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1、第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 第八节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元函数的极值v 极值的概念与计算极值的概念与计算 v 最大值最小值问题最大值最小值问题 v 条件极值条件极值 以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值. .上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 引例：引例：某商店卖两种牌子的果汁，某商店卖两种牌子的果汁，瓶进价瓶进价1 1元，外地牌子每瓶进价元，元，外地牌子每瓶进价元，如果本地牌子的每瓶卖如果本地牌子的每瓶卖外地牌子的每瓶
2、卖外地牌子的每瓶卖则每天可卖出则每天可卖出瓶本地牌子的果瓶本地牌子的果汁，汁，瓶外地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁，本地牌子每本地牌子每店主估计，店主估计，元，元， 元，元，问店主每天问店主每天解解一、多元函数的极值一、多元函数的极值上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. .使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 设函数设函数),(yxfz = =在点在点),(00yx的某邻域内有的某邻域内有定义定义, ,若对于该邻域内异于若对于该邻域
3、内异于),(00yx的点的点),(yx(1) (1) 总有总有),(),(00yxfyxf (2) (2) 总有总有，为函数的一个为函数的一个极大值极大值；则称则称为函数的一个为函数的一个极小值极小值；自变量自变量函数值函数值例例1 1例例例例上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2 2、二元函数取得极值的条件、二元函数取得极值的条件证明略证明略上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理1 1 （必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz = =在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处取得极值，处取得极值， 0),(00= =yxfx 0),(0
4、0= =yxfy则则注注 1) 有偏导数的函数，有偏导数的函数，3) 偏导数不存在的点可能是极值点偏导数不存在的点可能是极值点.则称则称0),(00= =yxfx0),(00= =yxfy如果如果为函数为函数f( (x,y) )的的驻点驻点. .),(00yx定义定义极值点必为驻点；极值点必为驻点；2)2) 驻点不一定是极值点；驻点不一定是极值点；如例如例3 3的的z = xy. .如例如例2.2.问题：问题：如何判定驻点是否为极值点？如何判定驻点是否为极值点？上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数的极值函数的极值极值点极值点可能的极值点可能的极值点驻点驻点偏导数不存在的点偏导数不存在的
5、点计算函数值计算函数值判断判断计算偏导数计算偏导数时时, 有极值有极值定理定理定理定理2 2 2 2 ( ( ( (充分条件充分条件充分条件充分条件) ) ) )的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若若上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 驻点驻点上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求函数求函数),(yxfz = =极值的一般步骤极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组得驻点；得驻点；第二步第二步对
6、每一个驻点对每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C. 第三步第三步 由由2BAC - -的符号，判定是否取得极值的符号，判定是否取得极值. .计算极值点处的函数值，得函数的极值计算极值点处的函数值，得函数的极值. .判别式判别式例例例例1.1.1.1. 求求解解 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点 (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别. .解方程组解方程组的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 判别式判别式为极小值为极小值; ;上页上页 下页下页 返回返
7、回 结束结束 列表讨论：列表讨论：驻点驻点Af (x, y)(1,0)(1,0)(1,2)(1,2)(-3,0)(-3,0)(-3,2)(-3,2)7272-72-721212-72-727272-12-12极小值极小值无极值无极值无极值无极值极大值极大值为极大值为极大值. .例例例例2. 2. 2. 2. 讨论函数讨论函数讨论函数讨论函数以及以及是否取得极值是否取得极值.解解 显然显然 (0,0) 是它们的驻点是它们的驻点,注意到注意到在在(0,0)点附近点附近, 函函数数 因此因此, z(0,0)因此因此为函数为函数在点在点(0,0)容易算得在容易算得在 (0,0) 点，点，能为正、负或能
8、为正、负或0，上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的极小值的极小值. .两个函数的判别式都满足两个函数的判别式都满足不是函数不是函数的极值的极值. .的取值可的取值可此外，此外，二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f (x, y) 在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续f (x, y)在在D上可取得最大值和最小值上可取得最大值和最小值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点由由上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求求在有界闭区域在有界闭区域D上连续函数的上连续函数的最值的一般方法：最值的一般方法：第一步第一步 求出函数在求出函数在D 内的所有驻点；内的所有驻点
9、；第二步第二步 求出所有驻点处的函数值；求出所有驻点处的函数值；第三步第三步 求出函数在求出函数在D的边界上的最大最小值；的边界上的最大最小值； 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四步第四步 比较第二步所得函数值以及在比较第二步所得函数值以及在D的边界上的边界上的最大值和最小值，的最大值和最小值， 其中最大者即为最大值，最小者其中最大者即为最大值，最小者即为最小值即为最小值. .特别地特别地, 若若f (x, y)在区域在区域D内部存在内部存在最值最值, 且只有且只有一一为最小为最小 值值.个极值点个极值点P , , 则则为极小为极小 值值当当时，时，( (大大) )( (大大) )对
10、于对于实际应用问题实际应用问题，若由问题的背景知最大值若由问题的背景知最大值（或最小值）存在，（或最小值）存在，且驻点唯一，且驻点唯一，则该驻点就是最则该驻点就是最大值（或最小值）点大值（或最小值）点. .例例例例3.3.3.3.解解 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高则高为为水箱所用材料的面积为水箱所用材料的面积为令令得唯一驻点得唯一驻点用铁板做一个体积为用铁板做一个体积为2由问题背景知最小用料存在由问题背景知最小用料存在,的无盖长方体水箱的无盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?因此因此此唯一驻点就
11、此唯一驻点就是最小值点是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、条件极值三、条件极值三、条件极值三、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分配这分配这200200元，可以达到最佳效果？元，可以达到最佳效果？实例实例 小王有小王有200200元钱，决定用来购买两种急需元钱，决定用来购买两种急需物品：计算机可读写光盘和物品：计算机可读写光盘和CDCD光盘光盘. .设每张可读写光盘设每张可读写光盘8 8元，每盒元，每盒CDCD光盘光盘101
12、0元，元，读写光盘读写光盘, ,y 张张CDCD光盘可达到最佳效果，光盘可达到最佳效果， 效果函数为效果函数为下的极大值点下的极大值点在条件在条件问题的实质：问题的实质：求函数求函数设购买设购买 x 张可张可问如何问如何极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题.对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转转化化上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方法方法2 2 拉格朗日
13、乘数法拉格朗日乘数法 要求函数要求函数),(yxfz = =在条件在条件0),(= =yxj j下的下的可能极值点，可能极值点， 构造函数构造函数),(),(),(yxyxfyxFljlj+ += =其中其中l l为某一常数，为某一常数， = = =+ += =+ +. 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxj jljljljlj解出解出l l, yx，其中，其中yx,就是可能极值点的坐标就是可能极值点的坐标. .拉格朗日拉格朗日( Lagrange )函函数数上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 列方程组列方程组推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量
14、和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多令令解方程组解方程组可得到条件极值的可能极值点可得到条件极值的可能极值点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件个约束条件的情形个约束条件的情形. .上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.4.设计一个容量为设计一个容量为则问题为求则问题为求 x , 令令解方程组解方程组解解 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.y, z 使在条件使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 上页上页
15、 下页下页 返回返回 结束结束 比较例比较例3 3得唯一驻点得唯一驻点由题意知由题意知, 合理的设计是存在的合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时倍时, 所用材料最省所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为思考思考: :1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,2) 当开口水箱底部造价为侧面的二倍时当开口水箱底部造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .上页上页
16、下页下页 返回返回 结束结束 解解则则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.5. 将正数将正数1212 分成三个正数分成三个正数zyx,之和使得之和使得zyxu23= =为最大为最大. .解得唯一驻点解得唯一驻点(6,4,2),(6,4,2),故最大值为故最大值为由题设知，所求最大值存在，由题设知，所求最大值存在，内容小结内容小结1.1.函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1
17、) 简单问题用代入法简单问题用代入法例如，对二元函数例如，对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作拉格朗日函数作拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点处比较驻点处函数值函数值及边界点上最值的大小；及边界点上最值的大小； 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值.第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)3. 3. 函数的最值问题函数的最值问题函数的最值问题函数的最值问题在条件在条件求驻点求驻点 . 上页上页
18、下页下页 返回返回 结束结束 1. 已知平面上两定点已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆上求一点上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.提示提示: 设设 C 点坐标为点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习则则 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作拉格朗日函数作拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知, 点点 C 与与 E 重合时重合时, 三角三角形形面积最大面积最大.点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为边的面积最大的四边形为边的面积最大的四边形, ,试列出其目标函数和约束条件试列出其目标函数和约束条件 ? ?提示提示: 目标函数目标函数: :约束条件约束条件: :答案答案: :即四边形内接于圆时面积最大即四边形内接于圆时面积最大. .2.2.2.2.求平面上以求平面上以求平面上以求平面上以上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作作 业业 P61 3, 4, 8, 9, 10 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
