4 4．．3 3 空间空间直角直角坐标坐标系系案例全程导航训练全程跟踪新知全景扫描 4 4．．3 3 空间直角坐标系空间直角坐标系 1．空间直角坐标系．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念：空间直角坐标系及相关概念：①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同长度单位的数轴：直，且有相同长度单位的数轴： ，，这样就建立了这样就建立了 O－－xyz.②相关概念：相关概念： 叫做坐标原点，叫做坐标原点， 叫叫做坐标轴．通过做坐标轴．通过 的平面叫做坐标平面，的平面叫做坐标平面，分别称为分别称为 平面、平面、 平面、平面、 平面．平面．x轴、轴、y轴、轴、z轴轴空间直角坐标系空间直角坐标系x轴、轴、y轴、轴、z轴轴点点O每两个坐标轴每两个坐标轴xOyyOzzOx (2)右手直角坐标系右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食的正方向，食指指向指指向 的正方向，如果中指指向的正方向，如果中指指向 的正方向，则的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．称这个坐标系为右手直角坐标系．x轴轴z轴轴y轴轴 2．空间一点的坐标．空间一点的坐标空间一点空间一点M的坐标可以的坐标可以 来表来表示，示， 叫做点叫做点M在此空间直角坐在此空间直角坐标系中的坐标，记作标系中的坐标，记作 ．其中．其中 叫点叫点M的的横坐标，横坐标， 叫点叫点M的纵坐标，的纵坐标， 叫点叫点M的竖坐标．的竖坐标．用有序实数组用有序实数组(x，，y，，z)有序实数组有序实数组(x，，y，，z)M(x，，y，，z)xzy 在空间直角坐标系中，点的坐标与空间中的点之间是否在空间直角坐标系中，点的坐标与空间中的点之间是否是一一对应关系？是一一对应关系？提示：提示：是一一对应关系．是一一对应关系． 在空间直角坐标系中，方程在空间直角坐标系中，方程x2＋＋y2＋＋z2＝＝4表示什么图形？表示什么图形？提示：提示：方程方程x2＋＋y2＋＋z2＝＝4表示以原点为球心，以表示以原点为球心，以2为半径的球．为半径的球． 探究点一探究点一空间中点的坐标的确定空间中点的坐标的确定 (1)过空间一点过空间一点M分别作三个坐标平面的平行平面，与三个分别作三个坐标平面的平行平面，与三个坐标轴的交点的坐标分别为点坐标轴的交点的坐标分别为点M的横、纵、竖坐标．的横、纵、竖坐标． (2)特殊位置点的坐标的特征．特殊位置点的坐标的特征．x轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中，其中x为任意实数；为任意实数；y轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(0，，y,0)，其中，其中y为任意实数；为任意实数；z轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(0,0，，z)，其中，其中z为任意实数；为任意实数；xOy平面上的点的坐标为平面上的点的坐标为(x，，y,0)，其中，其中x，，y为任意实数；为任意实数；xOz平面上的点的坐标为平面上的点的坐标为(x,0，，z)，其中，其中x，，z为任意实数；为任意实数；yOz平面上的点的坐标为平面上的点的坐标为(0，，y，，z)，其中，其中y，，z为任意实数．为任意实数． 已知正方体已知正方体ABCD－－A′B′C′D′的棱长为的棱长为2，建立如图，建立如图不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．标． [提示提示]在不同的空间直角坐标系下，同一个点的坐标是在不同的空间直角坐标系下，同一个点的坐标是不同的，应分别写出．不同的，应分别写出． [解解] (1)∵∵D是坐标原点，是坐标原点，A，，C，，D′分别在分别在x轴、轴、y轴、轴、z轴正半轴上，又正方体棱长为轴正半轴上，又正方体棱长为2，，∴∴D(0,0,0)，，A(2,0,0)，，C(0,2,0)，，D′(0,0,2)．．∵∵B点在点在xDy面上，它在面上，它在x轴、轴、y轴上的射影分别是轴上的射影分别是A，，C，，∴∴B(2,2,0)，同理，，同理，A′(2,0,2)，，C′(0,2,2)．．∵∵B′在在xDy平面上的射影是平面上的射影是B，在，在z轴上的射影是轴上的射影是D′，，∴∴B′(2,2,2)．．(2)方法同方法同(1)，可求得，可求得A′(2,0,0)，，B′(2,2,0)，，C′(0,2,0)，，D′(0,0,0)，，A(2,0，－，－2)，，B(2,2，－，－2)，，C(0,2，－，－2)，，D(0,0，－，－2)．． 1．如图，点．如图，点A(0,0，，a)在四面体在四面体ABCD中，中，AB⊥⊥平面平面BCD，，|BC|＝＝|CD|，，∠∠BCD＝＝90°，，∠∠ADB＝＝30°，，E、、F分别是分别是AC、、AD的中点．求的中点．求D，，C，，E，，F这四点的坐标．这四点的坐标． 探究点二探究点二空间中点的对称空间中点的对称 对称称轴或或对称平面称平面(中心中心)对称点坐称点坐标P(a，，b，，c)x轴(a，－，－b，－，－c)y轴(－－a，，b，－，－c)z轴(－－a，－，－b，，c)xOy平面平面(a，，b，－，－c)yOz平面平面(－－a，，b，，c)xOz平面平面(a，－，－b，，c)坐坐标原点原点(－－a，－，－b，－，－c)规律总结：规律总结：““关于谁对称谁不变关于谁对称谁不变””．． (1)点点M(3，－，－3,1)关于关于xOz平面的对称点是平面的对称点是( )A．．(－－3,3，－，－1) B．．(－－3，－，－3,1)C．．(3，－，－3，－，－1) D．．(3,3,1)(2)点点M(3，－，－3,1)关于关于z轴的对称点是轴的对称点是 ( )A．．(－－3,3,1) B．．(－－3，－，－3，－，－1)C．．(3，－，－3，－，－1) D．．(－－3，－，－3,1) [ [提示提示] ]利用利用““关于谁对称谁不变关于谁对称谁不变””的原则求出对称的原则求出对称点坐标．点坐标．[解析解析] (1)∵∵点点(a，，b，，c)关于关于xOz平面的对称点平面的对称点为为(a，－，－b，，c)，，∴∴(3，－，－3,1)关于关于xOz平面的对称点为平面的对称点为(3,3,1)．．(2)∵∵点点(a，，b，，c)关于关于z轴的对称点为轴的对称点为(－－a，－，－b，，c)，，∴∴(3，－，－3,1)关于关于z轴的对称点为轴的对称点为(－－3,3,1)．．[答案答案] (1)D (2)A 2．在空间直角坐标系．在空间直角坐标系O－－xyz中，求：中，求：(1)点点P(2,3,4)关于坐标原点关于坐标原点O的对称点的对称点P1的坐标；的坐标；(2)点点P(2,3,4)关于关于y轴的对称点轴的对称点P2的坐标；的坐标；(3)点点P(2,3,4)关于坐标平面关于坐标平面xOy的对称点的对称点P3的坐标．的坐标． 解：解：(1)点点P(2,3,4)关于坐标原点关于坐标原点O的对称点是的对称点是P1(－－2，－，－3，－，－4)；；(2)点点P(2,3,4)关于关于y轴的对称点是轴的对称点是P2(－－2,3，－，－4)；；(3)点点P(2,3,4)关于平面关于平面xOy的对称点是的对称点是P3(2,3，－，－4). 探究点三探究点三空间两点间的距离空间两点间的距离 利用空间两点间距离公式的前提是准确写出空间点利用空间两点间距离公式的前提是准确写出空间点的坐标．的坐标．(1)应用空间两点间距离公式主要解决下列问题．应用空间两点间距离公式主要解决下列问题．①求两点间的距离；求两点间的距离；②可证明空间三点共线问题；可证明空间三点共线问题；③可判断空间三角形的形状．可判断空间三角形的形状． [巧思巧思] 本题考查空间两点间的距离公式的间接应用， 本题考查空间两点间的距离公式的间接应用，即证明空间三点共线．即证明空间三点共线． 已知三点已知三点A，，B，，C的坐标分别是的坐标分别是A(3，－，－2，－，－1)，，B(－－1，－，－3,2)，，C(－－5，－，－4,5)，求证：，求证：A，，B，，C三点共线三点共线．． 3．已知三角形的三顶点．已知三角形的三顶点A(1，－，－2，－，－3)，，B(－－1，－，－1，－，－1)，，C(0,0，－，－5)，试证明它是直角三角形．，试证明它是直角三角形． 在长方体在长方体ABCD－－A1B1C1D1中，中，AB＝＝5，，AD＝＝4，，AA1＝＝4，，A1C1与与B1D1相交于点相交于点P，建立适当的坐标系，，建立适当的坐标系，求点求点C、、B1、、P的坐标的坐标(写出符合题意的一种情况即可写出符合题意的一种情况即可)．． 图图(1) [错因错因] 空间直角坐标系中， 空间直角坐标系中，x轴、轴、y轴和轴和z轴的正方向排轴的正方向排列次序要符合右手法则，即用右手握住列次序要符合右手法则，即用右手握住z轴，拇指所指轴，拇指所指的方向为的方向为z轴的正方向，其余四指所指的方向为由轴的正方向，其余四指所指的方向为由x轴正轴正向到向到y轴正向的转动方向．错解中，坐标系的建立不符轴正向的转动方向．错解中，坐标系的建立不符合右手法则，因此解答是不正确的．合右手法则，因此解答是不正确的． 图图(2) 。