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1、数形结合在函数、方程与不等式中的数形结合在函数、方程与不等式中的简单应用简单应用（一）（一）安乡五中数学组安乡五中数学组2005年年11月月执教：执教：龚光勇龚光勇 数形结合数形结合:就是把抽象的数学就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来进行思语言与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，索，使抽象思维与形象思维结合，通过通过“以形助数以形助数”或或“以数解形以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形而起到优化解题途径的目的。数形结合是历年高考重点内容之一。结
2、合是历年高考重点内容之一。 例例1、设函数、设函数f(x)是函数是函数y=1-x与函数与函数 中的较中的较小者，则函数小者，则函数f(x)的最大值为的最大值为 。yxo1-11分析：分析： 其其图象为抛物线的一部分，图象为抛物线的一部分，y=1-x表示一条直表示一条直线，在同一坐标系中作出线，在同一坐标系中作出y=1-x与与 图象可知图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故的图象应为图中实线部分。故1例、关于例、关于x的方程的方程 在（在（-1, 1）内只有一个实根，则）内只有一个实根，则k的取值范围的取值范围_ （相（相等的根按两个计）等的根按两个计） 析析 ：问题可转化为抛物线：问题可转
3、化为抛物线与直线与直线 的交点个数问题。的交点个数问题。如图如图yx0-1-1169-析析 ：问题可转化为抛物线：问题可转化为抛物线与直线与直线 的交点个数问题的交点个数问题。 k 如图如图yx0-1-1169- 对一切实数对一切实数x x不等式不等式 |x+1|+|x-2|m |x+1|+|x-2|m 恒成立，则实数恒成立，则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.m3分析：分析： 思路一：根据绝对值的几何意义可知思路一：根据绝对值的几何意义可知, , |x+1|+|x-2|x+1|+|x-2|表示数轴上的点到表示数轴上的点到1 1与与2 2两点的距离之两点的距离之和和, , 如图如图|x
4、+1|+|x-2|x+1|+|x-2|3，所以，所以-1012x| |x+1|x+1|x-2|x-2|例例3： 1-2x (x-1)思路思路2：设：设f(x)=|x+1|+|x-2|，则，则 f(x)= 3 (-1x2), 2x-1 (x2 )易知易知 f(x)min=3,所以所以3y-12xoy=mm3思路思路3：利用：利用|a|+|b|ab|,则则|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, 所以所以m33y -3ox表示以(0,0)为圆心,以3为半径的圆在x轴上方的部分。 若集合若集合若集合若集合 , , , ,集合集合集合集合 , , , ,且且且且 , , , , 则则b b
5、 b b的取的取的取的取值值范范范范围围为为_。分析：分析：集合集合N则表示一表示一组平行直平行直线, ,如如图, ,集合集合M可化可化为b b易知易知 -3b-3b欲使欲使 MN MN 即即, ,直直线与半与半圆有公共点有公共点, ,则直直线向上平移与向上平移与圆相切向下平移相切向下平移过点点(3,0)(3,0)例例4：yXXXoyyyooOXA B C D . .如图已知二次函数如图已知二次函数 的系数满足的系数满足abc0,abc0,则该二次函数的图象可能是（则该二次函数的图象可能是（ ） C说明：本题考查读图视图能力，要求能准确理解图形中所包含的信说明：本题考查读图视图能力，要求能准确
6、理解图形中所包含的信息，由形想数。息，由形想数。练习：练习：分析：分析：由开口方向确定由开口方向确定a的正负，由与的正负，由与y轴交点轴交点的纵坐标判断的纵坐标判断C的正负，结合对称轴的位置可确的正负，结合对称轴的位置可确定定b的符号。的符号。2 2. .在同一坐标系中在同一坐标系中, , 与与y=ax+b y=ax+b 的图象可能是的图象可能是( ( ) )BXOyOyXXOyOyxCADD3、要使不等式要使不等式 恰有一解，则恰有一解，则a= .4 4、若若-3 2-3 2，则，则x x的取值范围是的取值范围是_._.练习：练习：小小 结结 本节讲了方程、函数、不等式中本节讲了方程、函数、
7、不等式中的数形结合问题，在解题时既要由的数形结合问题，在解题时既要由数想形，又要以形助数。常见的数想形，又要以形助数。常见的“以形助数以形助数”的方法有：的方法有：（2）借助于函数图象，利用函数图象）借助于函数图象，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本分析问题和解决问题是数形结合的基本方法。方法。（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念，）借助于数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补、运算等问题是非常有效的。并、补、运算等问题是非常有效的。华罗庚先生曾指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非
8、。作业：作业： 1.求函数求函数 的单调递增的单调递增区间区间 2.已知关于已知关于x的方程的方程 有有4个不相等的实根，则实数个不相等的实根，则实数m的取值范围的取值范围 3. 求方程求方程 的根的个的根的个数数 此题中应注意抛物线过原此题中应注意抛物线过原点，直线与抛物线在点，直线与抛物线在X轴上的轴上的一个交点重合。直线的斜率为一个交点重合。直线的斜率为a在在Y轴上的截距为轴上的截距为b。XOy 作函数作函数 及及y=2，y=-2的图象，要使的图象，要使不等式恰有一解则直线不等式恰有一解则直线y=2与抛物线与抛物线 相切故方程相切故方程 两个相等实根两个相等实根,据此可求据此可求a的值。的值。y=-2y=2x=a 作函数作函数 ，y=-3,y=2的图象，观察的图象，观察 的图象夹在两直线之间的部分。易知，的图象夹在两直线之间的部分。易知，xyy=2y=-3o
