《立体几何中的向量方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中的向量方法（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2个定义个定义l方向向量方向向量法向量法向量方向向量和法方向向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lmlm线线平行线线平行方向向量和法方向向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lm线线平行线线平行线线垂直线线垂直l mlm方向向量和法方向向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lm线线平行线线平行线线垂直线线垂直l m线面平行线面平行ll方向向量和法方向向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lm线线平行线线平行线线垂直线线垂直l m线面平行线面平行l线面垂直线面垂直ll方向向量和法方向向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lm线线平行线线平行线线垂直线线垂直l m线面平行线面平行l线面
2、垂直线面垂直l面面平行面面平行方向向量和法方向向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lm线线平行线线平行线线垂直线线垂直l m线面平行线面平行l线面垂直线面垂直l面面平行面面平行面面垂直面面垂直方向向量和法方向向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lm线线平行线线平行线线垂直线线垂直l m线面平行线面平行l线面垂直线面垂直l面面平行面面平行面面垂直面面垂直线线夹角线线夹角或或方向向量和法方向向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lm线线平行线线平行线线垂直线线垂直l m线面平行线面平行l线面垂直线面垂直l面面平行面面平行面面垂直面面垂直线线夹角线线夹角或或线线面面夹角夹角方向向量和法方向
3、向量和法向量向量可得如下结论可得如下结论lm线线平行线线平行线线垂直线线垂直l m线面平行线面平行l线面垂直线面垂直l面面平行面面平行面面垂直面面垂直线线夹角线线夹角或或线线面面夹角夹角二二 面面 角角把把立体几何问题立体几何问题转化为转化为向量问题向量问题；把运算结果把运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。进行向量运算进行向量运算；用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”第一步第二步第三步 例例1：如图：一个结晶体的形状为如图：一个结晶体的形状为平行六面体平行六面体，其中，以顶点，其中，以顶点A为为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是端
4、点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图解：解：如图，设如图，设化为向量问题化为向量问题由由向量加法法则，向量加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以结合几何意义回答结合几何意义回答问题问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。思考：思考：（1）本题中）本题中平行六面体平行六面体的对角线的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD解：解：如图，设如图，设化为向量问题化为向量问
5、题由由向量加法法则，向量加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以结合几何意义回答结合几何意义回答问题问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。 例例2 2：如如图3 3.2-4.2-4，甲站在水，甲站在水库底面上的点底面上的点A A处，乙站在水，乙站在水坝斜面上的斜面上的点点B B处。从。从A A，B B到直到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD ,CD的长为的长为 , AB , AB的长为的长为 . .求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：解：如图，如图，化为向
6、量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则进行向量运算进行向量运算于是，得于是，得设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。因此因此图图3.2-4BDAC所以所以结合几何意义回答问题结合几何意义回答问题 例例4 4：如如图3 3.2-7.2-7，在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中，底面底面ABCDABCD是正方形是正方形, ,侧棱侧棱P PD D 底面底面ABCD，PD=DC，点，点E是是PC的中点，作的中点，作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA 平面平面EDB.(2)求证：求证：PB 平面平面EF
7、D.(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小的大小.APBCDEF解：解：(1)如图如图，建系，连接，建系，连接AC，EG可得可得A、P、E、G坐标，坐标，G(2)如图如图，可，可得得 ， 的坐标，并且的坐标，并且所以所以PB DE 由已知由已知PB EF ，从而得证，从而得证 (3)由于由于PB 平面平面EFD，则，则DF PB ，EF PB，从而从而 就是二面角就是二面角C-PB-D的平面角的平面角设设F(x,y,z),则则 , 则则(x,y,z-1)=k(1,1,-1),即即x=k,y=k,z=1-k又由 ，即（1,1，-1）(x,y,z)=（1,1，-1）(k,k,1-k)=3k-1=0,则k=则F( , , ),又E(0, , ),可得 ， ，cos = ，所以 =60得证得证
