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1、数值计算方法与算法第0章 绪论 数学建模 数值计算实际问题数学问题近似解什么是数值计算方法？什么是“好的数值计算方法？误差小 误差分析耗时少 复杂度分析抗干扰 稳定性分析误差的类型绝对误差真实值近似值相对误差绝对误差真实值误差的来源原始误差、截断误差、舍入误差输入计算输出真实值近似值一些例子：计算地球的体积计算计算如何减小计算误差？选择好的算法、提高计算精度范数的定义满足非负性,齐次性,三角不等式的实函数常用的向量范数常用的矩阵范数矩阵的谱半径例：计算矩阵 的范数和谱半径。例：范数在误差估计中的应用第1章 插值函数逼近用未知函数f(x)的值构造近似函数(x)。要求误差小、形式简单、容易计算。常
2、用的函数逼近方法插值：(xi)=yi, i=0,1,n.拟合：|(x)-f(x)|尽可能小通常取 (x) = a00(x) + + ann(x)，其中i(x)为一组基函数。多项式插值 给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造n次多项式(x), 满足(xi)=yi, i=0,1,n.单项式插值Lagrange插值Newton插值差商表012n012.nk阶差商差商的性质以x0,xn为节点的n次插值多项式(x)的首项系数等于fx0,xn。证明：分别以x0,xn-1和x1,xn为节点构造n-1次插值多项式1(x)和 2(x)，则有对n用归纳法。fx0,xn与x0,xn的顺序无关。误差估计：证明
3、：设，那么有n+2个零点。根据中值定理，存在于是。Hermite插值 给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造2n+1次多项式(x), 满足(xi)=yi, (xi)=mi, i=0,1,n.单项式基函数Lagrange基函数误差估计：证明：设 ，那么有2n+3个零点。根据中值定理，存在于是。Runge现象：并非插值点取得越多越好。解决办法：分段插值三次样条插值 给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造分段三次多项式(x), 满足(xi)=yi, (x)可微，”(x)延续。第2章 数值微分和数值积分数值微分差商法向前差商向后差商中心差商插值法在 x 附近取点(xi,f(xi)
4、构造插值多项式。样条法在 x 附近取点(xi,f(xi)构造样条函数。 f(x)(x)例：用中心差商公式计算f(xi)。例：用向后差商公式计算f(0.2), f(0.4)。x0.00.10.20.30.4f(x)1.71.51.62.01.9f(x)f”(x)x0.00.10.20.30.4f(x)0.8187310.9048371.0000001.1051711.221403f(x)例：设xi=x0+i*h, i=1,.,n。计算(xk)。解：误差估计前后差商中心差商插值微分数值积分插值法若积分公式对任意m次多项式都取等号，则称积分公式具有至少m阶的代数精度。插值型积分公式的代数精度n。当积
5、分节点 x0,.,xn 给定时，代数精度n的积分公式唯一。例：设xi=a+i*h, i=0,.,n, h=(b-a)/n。计算Newton-Cotes积分解：特别，当n=1,2时，积分公式分别称为梯形公式Simpson公式na1a2a3a4a5121/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90误差估计特别，梯形公式和Simpson公式的误差为代数精度1代数精度3复化数值积分梯形公式Simpson公式Richardson外推法我们要计算假设那么有比 和 更高的精度。误差估计Romberg积分公式 等分的梯形公式，瑕积分重积分Gauss-Legendr
6、e积分定理：假设 满足则插值积分公式具有2n+1阶的代数精度。 证明：课本21页性质1.3：若f(x)为m次多项式，则fx0,.,xn,x为m-n-1次多项式。求多项式空间在内积下的标准正交基。解法1：对任意基作Gram-Schmidt正交化。解法2：对任意度量方阵作相合对角化。解法3：求解正交关系的线性方程组。解法4：Legendre多项式第3章 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合对区间 I 上的连续函数 f ，构造特定类型的函数 使 f 。对离散数据序列 (xi, yi), i=1,2,m，构造特定类型的函数 使 (xi)yi 。最小二乘法求 使最小。求 使最小。多项式拟合其中 是标准正交基，。
7、 求使 最小。奇异值分解Moore-Penrose广义逆矛盾方程组的解其他类型的离散数据拟合 第4章 非线性方程求根问题求f(x)=0在区间a,b内的实根求f(x)=0在x0附近的一个实根求f(x)=0在x0附近的一个复根求多项式f(x)=0的所有复根求非线性方程组的根方法用近似函数(x)的根逼近f(x)的根。二分法已知f(a)f(b)0，设c=(a+b)/2。若f(a)f(c)0则根在b,c内。当|f(c)|或|b-a|时，输出c。迭代步数：O(log2)不动点当| (x)|L1时，|xk+1-|L|xk-|。当|xn+1-xn|时，输出 xn。迭代步数：O(logL)Lipschitz常数
8、线性收敛Newton法一阶Taylor展开）当|f(xk)|或|xk+1-xk|时，输出xk+1。迭代步数：O(loglog)二次收敛Newton法p重根情形）用Newton迭代法求 f(z)=z32z+2 的根。当初值分别位于红、蓝、绿色区域时，迭代收敛到三个根。当初值位于黑色区域时，迭代陷入死循环010。图片引自John Hubbard, Dierk Schleicher, Scott Sutherland, How to find all roots of complex polynomials, Inventiones mathematicae 146, 1-33 (2019).弦截法
9、（线性插值）当|f(xk)|或|xk+1-xk|时，输出xk+1。迭代步数：O(loglog)弦截法的收敛速度Newton法解非线性方程组求的所有复根等价于求 x1,xn 使 f(t)=(t-x1)(t-xn)。其他求根方法Brent（反插值 x=(y)）Halley（二阶Taylor展开）Muller（二次插值）有理插值第5章 解线性方程组的直接法问题：求解n元线性方程组AX=B。方法？速度？精度 ？存储？下三角方程组上三角方程组 n(n-1)/2次加减法，n(n+1)/2次乘除法。Gauss消元法解一般方程组 (2n3+3n2-5n)/6次加减法，(n3+3n2-n)/3次乘除法。追赶法解
10、三对角方程组 3n-3次加减法，5n-4次乘除法。线性方程组解的精度矩阵条件数Gauss消元法的实质是LU分解存在性？A的顺序主子式0。唯一性？L1U1=L2U2 L1-1L2=U1U2-1 对角精确度？A-1b的相对误差(L,U,b)的相对误差cond(L)cond(U)。Dolittle分解Courant分解全/列/行主元分解LDLT分解、Cholesky分解QR分解SVD分解Givens旋转Householder反射第6章 解线性方程组的迭代法Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代迭代法解线性方程组 A X = BA Xk+1 B = C (A Xk B)C 称为 Conditio
11、ner，满足 (C)1或|C|1通常取 C = I A -1，其中 A，于是Xk+1 = Xk -1 (A Xk B)Jacobi迭代： = D定理：A行对角优、或A列对角优 Jacobi迭代收敛。Gauss-Seidel迭代： = D + L定理：A行对角优、或A列对角优、或A正定 Gauss-Seidel迭代收敛。松弛迭代： = w-1D + L定理：松弛迭代收敛 0w2定理：A正定且0w2 松弛迭代收敛Newton迭代求 A-1：Xk+1 = 2 Xk Xk A Xk第7章 计算矩阵的特征值和特征向量问题1：求复方阵的模最大(最小)特征值。方法：幂法、反幂法问题2：求复方阵的所有特征值。
12、方法：QR 迭代问题3：求Hermite方阵的所有特征值。方法：Jacobi 方法幂法当 A 只有一个模最大的特征值max ，并且 x0 与max 的特征向量 amax 不正交时当 A 的模最大的特征值都相同时，以上迭代仍然收敛。当 A 的模最大的特征值各不相同时，可以选取数 s 使 A - s I 的模最大的特征值只有一个。当 A 恰有 m 个模最大的特征值时，有 R 的特征值就是 A 的模最大的特征值。反幂法当 A 只有一个模最小的特征值min ，并且 x0 与min 的特征向量 amin 不正交时计算 A - s I 的模最小的特征值等价于计算 A 的最接近 s 的特征值。QR 迭代利用
13、 QR 分解，酉相似 A 为上三角。QR 迭代的本质是幂法当 时，QR 迭代收敛。可对 A - s I 作 QR 分解，加速收敛。Jacobi 方法经过 Givens 旋转，逐渐减小非对角元。本质是 2 阶 Hermite 方阵的酉相似。Jacobi 方法具有 2 阶收敛速度。复矩阵的奇异值分解 A = UV一般方法AH A = VH2 V 或 A AH = U2 UHQR 迭代Jacobi 方法计算 2 阶方阵的 SVD第8章 常微分方程数值解问题：求解一阶常微分方程的初值问题：解法：化微分方程为积分方程Euler折线法向前Euler公式向后Euler公式Picard迭代中心Euler公式梯
14、形公式改进的Euler公式Runge-Kutta方法选取 xi, cij 使 yr 有最高精度 p，即r1, 2, 3, 45, 6, 78, 910, 11, .pp = rp = r-1p = r-2p r-2Runge-Kutta方法的误差估计设满足Lipschitz条件设满足初值误差截断误差整体误差线性多步法(*) 其中 (t) 为 f(t,y(t) 的 q 次插值多项式。当 xn,xn-q 为插值节点时，(*) 称为显式Adams公式。当 xn+1,xn+1-q 为插值节点时，(*) 称为隐式Adams公式。一阶常微分方程组的初值问题：解法：同一阶常微分方程的初值问题。高阶常微分方程
15、的初值问题解法：令化方程为单步法(*)收敛性稳定性将(*)应用于方程y=y，得 yn+1=E(h)yn。当|E(h)|1时，称(*)绝对稳定的。称复数 h : |E(h)|1为绝对稳定区域。称实数 h : |E(h)|1为绝对稳定区间。复 习第0章绪论误差的定义向量的范数矩阵的范数、条件数、谱半径第1章插值Lagrange插值差商、Newton插值Hermite插值插值公式的截断误差Runge现象样条函数第2章数值微分和数值积分差商型数值微分、插值型数值微分、微分公式的截断误差插值型数值积分、复化数值积分、积分公式的截断误差、代数精度外推法、Romberg积分、Gauss -Legendre积
16、分矩形域上的二重积分第3章最小二乘拟合参数拟合问题 矛盾线性方程组的最小二乘解第4章非线性方程求根对分法迭代法Newton法弦截法收敛条件、收敛阶数、计算复杂度Newton法解非线性方程组第5章直接法解线性方程组消元法Gauss消元、列主元消元、全主元消元、追赶法分解法LU分解、PLU分解、 PLUQ分解、Dolittle分解、Courant分解、LDLT分解、QR分解计算复杂度第6章迭代法解线性方程组迭代格式迭代矩阵收敛条件Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代松弛迭代第7章矩阵的特征值和特征向量利用幂法计算模最大特征值及其特征向量利用反幂法计算模最小特征值及其特征向量利用QR方法计算所有特征值利用Jacobi方法计算实对称阵的所有特征值及其特征向量幂法反幂法QR方法Jacobi方法第8章常微分方程数值解常微分方程初值问题化为积分方程利用Euler公式求解利用Runge-Kutta公式求解利用Adams公式求解向前Euler公式向后Euler公式Picard迭代中心Euler公式梯形公式改进的Euler公式Adams公式结 束
