原则n最小均方误差预测原理 nGreen函数递推公式 例3.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测 疏系数模型nARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：n如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。
疏系数模型类型n如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零自相关系数的阶数n如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零移动平均系数的阶数n如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为 例3.8n对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模 一阶差分 自相关图 偏自相关图 建模n定阶nARIMA((1,4),1,0)n参数估计n模型检验n模型显著n参数显著 季节模型n简单季节模型n乘积季节模型 简单季节模型n简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系n简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下 例3.9n拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列 差分平稳n对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下 白噪声检验延迟阶数 统计量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001 差分后序列自相关图 差分后序列偏自相关图 模型拟合n定阶nARIMA((1,4),(1,4),0)n参数估计 模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值62.090.71913.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.0001 拟合效果图 乘积季节模型n使用场合n序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 n构造原理n短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取n季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取n假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下 例例3.10 :拟合拟合1948————1981年美国女性月度失年美国女性月度失业率序列业率序列 差分平稳n一阶、12步差分 差分后序列自相关图 差分后序列偏自相关图 简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12) 值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023313.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著 乘积季节模型拟合n模型定阶nARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12n参数估计 模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001结果模型显著参数均显著 乘积季节模型拟合效果图 。