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1、上课 手机手机 关关了吗？了吗？9/20/202411.3 行列式的展开定理行列式的展开定理设设一、行列式按某行一、行列式按某行(列列)展开展开 1. 两个概念两个概念 (1)元素元素aij的余子式：在的余子式：在 中划去元素中划去元素aij所在所在的第的第i行和第行和第j列元素，得到的列元素，得到的n-1-1阶行列式。记阶行列式。记Mij(2)元素元素aij的的代数代数余子式：余子式： 例例M32Aij(1)i+jMijA23=(-1)2+3M23=9/20/202422. 2. 行列式按某行行列式按某行(列列)展开定理展开定理 证明思路证明思路:先先证证特殊特殊情形情形再再证证一般一般情形
2、；情形；一般一般情形的证明通过情形的证明通过转化为特殊转化为特殊情形完成情形完成.证证先证先证ai1Ai1+ai2Ai2+ainAina1jA1j+a2jA2j+anjAnj9/20/20243次证次证 i行逐一向下交换经行逐一向下交换经ni次至末行次至末行j列逐一向右交换经列逐一向右交换经nj次至末列次至末列D9/20/20244(1)ij aij MijaijAij(1)ij aij Mnn 由由9/20/20245最后最后证毕证毕ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin由由6典型例题典型例题:例例1.计算计算解解:法法1 (化上三角形法化上三角形法)计算方法计算方法D57化上化上(下下)
3、三角形法三角形法;降阶法降阶法.?！9/20/20247法法2(降阶法降阶法)D57= (-1)1+1= (-1)3+19/20/20248利用行列式按行利用行列式按行( (列列) )展开定理计算行列式时展开定理计算行列式时, ,一般一般利用有较多利用有较多0的行的行( (列列) )展开展开, ,对一般的数字行列式对一般的数字行列式, ,可将可将某行某行(列列)化到只剩一非零元时降阶处理化到只剩一非零元时降阶处理. 例：例：= 10= (-1)2+2=5(-1)2+39例例2 计算行列式计算行列式 首列元素全是首列元素全是1, ,第一行乘以第一行乘以(1)加到下面加到下面各行只能使下面元素变为
4、各行只能使下面元素变为0, ,其它元素却没有规律其它元素却没有规律分析分析利用利用相邻两行元素较接近相邻两行元素较接近的特点的特点: :从首行起从首行起, ,每行每行加其下行的加其下行的(1)倍倍, ,按首列展开后再使用该手法按首列展开后再使用该手法9/20/202410解：解：9/20/202411例例3 计算计算4阶阶范德蒙范德蒙 (Vandermonde)行列式行列式 分析分析相邻两行元素较接近相邻两行元素较接近! 末行始末行始, 后一行加上后一行加上其前行的其前行的(-x1)倍倍, a11下面元素都变为下面元素都变为0,按首列展按首列展开开= (1)n+1x n-29/20/20241
5、2按首列展开后提取各列公因按首列展开后提取各列公因子得子得3阶范德蒙行列式。再从阶范德蒙行列式。再从末行始末行始, 后一行加上其前行后一行加上其前行的的(x2)倍倍, 解：解：9/20/202413=(x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3)14可以证明可以证明n阶阶“范德蒙行列式范德蒙行列式”9/20/2024153.推论推论:行列式行列式某一行某一行(列列)的各元素与的各元素与另一行另一行(列列)的的对应对应元素的元素的代数余子式代数余子式乘积之和乘积之和等于等于零零.即即第第s行行理解：理解：第第s行行0ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)
6、a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0 (jt)9/20/202416综合定理及推论得综合定理及推论得 “ “代数余子式的代数余子式的重要性质重要性质 ” :例例4 设设0，计算，计算A41+A42+A43+A44=a31A41+a32A42+a33A43+a34 A449/20/202417分析分析注意到第二、四行元素的特点注意到第二、四行元素的特点, ,利用行列利用行列式按某行展开定理的推论式按某行展开定理的推论, ,将将A31+A32+A33与与A34+A35分别看成整体，列方程组求解。分别看成整体，列方程组求解。 解解:，求，求(1) A31+A32+A33(2) A34+A35
7、例例5 设设a21A31+a22A32+a23A33+a24 A34+ a25A350a41A31+a42A32+a43A33+a44 A34+ a45A3502(A31+A32+A33 ) +( A34+A35 ) 0 (A31+A32+A33 )+2( A34+A35 ) 0A31+A32+A33=0A34+A35 =0解解:D=例例6 设设，计算，计算A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34 A440a41A41+a42A42+a43A43+a44 A44D(1)6A41+A42+2A43+3 A4402A41+2A42+3A43+4 A44D两式相
8、减得两式相减得A41+A42+A43+A44D(6) 二、行列式按某二、行列式按某k行行(列列)展开展开(k=1的特例即是的特例即是一一) 1. 几个概念几个概念 (1)k阶子式：任选阶子式：任选k行行k列列 k阶行列式，记阶行列式，记M(aij是行列式的一阶子式是行列式的一阶子式)(2)k阶子式的余子式：划去阶子式的余子式：划去k阶子式所在的阶子式所在的k行行k列列 nk阶行列式，阶行列式， 记记M (3)k阶子式的代数余子式阶子式的代数余子式: : 2. 行列式按某行列式按某k行行(列列)展开定理展开定理(拉普拉斯定理拉普拉斯定理)： 的所有的所有k阶子式阶子式(共共 个个)与各自的代数余
9、子式与各自的代数余子式的乘积之和等于的乘积之和等于D. 即：即：行列式行列式D中任意选定中任意选定k行行(1kn), ,这这k行元素组成行元素组成DM1 A1M2 A2Mt At ( )9/20/202420例例7 用拉普拉斯定理用拉普拉斯定理 计算行列式计算行列式 解：解：1(3)(15)(1)(4)(9)(8)9 9/20/202421例例8 计算行列式计算行列式 解：解：法二法二. 按第五列展开后再按第五列展开后再法一法一. 按末三行展开按末三行展开20(54)1080按第一列展开按第一列展开9/20/202422应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:前一式按前前一式按前k行展开行展开后一式按前后一式按前k列展开列展开9/20/202423作业作业P32:8(3)(6),9，15.预习、预习、9/20/202424下课9/20/202425
