第一部分线代数

《第一部分线代数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一部分线代数（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一章线性代数第一章线性代数亥遥酋壶葫卖犯侮忧假钮补诚生炯潭博癣貌娶毁剔祭逼甚歹墟麓重蜘嚎躯第一部分线代数第一部分线代数第一章线性代数n元线性方程组与矩阵1n元线性方程组与矩阵1n元线性方程组与矩阵1矩阵的运算2n元线性方程组与矩阵1线性方程组的一般理论3狗血黎汇辖鉴饺真露妓奉揽绍濒褂忘扮哩镍尊绕葱劣诱蚀趣碍掀邢玛唐酶第一部分线代数第一部分线代数第一章线性代数1. 了解矩阵及阶梯矩阵的概念,掌握矩阵的运算法则;2. 掌握逆矩阵、矩阵秩的求法及矩阵的初等行变换；3. 会用矩阵的初等行变换求出线性方程组的全部解。 1学习目标屏宰醉赣骨殃迢萤挝耿遭阵郑孩麓反则蜘燃齐专汹箕琐饶倍端今郡塞谴菠第一部分线

2、代数第一部分线代数【经济问题1-1】 你知道A、B、C三家公司本年投资收益是多少吗？假设A、B、C三家股份公司交叉持股如图1-1所示。即：A公司持有B公司24%的股份，B公司持有C公司35%的股份，C公司持有A公司的25%的股份；C公司持有B公司22%的股份，B公司持有A公司的20%的股份。若已知2007年A、B、C三家公司独立的营业净利润（税后）分别为100万、85万、60万。试求各公司本年投资收益与本年净利润。（本年净利润=营业净利润+投资收益） 管茵朱滤允鳖永驱铰括儿蔡弄俗速逢伴窟叼朱宰间佬枝萝确玄壹瞧捡呆尉第一部分线代数第一部分线代数A A 公司公司B B 公司公司C C 公司公司55

3、 %55 %24%24%54%22%22%65%65%20%20%25%25%35%35%100100万万8585万万6060万万构鞋主严磊顿衫堡弟郸做注冤冲弄刷玄掳孙匆犀殉压史竞掏毋郊混格熏战第一部分线代数第一部分线代数第一章线性代数投资收益投资收益= =被投资单位的年净利润被投资单位的年净利润投资企业的股权投资企业的股权【经济问题【经济问题1-11-1】设】设 , , , , 为为A,B,CA,B,C公司本年投公司本年投资收益资收益, ,则各公司的本年投资收益由下列方程求解得到：则各公司的本年投资收益由下列方程求解得到： 辕陷殷骄馁或搓份琉竞康邯时郁雀宿芬秽芒疚云瞻撂断茸例袜葬逾肘咨撕第一

4、部分线代数第一部分线代数称这个方程组为称这个方程组为三元线性方程组三元线性方程组咱素难渡敏君憨蚀酌护雁孕蓉详编锰肃红县转俐鸟践漓伴粟愤敛滩昨团快第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵一、n元线性方程组设有m个方程，n个未知元组成的线性方程组称为n n元线性方程组元线性方程组.若，则称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组;否则，称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组。吏毁羊燎勘绅弗粪饵魏煮护恭池醛劲茹率暑织交埂辟总熬顽全岩歉捐巷薪第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵二、矩阵定义定义1111由个数（ ； ），排成的m行n列的矩形数表称为阶矩阵阶矩阵,记为汹瓜擎奥

5、摆蔗珊拜橙墙桔啃吟哑麓啃螟溉疚补慌廷懂涌逛寺盒直稿舌咱屿第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵将n元线性方程组的系数按原来的顺序排列构成的矩阵称为方程组的系数矩阵系数矩阵 称为线性方程组的增广矩阵增广矩阵。 股镐藏贺究胞幽藉毖舵模狐郑杠移距鸣湘毡恨漏傍摸硷吏膳掳淮范亭寇旺第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵 一般地，行数、列数都是n的矩阵，称为n阶方阵阶方阵，简称方阵方阵。如：次对角线次对角线主对角线主对角线舷随溶陵司兔就报忙库禾率潮康渭菲侮这虹管闻么扦霸凑钻希量狈适沟扒第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（1）零矩

6、阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作或 ；如： 掷蛮秦向貉皇翱命兔果吸咐首沏恋喉茎织琶轨抽爹语否丸饥块俘喘孩暴沥第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（2）单位矩阵：主对角线上元素全为1，其余元素全为零的方阵称为单位矩阵，一般用或表示；如： 獭互辱核香砒濒扩锦曙蹿柔消好磷淄孕绩育甥呼巧铸亮扫巍亩蜘口罐孽俺第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（3）对称矩阵：关于主对角线对称的元素相等的方阵称为对称矩阵；如：雇滁究谅瞪隐押骂库诌愿镭引逼扯巍僵饲未娜贱狱映叼怂攘甸叠残疵互乎第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方

7、程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（4）反对称矩阵：关于主对角线对称的元素互为相反数，且主对角线上的元素为0的方阵称为反对称矩阵；如：蹋坝瓶访衡欠北晚捧吐妖邹哦嘶妄侣夷跳瞩辖优雾慑驳由蒂掇惧本傲述晒第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（5）转置矩阵：设矩阵 是 阶矩阵，把矩阵A的行与列按顺序互换后得到的阶矩阵 ，称为矩阵A的转置矩阵，记作 。 例如， 。鼠淑匹脖酚晋舅宿巡梯惹抑帚靖钞岛她饥牌慧渴顿啦少刑弄杰还癌向隧偿第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵定理12 A为对称矩阵的充要条件是 ； A为反对称矩阵的充要条件是 。括耗掂词冤喊构甸茬

8、淋龋榨衰八惹罩粳噶愿庐僵贩经扮闸销舅聊档霜枢严第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵三、矩阵的初等变换与秩第2个方程乘数（ ）第2行乘数（ ）将第2行乘数（2）加到第1行第2个方程乘数（2）加到第1个方程将第1行乘数（2）加到第2行 第1个方程乘数（2）加到第2个方程将的第1行与第2行互换 将第1个方程与第2个方程互换 初等行变换过程增广矩阵消元过程线性方程组垛鞋搽翼唤灰雁苏惫秘三孵祟糕坡眠恒册剪睡饵失饿派努财斗颖啮炼前壶第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵定义12矩阵的初等行变换：（1）换行变换：矩阵某两行（列）互换位置，记作 （ ）；（2）倍乘变换：以

9、非零数 乘矩阵某一行（列）的所有元素，记作 （ ）；（3）倍加变换：把矩阵某一行（列）所有的元素乘同一数 加到另一行（列）对应的元素上去，（）。雄含绳巩屏凛浆烷魂妒花芒氧菲镣掐体褂扇显喻杨戏遗粪针办涉蹈绘叙泰第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵定义13矩阵中每一行第一个非零元素（称为该行的首非零元）必在上一行首非零元的右下方，称该矩阵为阶梯形矩阵，简称阶梯矩阵。纤再页瘩鬃泼惯肛彪归拈昨残榔郸亭哥绷几凝农衅够奶扁耍萨啤漫琶襄贴第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵如果阶梯矩阵非零行的首非零元素都是1 ，并且这一列的其余元素都是零，那么该矩阵被称为行简化阶梯矩

10、阵。沟巨码衍瞪率共察诽拷茵傅褒赞由牲挝迫酒惟窍缅辐灭撼冻目琅爱赏硬外第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵定理11 （1）矩阵A经过一系列初等行变换后必可化为阶梯矩阵；（2）阶梯矩阵经过一系列初等行变换后必可化为行简化阶梯矩阵。佑迪闰弘桓股重穗柞旧俱兰筏泳坍奉掘拟怠寻刘兔汰斌兼撅炯前瘩甲柞伯第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵例1 将矩阵 化为行简化阶梯形矩阵.财勃昌绳创疤芝钎住褒温搂宦腔烁锻沿冀铲欣衬摊滑阀汉驱蜘锯政秀烂简第一部分线代数第一部分线代数第一节 n元线性方程组与矩阵矩阵的秩:阶梯形矩阵非零行的行数，称为矩阵的秩， 记作 。例例2 2求矩阵 的

11、秩。所以币赡突芝粪优删媳缎叭什溺港晶氮斟绸撮妙浸挥匣俘糙杠契爵葛绑冬怎渊第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算一、矩阵的加法与数乘定义14设矩阵与矩阵都是阶矩阵，称矩阵为矩阵A与B的和（差）矩阵。记为 ，即 桶缄涪死发船糠品歧蚁牛静屎乌蚀称蠕牛屎来值汤唯麻仅漂比配檄跌骇墅第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算定义15设矩阵 是 阶矩阵， 为常数，以数 乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵 ,称为数 与矩阵A的数乘矩阵。记作 ，即 。例例3 3设 ， 求 ， 。珍绵萄墙睫趴激雷玄荤束敬奉褂滴拄歧昆顷察礁信掖黎淘垂削件炯皿护娥第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算踢险让驻胀狼袋烬牢沿

12、锯耻寥思徊沤雏舜琉盗屁骄聂优盅码钢芒飘创抒午第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算 矩阵的加法满足以下运算规律：斋籍滑浦疚奔娟嫡沤介体逞眠苫网署阶九棋愁瞩铃疟赎罢拭君钡膘受煤讶第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算矩阵的数乘运算满足下列运算规律： ； ；其中k与l是常数。 胁株犁阻感蓄宦志膀翰航铝飘捐惩结玻粤蛤竟企厄洞者蚜融踪堆疼购康替第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算例4设 ， 且 ；求。 解：冬喂鳞串蘑饶蒂妨羔斟义松移韶嫂伊渡踏逻复固待半揩留测箕由量坤孜娜第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算二、矩阵的乘法定义16设矩阵是阶矩阵，矩阵 是阶矩阵，称则矩阵是矩阵与

13、矩阵 的乘积矩阵，记为。其中：(i=1,2,m ;j=1,2,p) 岛光援诱落门茹困把电卑帛坪拳共稿轴谚漆附滋怪南绣粤巴捐奎抚弟盆蓟第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算例5设，求，和。蔫柳肄睦拣卧障师麦铬舵境或葡胖畏氟茬搀夜燕兑纂便扩愤徘撮糠伞尝绣第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算矩阵乘法不满足交换律。逞君刘白苞蚕祁匪扬乘开涕鸦绢柜讹沂挛楼貉迟勺聚钢北饭章近匈动撇蒋第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算矩阵乘法不满足消去律。矩阵乘法不满足消去律。隙痊句族普倦卢赖抽夕琐友澄鼠袁瞩合檄皑缚菲四籽拟幅抽阑麦将濒勃沂第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算，求 。例6 设，

14、解 矩阵乘法不满足非零性。矩阵乘法不满足非零性。或或翘批郊羹扑一秆脑蛀他辈谬摈硝部憨鸥嫌罢觉台跟啦熟峭元丽狼钟郧镁崭第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算，。例7设，求，解由得：烽吸妄徘庆国籽起湖甲腊僳衙仆甥狼碟屋玲糙障内仕狼吱迪懊眩抄得捆羡第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算矩阵的乘法满足下列运算规律：；（其中为常数），；匡肖削乐这肾失制寨恼婿筷存萍柒肤挑革膳去手瓶往劲峰栏哦衔沥咋粳岸第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算元线性方程组根据矩阵的乘法，其中为线可以非常简单地表示为矩阵方程性方程组的系数矩阵， ，苗烽耀握潘痈涧卑驹搭胡较虫控轮嗽屏妖钨锭烛泰皆得族隧安衷棱爽贪袋

15、第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算三、逆矩阵定义17设矩阵是阶方阵，如果存在阶方阵，使得，则称矩阵可逆，并称是的逆矩阵。记为 ，即 。可逆矩阵也称非奇异矩阵。 瘟塔功篱骏仪垢对牵柔芋琶炕钎豫届捂箭耶跌决龙秸及怒赔魄初锌塞寐依第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算例例8 8矩阵，试证矩阵是A的逆矩阵 所以矩阵可逆，显然，与互为逆矩阵。， 证：因为是A的逆矩阵苔上园怂余近霖鳖秩碾妮沽噬酚虐窿勃汉皂鼓哩萧倡碌弘拽咬笑屑严桩枣第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算逆矩阵有如下性质：性质性质1 1如果矩阵A 是可逆，则A 的逆矩阵是惟一的。可逆，则其逆矩阵也可逆，且性质性质2 2如

16、果矩阵A。 性质性质3 3如果与均为阶可逆矩阵，则其乘积矩阵也可逆，且。性质性质4 4如果矩阵A可逆,则其转置矩阵也可逆，且。性质性质5 5如果矩阵可逆，数,则其数乘矩阵也可逆,且。咐岳介辕翻绞蚜河蛀烘纺叠怀论租考锭淑番酉翌愉棠竿凹牛硬起拂箔技妒第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算定理定理1313阶矩阵可逆的充分必要条件为。定理定理1414阶可逆矩阵 经过一系列的初等行变换，阶单位矩阵；同时对阶单位作同样的初等行变换，所得的。化成矩阵必可逆矩阵到的矩阵即为庭魂搜今茶伊蒙忽坐柔嘎傈念苹茬纷仕粥橙闲粥脂即捐僧读宋概山获支峡第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算例例99 求求的逆矩阵。

17、解解腔摔仑兄藩陀阑式蚂慎秋颖怪彪爹启榆扭木沪钾敦歪桌牲刊硫丸恳恤疲栏第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算所以。篷书蛙席闹洽式猎轻当破粒躁绳那眉饿濒钡娶贩沈轰敞彻简痈水儡饮阻嫂第一部分线代数第一部分线代数第二节矩阵的运算解解例7中的矩阵方程,其中，易知。方程组的解为。例例10 10 用逆矩阵求解线性方程组。辰谚河拿抄捉呜纬苏痈窜厉个闷据迸钦消铱颜往乡耗宽亦荷耘兹喻帕鲍笆第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论一、非齐次线性方程组的一般理论一、非齐次线性方程组的一般理论分别是与元非齐次线性方程组定理定理1515设（）的系数矩阵和增广矩阵，则，则方程组无解； 若，则方程组有解。

18、且当时，方程组有惟一解；当时，方程组有个任意常数。 若无穷多个解，且通解一定含有簇坛须济涂陌疫曙倪培抠么屏产衔能绽舌什皑觉俗宇欠恒涯强残囱伤湍歉第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论例例11 解线性方程组。解解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换：序寡褒犊仕轿增兼晤栓虱壁涵飘普近妓微千富判铜渍瘸隔迢诵轻雄辊溃惟第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论所以方程组的解为。因为，方程组有唯一解。 戳端导夺绕女况柔哪锗疑豁舀伏丫倚洼鞭蜡馋廷患炙击爸兢唱灌猜颧幢医第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论解【经济问题1-1】中的线性方程组解解磨犁愈耗激震叠移匣止诊

19、垒懒千讫姓二析庇宝件胎杜脓贸活关踞设揭静欣第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论鼓水跟竟刽助疵茫醒屏听阶扫夯沸爽赌嘘唐言眩抢善坪痪甜韧筛豹漠狮插第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论故：（1）、 、 三家股份公司本年投资收益分别约为：元 ； 元 ； 元、 、1000000+378762=1378762（元）850000+728175.1=1578175.1（元）650000+691972.1=1341972.1（元）（2）三家股份公司本年净利润分别约为：凤湘赔记剩泥傀辗摹罪橡拟沃挖鱼议竹惦蕊拓准敦助谣逗蛇巢樟建坐帚柠第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的

20、一般理论例12解线性方程组解解舵淘耶揉磺油述挽提论炒岁躁略溢杉洗炼咕贰竖苦煌巳讲汉刽愈冰扫帅岩第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论（其中，为任意常数）上式中的可以任意取值（我们称有无穷多个解。其解可以表示为：为自由变量，可以任意取值），因此该线性方程组县送滦婆乃汁孝萌触高旅滨枷芳双钾打鱼洗诊若坞早担碌周野睬抨谍己唐第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论线性方程组求解的一般步骤：化为阶梯矩阵，如果 用初等行变换把增广矩阵，则线性方程组无解；否则，转入下一步。 再用初等行变换把所得的阶梯矩阵化为行简化矩阵。 根据所得行简化阶梯矩阵得到一个与原线性方程组同解的线性方

21、程组。，得到惟一解；如果，得到个任意常数的一般解。 如果含有蹬谤搓甚疵必裙子警烟滇铁形盯阐牧睹视筒脏千判刺谢献杀粮菏师弟融旬第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论二、齐次线性方程组的一般理论二、齐次线性方程组的一般理论是:定理定理1616齐次线性方程组有非零解的充分必要条件推论推论当齐次线性方程组中的方程个数小于未知元）时一定有非零解。的个数（即雁婪撬寻拱咬兜蚜梭肝搅憎炊亦埠颤古是敝肆吞蘸砍皇鸽宙柯行舷德钳袋第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论例例13 13 判定取何值时，齐次线性方程组有非零解。可见，当时，有，所以，当时，该齐次线性方程组有非零解。 解解用初

22、等行变换化系数矩阵：歹谚粕猾夫腕垒碰丈鹿季球钳日晾呜晋段疽译灭埔萨朝侄喇笋孰键肚墟损第一部分线代数第一部分线代数第三节线性方程组的一般理论权益法与成本法 知识应用链接知识应用链接 权益法与成本法权益法与成本法是长期股权投资的核算方法。其中权益法权益法适用于企业对被投资单位具有共同控制（一般企业所持被投资单位的股份在20%以上）或具有重大影响的长期股权投资。成本法成本法适用于企业能够对被投资单位实施控制（即：子公司）或不具有控制、共同控制及重大影响，且在活跃市场中没有报价、公允值不能可靠计量的长期股权投资。钞盘忙迫凄翁桅罐蔡浅折韵荒杜咎昼朵廖扣唆漱洽吵惫萄铰滴蕴工藩园博第一部分线代数第一部分线代数