数值积分与数值微分课件

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1、第第4 4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分14.1 4.1 引言引言 4.1.1 4.1.1 数值求积的基本思想数值求积的基本思想 依据微积分基本定理，对于积分只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式： 但对于下列情形：2 （1）被积函数，诸如 等等，找不到用初等函数表示的原函数； （2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点，成立 3就是说，底为 而高为 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 (图4-1).图4-14 问

2、题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值. 将 称为区间 上的平均高度. 这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法. 用两端点“高度“ 与 的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式（1.1）是梯形公式(几何意义参看图4-2). 5图4-2 用区间中点 的“高度” 近似地取代平均高度 ，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式) （1.2）6 一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 ，然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，（1.3）式中 称为求积节点求积节点；权 仅仅与节点 的选取有关，的具体形式. 这样构造出的求积公式具有下列形式：称为求积系

3、数求积系数，亦称伴随节点的权权. 而不依赖于被积函数7 这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难. 8 4.1.2 4.1.2 代数精度的概念代数精度的概念 定义定义1 1如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能准确地成立，但对于 次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有 次代数精度次代数精度. 梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代数精度. 数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.9 欲使求积公式(1.3)具有 次代数精度，则只要令它对 都准确成立，就得到（1

4、.4）10 如果事先选定求积节点 ，譬如，以区间 的等距分点作为节点，这时取 ，求解方程组(1.4)即可确定求积系数 ，而使求积公式(1.3)至少具有 次代数精度. 构造形如(1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数 和 的代数问题. 11 4.1.3 4.1.3 插值型的求积公式插值型的求积公式 设给定一组节点 且已知函数 在这些节点上的值，作插值函数 .取 作为积分 的近似值，（1.5）这样构造出的求积公式12称为是插值型插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 （1.6） 由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式(1.5)，其余项 式中与变量 有关， （1.7）

5、13 当 是次数不超过 的多项式时，插值多项式就是函数本身，余项 为零，至少具有 次代数精度. 反之，如果求积公式(1.5)至少具有 次代数精度，则 事实上，这时公式(1.5)对于插值基函数 应准确它必定是插值型的. 成立，即有所以这时插值型求积公式14 定理定理1 1形如(1.5)的求积公式至少有 次代数精度的注意到上式右端实际上即等于 ，因而式(1.6)成立. 这样，有充分必要条件是，它是插值型的. 15 4.1.4 4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 2其中 在求积公式(1.3)中，由于计算 可能产生误差 ，实际得到将是 ，即在求积公式(1.3)中，

6、若则称求积公式(1.3)是收敛的. 记16如果对任给小正数只要误差 充分小就有 （1.8）则表明求积公式(1.3)计算是稳定的，由此给出: 定义定义3 3就有(1.8)成立，则称求积公式(1.3)是稳定的. 对任给若只要17 定理定理2 2 证明证明取若求积公式(1.3)中系数 则此求积公式是稳定的. 对任给都有若对则当 时有18由定义3 ，知求积公式(1.3)是稳定的. 194.2 4.2 牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式 4.2.1 4.2.1 柯特斯系数柯特斯系数 设将积分区间 划分为 等分，选取等距节点 构造出的插值型求积公式（2.1）称为牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式，式中 称

7、为柯特斯系数柯特斯系数. 按(1.6)式，引进变换步长则利用等距节点的插值公式，有20（2.2） 当 时，这时的求积公式就是梯形公式(1.1)21 当 时，按(2.2)式，相应的求积公式是辛普森辛普森(Simpson)公式公式 （2.3）柯特斯系数为 22 的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，（2.4）这里 按（2.2）式，可构造柯特斯系数表.其形式是 2324 从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现负值，特别地，假定于是有且则有 25它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的. 26 4.2.2 4.2.2 偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代

8、数精度 由定理1， 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度. 先看辛普森公式(2.3)，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度. 用 进行检验，本节讨论代数精度的进一步提高问题. 按辛普森公式计算得 27均能准确成立，另一方面，直接求积得 这时有 ，而它对 通常是不准确的，辛普森公式实际上具有三次代数精度. 即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此， 定理定理3 3当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式(2.1)至少有 次代数精度. 28 证明证明我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对 的余项为零. 由于这里引进变换 并注意到 有 按余项公式(1.7)有 29因为被积函数若

9、为偶数，则 为整数，为奇函数，所以再令进一步有30 4.2.3 4.2.3 几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项 按余项公式(1.7)，梯形公式(1.1)的余项 这里积分的核函数 在区间 上保号(非正)，应用积分中值定理，在 内存在一点 使 （2.5）31 为研究辛普森公式(2.3)的余项 构造次数不超过3的多项式 满足 （2.6）其中 辛普森公式具有三次代数精度，对于这样构造出的三次式 应是准确的，即 32对于多项式 ，其插值余项由第2章(5.11)得 由插值条件(2.6)，上式右端实际上等于按辛普森公式(2.3)求得的积分值 ，因此积分余项 故有 33这时积分的核函数 在 上保号类

10、似的，对于柯特斯公式(2.4)，结果如下： （2.8）(非正)，再用积分中值定理有 （2.7）344.3 4.3 复化求积公式复化求积公式 复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提高精度. 4.3.1 4.3.1 复化梯形公式复化梯形公式 将区间 划分为 等分，在每个子区间 上分点采用梯形公式(1.1)，则得 35（3.1）记 称为复化梯形公式复化梯形公式. . （3.2）36 由(2.5) ，其余项由于 , 且 所以 使 于是复化梯形公式余项为 37（3.3）误差是 阶，且当 时有 即复化梯形公式是收敛的. 将 改写为 38 此外，

11、 的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的. 只要 则当 时，上式右端括号内的两个和式均收敛到积分 所以复化梯形公式(3.2)收敛.39 4.3.2 4.3.2 复化辛普森求积公式复化辛普森求积公式 将区间 分为 等分，在每个子区间 上若记记 （3.5）采用辛普森公式(2.3)，则得 （3.4）40称为复化辛普森求积公式复化辛普森求积公式. 由(2.7)，其余项于是当 时，（3.6）误差阶为 ，显然是收敛的. 与复化梯形公式相似有 41 实际上，只要则可得到收敛性，即 此外，由于 中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定. 42 例例1 1对于函数 ，给出 的函数表并估计误差. 解

12、解将积分区间 划分为8等分，(见表4-2)，计算积分 应用复化梯形法求得 试用复化梯形公式(3.2)及复化辛普森公式(3.5)43而如果将 分为4等分，应用复化辛普森法有 以上得到的两个结果 与 ，都需要提供9个点上的 同积分的准确值 比较， 接下来看误差估计 ，由于所以有 函数值，计算量基本相同，然而精度却差别很大.只有两位有效数字.复化梯形法的结果44于是 由(3.3)得复化梯形公式误差 45对复化辛普森公式，由(3.6)得 464.4 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 4.4.1 4.4.1 梯形法的递推化梯形法的递推化 复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次分

13、半. 设将区间 分为 等分，共有 个分点，如果将求积区间再二分一次，则分点增至 个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察. 47用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为 每个子区间 经过二分只增加了一个分点这里 代表二分前的步长. 将每个子区间上的积分值相加得 48 例例2 2 解解先对整个区间 使用梯形公式. 从而利用式(3.2)可导出下列递推公式 （4.1）计算积分值 对于函数定义它在 的值而由梯形公式49将区间二等分，求出中点的函数值 利用递推公式(4.1)，有 进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值 再利用式(4.1)，有 50这样不断二分下去，计算结果见下表. 它表明用复化梯形

14、公式计算积分 要达到7位有效数字的精度需要二分区间10次，即要有分点1025个，计算量很大. 51 4.4.2 4.4.2 龙贝格算法龙贝格算法 梯形法计算简单但收敛慢，本节讨论如何提高收敛速度以节省计算量. 根据复化梯形公式的余项表达式(3.3) 假定则有52移项整理，得 （4.2） 由此可见，只有二分前后的两个积分值 与 相当接近，就可以保证计算结果 的误差很小. 这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法事后估计法. 按式(4.2)，积分近似值 的误差大致等于 若用这个误差值作为 的一种补偿，可以期望所得到的53可能是更好的结果. 直接验证知，按公式(4.3)组合得到的近

15、似值恰为 即（4.4）也就是说，利用梯形法二分前后的两个积分值 与 , 按式(4.3)做线性组合，结果得到辛普森法的积分值 （4.3）54 再考察辛普森法，按误差公式(3.6)，其截断误差大致与 成正比，由此得到 因此，若将步长折半则误差将减至原有误差的1/16，即有不难直接验证，上式右端的值等于 , 为复化柯特斯公式，它的精度为 55 就是说，用辛普森法二分前后两个积分值 与 ，可得到 的近似误差估计为并且按上式做线性组合可得复化柯特斯的积分值 ，（4.5） 重复同样的手续，依据柯特斯法的误差阶为 ，（4.6）即有可进一步导出下列龙贝格龙贝格(Romberg)公式公式： 56 在变步长的过程

16、中运用公式(4.4)，(4.5)和(4.6)，就能将粗糙的梯形值 逐步加工成精度较高的辛普森值柯特斯值 和龙贝格值 . 例例3 3计算结果见下表( 代表二分次数)： 用加速公式(4.4)，(4.5)和(4.6)加工例2得到的梯形值，57 可以看到，这里利用二分3次的数据(它们的精度都很差，只有两三位有效数字)，通过三次加速求得 这个结果的每一位数字都是有效数字，可见加速的效果是十分显著的. 58 4.4.3 4.4.3 理查森外推加速法理查森外推加速法 由梯形公式出发，将区间 逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，设 若记当区间 分为 等分时，梯形公式余项可展成级数形式，即

17、并且有 则有 59 定理定理4 4设 则有 （4.7）其中系数 与 无关. 定理4表明 是 阶，代替 ，有 （4.8）若用4乘(4.8)式，减去(4.7)式再除3记之为在(4.7)中，若用则得 60这里 以及后面将出现的 均为与 无关的系数，这样构造的 与积分值 近似的阶为 . （4.9） 比较(4.9)与(4.4)可知，这样构造的序列就是辛普森公式序列 又根据(4.9)，有 61若令 则又可进一步从余项展开式中消去 项，而有 这样构造出的 ，其实就是柯特斯公式序列.它与积分值 的逼近阶为 如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶. 62 一般地，若记 则有 （4.10）经过 次加速后，

18、（4.11） 上述处理方法通常称为理查森外推加速方法理查森外推加速方法. 设以 表示二分 次后求得的梯形值，且以 表示序列 的 次加速值，则依递推公式(4.10)可得 余项便取下列形式： 63计算过程： (1) 取 令( 记区间 的二分次数). (2) 求梯形值即按递推公式(4.1)计算 (3) 求加速值，按公式(4.12)逐个求出T表(见表4-5)的第 行其余各元素 公式(4.12)也称为龙贝格求积算法龙贝格求积算法. . （4.12）求64 (4) 若 (预先给定的精度)，则终止计算，否则令 转(2)继续计算. 并取65 可以证明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 ，即 对于 不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复化辛普森公式计算. 66 例例4 4 解解在 上仅是一次连续可微，用龙贝格算法计算积分 用龙贝格算法计算结果见表4-6. 67 从表中看到用龙贝格算到 的精度与辛普森求积精度相当. 这里 的精确值为 68