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1、 圆的参数方程圆的参数方程7.6.37.6.3 圆的方程（三）圆的方程（三） 黄冈中学网校达州分校v教学目标教学目标1 1了解参数方程的概念，理解圆的参数方程及意义了解参数方程的概念，理解圆的参数方程及意义2 2能熟练求出圆心在原点，半径为能熟练求出圆心在原点，半径为r r的圆的参数方程的圆的参数方程3 3理解参数目的意义理解参数目的意义4 4理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程和半径熟练地求出圆的参数方程5 5能将圆的参数方程与普通方程互化，并能利用参数方能将圆的参数方程与普通方程互化，并能利用参数方程解决一
2、些实际问题程解决一些实际问题6 6渗透参数的思想及方法，培养学生的转化思想，提高渗透参数的思想及方法，培养学生的转化思想，提高学生解题能力学生解题能力黄冈中学网校达州分校v教学重点：教学重点： 圆的参数方程及圆的参数方程的意义圆的参数方程及圆的参数方程的意义v教学难点教学难点： 利用参数方程解决一些简单问题利用参数方程解决一些简单问题黄冈中学网校达州分校若以若以(a,b)(a,b)为圆心，为圆心，r r为半径的圆的标准方程为：为半径的圆的标准方程为：(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径标准方程的优点在于它明确指出了圆心
3、和半径. . 若若D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0，则方程则方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示一个圆，表示一个圆，称其为圆的一般方程称其为圆的一般方程. .这一形式的方程突出了圆方程这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点，即：形式上的特点，即：（1 1）x x2 2和和y y2 2的系数相同，不等于的系数相同，不等于0 0；（2 2）没有）没有xyxy这样的二次项这样的二次项. .问题问题：圆是否还可以用其它形式的方程来表示呢？：圆是否还可以用其它形式的方程来表示呢？黄冈中学网校达州分校设点在圆设点在圆O O上从点上从点P P0 0开始按逆时
4、针方向运动到开始按逆时针方向运动到达点达点P P，设设P P0 0OP=. OP=. 点点P P的坐标是的坐标是(x,y)(x,y)，不难发现，不难发现，点点P P的横坐标的横坐标x x、纵坐标纵坐标y y都是都是的函数，的函数， 则则x=x=rcosrcos y= y=rsinrsin 并且对于并且对于并且对于并且对于的每一个允许值，由方程组的每一个允许值，由方程组的每一个允许值，由方程组的每一个允许值，由方程组所确定的点所确定的点所确定的点所确定的点P P P P（x,yx,yx,yx,y）都在圆都在圆都在圆都在圆O O O O上上上上. . . .反过来，对于圆上任意一点的反过来，对于圆
5、上任意一点的反过来，对于圆上任意一点的反过来，对于圆上任意一点的坐标，都可以由方程组坐标，都可以由方程组坐标，都可以由方程组坐标，都可以由方程组 在在在在允许的取值范围内求允许的取值范围内求允许的取值范围内求允许的取值范围内求出出出出的值我们就把方程组的值我们就把方程组的值我们就把方程组的值我们就把方程组叫做圆心为原点、半径叫做圆心为原点、半径叫做圆心为原点、半径叫做圆心为原点、半径为为为为r r r r的的的的圆的参数方程圆的参数方程圆的参数方程圆的参数方程. . . .其中其中其中其中是参数是参数是参数是参数. . . .黄冈中学网校达州分校若圆心为若圆心为O O（a,ba,b）、）、半径
6、为半径为r r的圆可的圆可以看成由圆心为原点以看成由圆心为原点O O，半径为半径为r r的圆的圆按向量按向量=(a,b)=(a,b)平移得到的平移得到的. .不难求出，圆心在（不难求出，圆心在（a,ba,b）、）、半径半径为为r r的的圆的参数方程圆的参数方程为：为： x=x=a+rcosa+rcos y= y=b+rsinb+rsin(为参数为参数）黄冈中学网校达州分校 若将方程组若将方程组中的参数中的参数消去，则可得到这一圆消去，则可得到这一圆的标准方程，即的标准方程，即： （x-a)2+(y-b)2=r2. 进而展开，便可得到这一圆的一般方程，即：进而展开，便可得到这一圆的一般方程，即：
7、 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 看来，圆可用标准方程、一般方程、参数方程三看来，圆可用标准方程、一般方程、参数方程三种形式的方程来表示，且它们均可以互化种形式的方程来表示，且它们均可以互化.其中标准方程、一般方程是直接给出曲线上点的坐其中标准方程、一般方程是直接给出曲线上点的坐标关系的方程，我们又称其为标关系的方程，我们又称其为圆的普通方程圆的普通方程.黄冈中学网校达州分校一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标的坐标x x、y y都是某个变数都是某个变数t t的函数，即的函数，即 1)1)对于对于t t的每一个允许值
8、，由方程组的每一个允许值，由方程组所确定的点所确定的点M M（x,y)x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上，2)2)对于曲线上任一点的对于曲线上任一点的坐标坐标(x,y)(x,y)都可由方程组在都可由方程组在t t 的允许值范围内求的允许值范围内求出出t t的值那么方程组的值那么方程组就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方参数方程程，其中联系，其中联系x x、y y之间关系的变数叫做之间关系的变数叫做参变数参变数，简称简称参数参数. . 注意注意：参数方程的特点在于没有直接体现曲线点的：参数方程的特点在于没有直接体现曲线点的横、纵坐标之间的关系、而是分别体现了横、纵横、纵坐标之间的关系、而是
9、分别体现了横、纵坐标与参数之间的关系。坐标与参数之间的关系。 黄冈中学网校达州分校v例例1 1 圆的参数方程圆的参数方程 化为普通化为普通方程为方程为 圆圆 化为参数方程化为参数方程为为 黄冈中学网校达州分校解：设点设点M M的坐标是的坐标是(x,y).(x,y).圆圆x x2 2+y+y2 2=16=16的参数方程为的参数方程为：又又点点P P在圆上，在圆上，设设P P的坐标的坐标为为(4cos,4sin)(4cos,4sin) 由线段中点坐标公式可得由线段中点坐标公式可得点点M M的轨迹的参程为的轨迹的参程为 例例2 2如图所示，已知点如图所示，已知点P P是圆是圆x x2 2+y+y2
10、2=16=16上的一个动点，点上的一个动点，点A A是是x x轴上的定点，坐标为（轴上的定点，坐标为（1212，0 0）. .点点P P在圆上运动时，在圆上运动时，线段线段PAPA的中点的中点M M的轨迹是什么？的轨迹是什么？从而判断线段从而判断线段PAPA的中点的中点M M的轨迹是以点（的轨迹是以点（6 6，0 0）为圆心、）为圆心、2 2为半径的圆为半径的圆 黄冈中学网校达州分校解解:(1)圆圆x2+y2+2x-2 y=0的参数方程为的参数方程为x = -1+2cosy = +2sinx+y= -1+2(sin+cos)= -1+2 sin(+ )(x+y)min= -1-2 当当sin(
11、+ )=-1时时, sin(+ ) -1,1例例3. 已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2+2x-2 y=0上的一上的一 个动点个动点,求求:(1)x+y的最小值的最小值; (2) x2+y2的最大值的最大值。例例3 3可以很好的说明参数方程的优势，可以通过图可以很好的说明参数方程的优势，可以通过图形先让学生有个量的变化印象，再来寻找解题方形先让学生有个量的变化印象，再来寻找解题方法。对于第法。对于第2 2问，学生可仿照第问，学生可仿照第1 1问自主完成。最问自主完成。最后应提示学生：后应提示学生：“可否不通过参数方程解出该题可否不通过参数方程解出该题？”诱发学生在课后进行思考。诱发学生
12、在课后进行思考。黄冈中学网校达州分校x = -1+2cosy = +2sin 当当sin( )=1时时, sin( ) -1,1(2)黄冈中学网校达州分校课堂练习课堂练习经过圆经过圆x x2 2+y+y2 2=4=4上任一点上任一点P P作作x x轴的垂线，轴的垂线，垂足为垂足为Q Q，求线段求线段PQPQ中点轨迹的普通方程中点轨迹的普通方程. .解：设解：设M M（x,y)x,y)为线段为线段PQPQ的中点，的中点，圆圆x x2 2+y+y2 2=4=4的参数方程为：的参数方程为：又又点点P P为圆上任一点为圆上任一点可设点可设点P P的坐标为的坐标为(2cos,2sin)(2cos,2si
13、n)则则Q Q点的坐标为（点的坐标为（2cos,2cos,) ) 由线段中点坐标公式，由线段中点坐标公式，得点得点M M的轨迹的参数方程为：的轨迹的参数方程为： 消去参数消去参数,可得可得即即黄冈中学网校达州分校另解：设线段设线段PQPQ中点为中点为M M（x,y)x,y)，据题意可得据题意可得Q Q点坐点坐标为标为(x,0)(x,0)，由线段中点坐标公式可得由线段中点坐标公式可得P P点坐标为点坐标为(x,2y)(x,2y)又又点点P P为圆上任一点为圆上任一点x x2 2+(2y)+(2y)2 2=4=4即即评注：恰当地选择评注：恰当地选择方程形式，可使问方程形式，可使问题的解决变得简便。
14、题的解决变得简便。黄冈中学网校达州分校：参数方程是用第三个变量（即参数）分别表示曲线上任：参数方程是用第三个变量（即参数）分别表示曲线上任一点一点M M的坐标的坐标x .yx .y的另一种曲线方程形式，它体现了的另一种曲线方程形式，它体现了x x 、 y y的一种间接关系参数有时有其物理几何意义，因此的一种间接关系参数有时有其物理几何意义，因此要注意参数的取值范围要注意参数的取值范围：选取参数时，首先是参数与曲线上任一点都有密切的关：选取参数时，首先是参数与曲线上任一点都有密切的关系，其次是能用参数较为简捷地表示系，其次是能用参数较为简捷地表示x x 、y.y.；掌握普通方程与参数方程的互化一
15、般常用代入法消去掌握普通方程与参数方程的互化一般常用代入法消去参数对于以角为参数的，常用同角三角函数间的关系去参数对于以角为参数的，常用同角三角函数间的关系去消参消参：若用参数方程求动点轨迹，最终必须化成普通方程：若用参数方程求动点轨迹，最终必须化成普通方程借助参数可化二元问题为一元问题，使有的问题变得容借助参数可化二元问题为一元问题，使有的问题变得容易解决易解决小结小结黄冈中学网校达州分校课后作业（一）课本习题一）课本习题7.7 97.7 9，10.10.（二）（二）1.1.预习内容：课本预习内容：课本小结与复习小结与复习2.2.预习提纲：预习提纲：（1 1）本章的主要内容有哪些？）本章的主要内容有哪些？（2 2）试寻本章的知识结构图）试寻本章的知识结构图. .（三）补充题：（三）补充题：已知点（已知点（x,yx,y）在圆在圆(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=36=36上，则上，则u =x+yu =x+y的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为 黄冈中学网校达州分校
