《教学目的掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教学目的掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容ppt课件（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出教学目的：教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容：教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式(1) (1) 根本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积根本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式分的定义和计算公式(2) (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联络分的联络上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回
2、退出退出&曲面的曲面的侧&第二型曲面第二型曲面积分概念分概念&第二型曲面第二型曲面积分的分的计算算&两两类曲面曲面积分的分的联络上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出 曲面分类 双侧曲面单侧曲面莫比莫比乌斯斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 一、曲面的侧一、曲面的侧上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出设连通曲面通曲面 S 上上处处有延有延续设 M0 为曲面曲面 S 上一点，确定上一点，确定方向方向为正方向，另一个方向正方向，另一个方向为负方向方向. L 为 S 上任一上任一经过点点 M0 且不超出且不超出 S 边境的境的闭曲曲线.设
3、点点 M 从从 M0 出出发，沿，沿 L 延延续挪挪动， M 在在 M0 点与点与M0变动的切平面或法的切平面或法线曲面在曲面在M0 点的一个法点的一个法线有一有一样的法的法线方向，方向，当点当点 M 延延续挪挪动时，其法，其法线方向方向也延也延续变动，最后当，最后当 M 沿沿 L 回到回到M0 时，假，假设这时 M 的的法法线方向仍与方向仍与 M0 点的法点的法线方向一致，那么称此曲面方向一致，那么称此曲面 S 为双双侧曲面；假曲面；假设与与 M0 的法的法线方向相反，那么称方向相反，那么称 S 为单侧曲曲面面上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出1. 问题的提出的提出从从给定曲
4、面定曲面 S 的的负侧流向正流向正侧，设某流体以一定的速度某流体以一定的速度求求单位位时间内流内流经曲面曲面 S 的流量的流量 E 假假设流体的流速是不流体的流速是不变的常向量的常向量 v ，S 是平面，其正是平面，其正侧的的单位法向量位法向量为 no , 时间内流内流经曲面曲面 S 的流量的流量 E 为：E = v no S S 的面的面积记为 S ，那么，那么单位位二、第二型曲面积分的概念二、第二型曲面积分的概念上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出将曲面将曲面 S 恣意分成恣意分成 n 块,设该点的点的单位法向量位法向量为：流流经该点的流速点的流速为在小曲面在小曲面块 Si
5、的正的正侧上上任取一点任取一点Si i = 1, 2, . . . , n上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出那么那么单位位时间内流内流经小曲面小曲面 Si的流量近似地等于的流量近似地等于其中其中 Si 为小曲面小曲面Si 的面的面积.记它它们是是 Si 的正的正侧分分别在坐在坐标面面面面积的近似的近似值，于是，于是单位位时间 yz , zx 和和 xy 上投影区域上投影区域内流内流经小曲面小曲面 Si 的流量的流量上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出也近似地等于也近似地等于故故单位位时间内由曲面内由曲面 S 的的负侧流向正流向正侧的的 总流量流量上一上一页 下一下
6、一页 主主 页返回返回 退出退出2.第二型曲面第二型曲面积分的定分的定义设 P , Q , R 为定定义在双在双侧曲面曲面 S 上的函数，在上的函数，在 S 所所指定的一指定的一侧作分割作分割 T ，把，把 S 分分为 n 个小曲面个小曲面 S1 , S2. . . , Sn , 记 分分别表示表示 Si 在三个坐在三个坐标轴上的投影区域的面上的投影区域的面积, 在在 Si 上任取一点上任取一点假假设上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出存在，那么称此极限为函数存在，那么称此极限为函数 P , Q , R 在曲面在曲面 S 所指定所指定一一侧上的第二型曲面上的第二型曲面积分，也称分
7、，也称为对坐坐标的曲面的曲面积分分或或记作作常常简记为上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出假假设令令那么第二型曲面那么第二型曲面积分也分也记作向量方式：作向量方式：由第二型曲面由第二型曲面积分的定分的定义，流体以速度，流体以速度从曲面从曲面 S 的的负侧流向正流向正侧的的总流量流量上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出称称为P 在有向曲面在有向曲面S上上对坐坐标 y, z 的曲面的曲面积分分;称称为Q 在有向曲面在有向曲面S上上对坐坐标 z, x 的曲面的曲面积分分;称称为R 在有向曲面在有向曲面S上上对坐坐标 x, y 的曲面的曲面积分分;假假设以以 -S 表示曲面
8、表示曲面 S 的另一的另一侧，那么由定，那么由定义可得可得上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出3. 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质 假假设曲面曲面 S 由两两无公共内点的曲面由两两无公共内点的曲面 Si i = 1, 2, . . . , n 所所组成，那么成，那么上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出定理定理22.2取上取上侧,是是 S 上的延上的延续函数函数, 那么那么设光滑曲面光滑曲面三、第二型曲面积分的计算三、第二型曲面积分的计算注：注：积分分的的计算，必需先将曲面算，必需先将曲面表示成：表示成：再代公式再代公式计算算上一上一页 下一下一页 主主 页
9、返回返回 退出退出证: S 取上取上侧,上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出阐明阐明:假设积分曲面假设积分曲面 S 取下侧取下侧, 那么那么假假设曲面曲面 S 是母是母线平行于平行于 z 轴的柱面垂直于的柱面垂直于 xy 坐坐标面面那么那么上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出(前正后前正后负)将曲面将曲面 S 表示表示为假假设曲面曲面 S 是母是母线平行于平行于 x 轴的柱面垂直于的柱面垂直于 yz 坐坐标面面那么那么积分积分的计算方法：的计算方法：上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出(右正左右正左负)假假设曲面曲面 S 是母是母线平行于平行于 y 轴
10、的柱面垂直于的柱面垂直于 zx 坐坐标面面那么那么积分积分的计算方法：的计算方法：将曲面将曲面 S 表示表示为上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出解解例例1. 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中 S 为球面球面 外外侧在第一和第五卦限部分在第一和第五卦限部分. 把把 S 分分为上下两部分上下两部分上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出思索：思索：上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出例例. 计算计算 其中其中 S 是以原点为中心是以原点为中心, 边长为边长为 2 的正立方的正立方体的整个外表的外侧体的整个外
11、表的外侧.解解其中其中 S1 是是 S 的的顶部部取上取上侧 S2 是是S 的底部的底部取下取下侧上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出由由对称性，有称性，有上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出例例. 计算计算 其中其中 S 是由平面是由平面 x = y = z = 0 和和 x + y + z = 1 所围的四面所围的四面体外表的外侧体外表的外侧.解解: 设 S1 是是取上取上侧 S2 是是S 的底部的底部取下取下侧在在 xy 坐坐标面上的投影区域面上的投影区域为 Dxy 先先计算算积分分上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出由由对称性称性上一上一页 下
12、一下一页 主主 页返回返回 退出退出例例. 计算计算 其中其中 S 是球面是球面取外侧为正向取外侧为正向.解解: 设 S1 是上半球面是上半球面取上取上侧 S2 是下半球面是下半球面取下取下侧在在 xy 坐坐标面上的投影区域面上的投影区域先先计算算积分分上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出同理可得同理可得所以所以上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出设光滑曲面光滑曲面 S ，其指定一，其指定一侧的法方向余弦的法方向余弦为：那么沿曲面那么沿曲面 S 指定一指定一侧的曲面的曲面积分分四、两类曲面积分的联络四、两类曲面积分的联络上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出普通地有普通地有其中其中为曲面曲面 S 指定一指定一侧的法方向余弦的法方向余弦.向量方式：向量方式：其中其中上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出内容小结内容小结1. 定定义上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出2. 性质性质3. 计算算设上正下上正下负上一上一页 下一下一页 主主 页返回返回 退出退出两类曲面积分的联络两类曲面积分的联络:
