第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析 §7―1 §7―1 动态电路的议程及其初始条件动态电路的议程及其初始条件 §7―2 §7―2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 §7―3 §7―3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 §7―4 §7―4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 §7―5 §7―5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 §7―6 §7―6 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应 §7―7 §7―7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应 §7―8 §7―8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应* *§7―9 §7―9 卷积积分卷积积分* *§7―10 §7―10 状态方程状态方程* *§7―11 §7―11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题1 1.换路定则和电路初始值的求法；换路定则和电路初始值的求法；2.掌握一阶电路的掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、零输入响应、零状态响应、全响应全响应的概念和物理意义；的概念和物理意义；3.会计算和分析一阶动态电路会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法重点是三要素法)；；4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的概念和物理意义；概念和物理意义； 5.会分析简单的二阶电路；会分析简单的二阶电路；6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；7.会用系统法列写简单的状态方程。
会用系统法列写简单的状态方程内容提要与基本要求内容提要与基本要求2 重 点(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算一阶电路时间常数的概念与计算 ；；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4)求解一阶电路的三要素法；求解一阶电路的三要素法；(5)暂态分量暂态分量(自由分量自由分量)和和(稳态分量稳态分量)强制分量概念；强制分量概念；(6)二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念；二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念；(7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠 阻尼及临界阻尼的概念及分析；阻尼及临界阻尼的概念及分析；(8)二阶电路的阶跃响应二阶电路的阶跃响应3 难难 点点(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程；立动态电路方程；(2)电路初始条件的概念和确定方法；电路初始条件的概念和确定方法；(3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。
程分析方法和基本物理概念与其它章节的联系与其它章节的联系本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解4 §7-1 动态电路的方程及其初始条件SUS+ +- -(t= =0)+ +- -uCRC+ +- -uRi引引 言言 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状定状态当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态从一种稳定状态一种稳定状态转到转到另一种新稳定状态另一种新稳定状态时，往往时，往往不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，在工程上称在工程上称过渡过程过渡过程接通电源，接通电源，C 被充电，被充电，C 两两端的电压逐渐增长到稳态值端的电压逐渐增长到稳态值Us ，即要经历一段时间。
即要经历一段时间电路中的电路中的过渡过程虽然短暂，过渡过程虽然短暂，在实践中却很重要在实践中却很重要5 一、动态电路的基本概念一、动态电路的基本概念Ø含有动态元件含有动态元件(L、、C)的电路称为的电路称为动态电路动态电路描述述动态电路动态电路的方程是微分方程的方程是微分方程Ø全部由全部由线性非时变线性非时变元件元件构成的构成的动态电路动态电路，其，其描描述方程是线性常系数微分方程述方程是线性常系数微分方程Ø只含一个动态元件只含一个动态元件(L或或C)的电路，的电路，其其描述方程描述方程是一阶线性常系数微分方程，称是一阶线性常系数微分方程，称一阶电路一阶电路Ø一阶电路有一阶电路有3种分析方法：种分析方法：1. 经典法经典法 列写电路的微分方程，求解电流和电压列写电路的微分方程，求解电流和电压是一种在是一种在时时间间域域中进行的分析方中进行的分析方法法6 2. 典型电路分析法典型电路分析法 记住一些典型电路记住一些典型电路(RC串串联、联、RL串联、串联、 RC并联、并联、 RL并联等并联等) 的分析结果，的分析结果，在分析非典型电路时可在分析非典型电路时可以设法套用以设法套用。
3. 三要素法三要素法 只要知道一阶电路只要知道一阶电路的三个要素，代入的三个要素，代入一个公式就可以直一个公式就可以直接得到结果，这是接得到结果，这是分析一阶电路的最分析一阶电路的最有效方法有效方法任意任意NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型电路典型电路重点掌握重点掌握3 ，， 1、、2 两种方法可掌握其两种方法可掌握其中之一7 8 9 10 二、换路及换路定则二、换路及换路定则1.换路换路 电路结构或元件参数的改变电路结构或元件参数的改变称为称为换路换路换路是在换路是在t=0 (或或 t = t0) 时刻进行的时刻进行的 含有动态元件的电路换路含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能程产生的原因是由于储能元件元件L、、C ，在换路时能，在换路时能量发生变化，而能量的储量发生变化，而能量的储存和释放需要存和释放需要S24V+-(t=0)+LiL4W14W22W3W6H6W-uL12V+-i8W4Wt=0S纯电阻电路在换路时没有过渡期纯电阻电路在换路时没有过渡期 一定的时间来完成一定的时间来完成。
11 2. 换路定则换路定则在换路前后：在换路前后：q(t) = = q(t0) + +∫tt0iC (x x) dx xq(0+ +) = = q(0- -) + +∫0+ +0- -iC(x x) dx x以以t = = t0 = = 0作为换路的计时起点：换路前最终时作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为刻记为t = = 0- -，换路后最初时刻记为，换路后最初时刻记为t = = 0+ +线性电容线性电容C的电荷的电荷0- -到到0+ +瞬间，瞬间，iC(t)为有限值时，积分为为有限值时，积分为0q(0+) = q(0-) C上的上的电荷不能跃变电荷不能跃变！！由由q(t) = = C uC(t)可知，当换路前后可知，当换路前后C不变时不变时uC(0+ +) = = uC(0- -) C两端的两端的电压也不能跃变电压也不能跃变！！12 Y (0+) =Y (0-) L中的中的磁链不能跃变磁链不能跃变！！由由Y (t) = LiL(t) 可知，当可知，当换路前后换路前后L不变时不变时 iL(0+) = iL(0-) L中的中的电流也不能跃变电流也不能跃变！！同理可得：同理可得：q(0+) = q(0-)uC(0+ +) = = uC(0- -)换路定则表明换路定则表明 (1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守电荷守恒恒定律的体现。
定律的体现2)换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变这是电流（磁链）在换路前后保持不变这是磁链守磁链守恒恒定律的体现定律的体现13 三、初始值的计算三、初始值的计算解：解：换路前的换路前的“原电路原电路”求图示电路在开关求图示电路在开关闭合瞬间各支路电闭合瞬间各支路电流和电感电压流和电感电压 1. 由换路前的由换路前的“原电路原电路”计算计算uC(0- -)和和iL(0- -) iC(0-)=0，，C视为开路视为开路 uL(0-)=0，，L视为短路视为短路iL(0- -) = = 12AuC(0- -) = = 24V= = iL(0+ +)= = uC(0+ +)R1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33 2 2 48ViR1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33 2 2 48Vi由等效电路算出由等效电路算出14 2.画出画出t=0+等效电路：等效电路：电感用电流源替代，电电感用电流源替代，电容用电压源替代容用电压源替代 iC(0+ +) = =48- -243= 8A= 8AuL(0+ +) = =48-2-2×12 = 24= 24VR1+ +- -U0SR2iLiC12A+ +- -uL+ +- -R33 2 2 48V24ViR1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33 2 2 48ViiL(0- -) = = 12A = = iL(0+ +)uC(0- -) = = 24V = = uC(0+ +)i(0+ +) = = iL(0+ +) + + iC(0+ +) = = 12 + + 8 = = 20At=0=0+ +时刻的时刻的等效电路等效电路15 §7-2 7-2 一阶电路的一阶电路的零输入零输入响应响应零输入响应：零输入响应：在在电源激励为零电源激励为零的情的情况下，况下，由动态元件的初始值由动态元件的初始值(≠0)(≠0)引起的响应。
引起的响应1. RC 电路电路 SR+ +- -uC(t=0)i+ +- -uRU0SR+ +- -uC(t≥0+)i+ +- -uRU0换路后的换路后的“新电路新电路”i = =ducdt- - C= = Riducdt= = - - RC由由KVL得：得：ducdtRC+ + uC = = 0uR分析分析 RC 电路的零输入响应，电路的零输入响应，实际上是分析其放电过程实际上是分析其放电过程一阶齐次微分方程一阶齐次微分方程16 = RC 称称RC电路的电路的时间常数时间常数若若R取取W，，C取取F，则，则 t 为为 s 的大小，反映的大小，反映uC的变化快慢：的变化快慢： SR+ +- -uC(t≥0+)i+ +- -uRU0p = = - -RC1通解通解 uC = = A e1RC- -t由初始条件由初始条件 uC(0+ +) = = uC(0- -) = = U0 得：得：uC = = U0 e= = U0 e - -t1RC- -t，，t ≥0touC 2233U0 的图解的图解ducdtRC+ + uC = = 0特征方程特征方程特征根特征根RCp+ +1= =017 t=0，，uC =U0t= ，，uC =U0 e- -1≈0.638U0•在理论上，要经过无在理论上，要经过无限长时间，限长时间， uC才能才能衰减到衰减到0。
•在工程上，认为经过在工程上，认为经过3 －－5 时间，过渡时间，过渡过程即告结束过程即告结束touC 2233U00.368U00.05U0uC= =U0 e - -tt=3 ，，uC =U0 e- -3≈0.05U0t=5 ，，uC =U0 e- -5≈0.007U0uR = = uC = = U0 e - -tSR+ +- -uC(t≥0+ +)i+ +- -uRU0, uRi = =ducdt- - C= =RU0 - -teWR = =∫∞∞ 0i2 (t) R dt= =∫∞∞ 0RU022RC- -tedt = =21CU02C储存的能量全被储存的能量全被R 吸收，吸收，并转换成热能消耗掉并转换成热能消耗掉RU0i18 tU0uC0I0ti0令令 =RC , , 称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 （（1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （（2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；有关；19 时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大大 → 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 → 过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（ C一定）一定） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大C 大（大（R一定）一定） W=Cu2/2 储能大储能大物理含义物理含义20 工程上认为工程上认为, , 经过经过 3 －－5 , , 过渡过程结束。
过渡过程结束 ：电容电压衰减到原来电压：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间所需的时间 ＝＝ t2－－t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于 I0tuc0 t1t2U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 次切距的长度次切距的长度21 （（3 3）能量关系）能量关系 电容电容不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－－C22 例例 已知图示电路中的电容原本充有已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC零输零输入响应问题，有：入响应问题，有：i3K3 +uC2 6 5F－－i2i1+uC4 5F－－i1t >0等效电路等效电路分流得：分流得：23 例：试求例：试求t≥0时的时的i(t) 换路后，换路后，C 通过通过(R1//R2)放电，放电，Req= R1//R2 = 2Ω 所以所以 t = ReqC = 2 s 引用典型电路结果：引用典型电路结果：uC(0- -) = =2+4+410×4= = 4 V根据换路定则：根据换路定则： uC(0- -) = = uC(0+ +) = = 4 VR2+ +- -uC4 4 C1Fit≥0SR1uC = = uC(0+ +) e - -t= = 4 e- -0.5t Vi = -= -21RequC= = - -e- -0.5t A解：解：(t≥0)(t≥0)2 SR2+ +- -(t= =0)+ +- -uC4 R14 C1F12R10Vi24 2. RL电路电路由由KVL uL + uR = 0SR+ +- -(t= =0)R0L12uL+ +- -iU0R(t≥0)LuL+ +- -iS2+ +- -uRdiLdt+ + Ri = = 0didtL+ + i = = 0Ri(0+ +)= = i(0- -)= =R0U0i(t) = = i(0+ +) e= =R0U0 = =RL为为RL电路的电路的时间常数。
时间常数 - -te[s] = =[][][H] - -t得得 i(t) 解之解之 代入初试条件代入初试条件 基本形式：基本形式：i(t)= =I0 e - -t(t ≥0)25 电阻电阻和和电感电感上的上的电压分别为：电压分别为：R(t≥0)LuL+ +- -iS2+ +- -uRRI0uRtoi, uR , uL iI0uL- -RI0uR= = Ri= = R I0 euL = - = - uR= = - - R I0 edidtL或者：或者：uL = == = - -R I0 ei(t) = = I0 e - -t - -t - -t - -t，，(t ≥0)，，(t ≥0)，，(t ≥0)26 -RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （（1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； （（2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；有关；27 令令 = L/R , , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数L大大 W=Li2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大 大大 → 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 → 过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = L/R电流初值电流初值i(0)一定：一定：28 （（3 3）能量关系）能量关系 电感电感不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR29 t≥0+3.例题分析例题分析 P144 例例7-2试试求求：： ；；i(0+)和和i(0-) ；；i(t)和和uV (t) ；；uV (0+)。
VS+ +- -RL+ +- -URVuVi0.189 0.398H5k 35V某某300kW汽轮发电机汽轮发电机励磁回路的电路模型励磁回路的电路模型电压表的量程才电压表的量程才50V = =R+RVL= =0.189+ +5×1030.398= = 79.6 (m 79.6 (ms)i(0- -)≈RU= =0.18935= =185.2 Ai(t) = = 185.2 e- -12560t AuV(t) ) = = - -RV i(t) = ) = - -926 e- -12560t kVuV(0+ +) = = 926 kV !实践中，要实践中，要切断切断 L 的电的电流，必须考流，必须考虑磁场能量虑磁场能量的释放问题的释放问题解：解：= = i(0+ +)30 §7-3 7-3 一阶电路的一阶电路的零状态零状态响应响应Ø零状态响应：零状态响应：在动态元件在动态元件初值为初值为 0 的状态下，外施的状态下，外施激励引起的响应激励引起的响应1. RC电路电路 由由KVL：： uR + uC = USSUS+ +- -(t=0)+ +- -uCRC+ +- -uRiuR = = Riducdt = = RCducdtRC+ + uC = = US常系数非齐次线性方程常系数非齐次线性方程对应的齐次方程：对应的齐次方程：其解其解为：为：uC = = u'C + + u"C 通解：通解： u"C = = A e1RC- -t特解：特解： u'C = = US 所以：所以： uC = = US + + A educdtRC+ + uC= = 01RC- -t31 与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= －－ US由起始条件由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数 A的通解的通解通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解的特解32 -USuC‘uC“USti0tuc0 （（1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）暫态分量（自由分量）+33 （（2 2）响应变化的快慢，由时间常数）响应变化的快慢，由时间常数 ＝＝RC决定；决定； 大，充电大，充电 慢，慢， 小充电就快。
小充电就快 （（3 3）响应与外加激励成线性关系；）响应与外加激励成线性关系；（（4 4）能量关系）能量关系电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：电阻消耗电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中一半转换成电场能量储存在电容中34 (t≥0+ +)2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应(1) 激励是恒定直流激励是恒定直流(并联）并联）换路前：换路前： iL(0+) = iL(0-) = 0 换路后：换路后： iR + iL = ISSRL+ +- -ISuLt= =0iRiLiR = =uLR= =LRdiLdtLRdiLdt+ + iL = = ISLR = =解得：解得： iL = = IS (1- - e ) - -t代入代入式中：式中：35 iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知已知iL(0－－)=0，，电路方程为电路方程为：：tuLUStiL00(2) (2) 激励是恒定直流激励是恒定直流( (串联）串联）36 例例1t=0时时 , ,开关开关K打开，求打开，求t>0t>0后后iL、、uL的变化规律的变化规律 。
解解这是一个这是一个RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路，有：应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2H80 10A200 300 iL+–uL2H10AReqt>037 全全响响应应稳稳态态解解暂暂态态解解§7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应1.1.全响应：全响应：外施激励外施激励和动态元件初值都和动态元件初值都不为零时的响应不为零时的响应SUS+ +- -(t= =0)+ +- -uCRC+ +- -uRi+ +- -U0uC(0+ +) = = uC(0- -) = = U0uC = = US + ( + (U0 - - US) ) educdtRC+ + uC = = US- - t(1)一阶电路的全响应一阶电路的全响应可以看成是稳态分量可以看成是稳态分量(强制分量强制分量) 与暂态分与暂态分量量(自由分量自由分量) 之和 =+ +2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式强制分量强制分量自由分量自由分量38 零零输输入入响响应应(2)把上式改写成下列形式：把上式改写成下列形式：零零状状态态响响应应全全响响应应此种分解方式便于叠加计算，此种分解方式便于叠加计算，体现了线性电路的叠加性质。
体现了线性电路的叠加性质uC = = US + ( + (U0 - - US) ) e- - tSUS+ +- -(t= =0)+ +- -uCRC+ +- -uRi+ +- -U0uC = = U0 e- - t + + US ( (1 - - e ) )- - t= =+ +39 3.3.三要素法三要素法(1) 在恒定激励下在恒定激励下f(t) = = f(∞) + + [ f(0+ +) - - f(∞)]- - te由由初始值初始值、、稳态值稳态值和和时间常数时间常数三个要素决定三个要素决定全响应全响应 = = 稳态分量稳态分量 + + 暂态分量暂态分量uC = = US + ( + (U0 - - US) ) e- - t(2) 在正弦电源激励下在正弦电源激励下f(t) = = f∞(t) + + [ f(0+ +) - -f∞(0+ +) ]- - te的正弦量；的正弦量；f∞(t)是换路后的稳态响应是换路后的稳态响应(特解特解) ，，是与激励同频是与激励同频率率f∞(0+)是稳态响应是稳态响应f∞(t)的初始值。
的初始值f(0+)和和 的含义与的含义与恒定激励下相恒定激励下相同说明一阶电路的响应说明一阶电路的响应求求f∞(t)的方法是待定系数法的方法是待定系数法或或相量法相量法40 4. 解题指导解题指导 例例1换路换路前：前：iL(0-)= -IS= -2A求换路后的戴维宁电路求换路后的戴维宁电路SUs+ +- -(t= =0)iLRLiIsab10V4H2 2A??Uoc+ +- -(t≥0+ +)iLReqLab= =10- -2×2= =6 VUoc= =Us- -RisReq = = R = = 2 求求iL的三个的三个要素：要素：iL(0+ +)= =iL(0- -) = = - -2AiL(∞)= = Uoc / Req= = 6/ /2 = = 3 (A) = = L / Req= = 4 / 2 = = 2 (s)f(t) = = f(∞) + + [ f(0+ +)- - f(∞)] e- - tiL(t)2iL(t)= =3- -5e- -0.5t Ai(t)= = IS + + iL(t) = = 5 - - 5 e- -0.5t A41 例例2：：图示电路原本处于稳定状态，图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关时开关S闭合，闭合，求换路后的电流求换路后的电流i(t) 。
iU= =10V+ +- -R1=2=2SL= =1HR2=5=5C= =0.25FS闭合前闭合前C开路开路L短路短路iL(0- -) = = 0，， uC(0- -) = = 10V，，换路后变为两个独立的单回路换路后变为两个独立的单回路iL(0- -)+ +- -uC(0- -)iU= =10V+ +- -R1=2=2SL= =1HR2=5=5C= =0.25F+ +- -uCiLiC解：解：电容电路的三要素为电容电路的三要素为 iC(0+ +) = = uC(0+ +)／／R1 = = 5A 1 1 = = R1C = = 0.5s ,iC(∞) = = 0电感电路的三要素为电感电路的三要素为 iL(0+ +) = = iL(0- -) = = 0 2 2 = = L／／R2 = = 0.2s ,iL(∞) = = U／／R2 = = 10／／5 = = 2Ai(t) = = iL(t) + + iC(t) 求出求出iC(t)、、iL(t) 后后 (t≥0)42 例例3：：电路如图电路如图t=0时时S1从位置从位置1拨拨向位置向位置2，经，经0.12s后后S2打开，求打开，求uC(t)并绘波形图。
并绘波形图U1+ +- -R21 10m mFS250VR1= =20k CS121U2- -+ +30k 10V+ +- -uC解：解：先求初始值先求初始值 uC(0- -) = = - -10V再分阶段用三要素法求解再分阶段用三要素法求解1) 0≤t＜＜0.12sU1+ +- -R21 10m mFS250VR1= =20k CS1230k + +- -uCuC(0+ +) = = uC(0- -) = = - -10VuC(∞) = = 3030+20+203030×5050 = =30V 1 = = (20//30)×10103 3×10×10- -6= = 0.12suC(t) = = 30- -40e- -8.33t V(0≤t＜＜0.12s)43 (2) t＞＞0.12sU1+ +- -R21 10m mFS250VR1= =20k CS1230k + +- -uCuC(0.12- -) = = 30- -40e- -8.33×0.12 = = 15.28VuC(t) = = 30- -40e- -8.33t V(0≤t＜＜0.12s)uC(0.12+ +) = = uC(0.12- -) = = 15.28V 2 = = R2 C = = 30×10103 3×10×10- -6 = = 0.3s,uC(∞) = = 0uC(t) = = 15.28e- -3.33(t- -0.12) Vt＞＞0.12s00.10.20.30.4 0.5t /suC(t) / V- -1010200.12s15.2844 § 7.5 一阶电路的阶跃响一阶电路的阶跃响应应 在前面的讨论中，我们看到直流一阶电路中的在前面的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激励。
段恒定信号对电路的激励 随着电路规模的增大和计算工作量增加，有随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路用计算机分析和设计电路 45 1 1 1 1( ( ( (t-tt-tt-tt-t0 0 0 0 ) ) ) )一、阶跃函数一、阶跃函数一、阶跃函数一、阶跃函数 单位阶跃函数单位阶跃函数I I I I( ( ( (t t t t) ) ) )的定义为的定义为图图7－－25 阶跃函数阶跃函数 (7-26)k k k k1 1 1 1( ( ( (t t t t) ) ) )1kt0111 1 1 1(-(-(-(-t t t t) ) ) )46 开关电路可以等效为阶跃信号作用于该电路开关电路可以等效为阶跃信号作用于该电路开关电路可以等效为阶跃信号作用于该电路开关电路可以等效为阶跃信号作用于该电路图图7－－26 用阶跃函数代替开关的作用用阶跃函数代替开关的作用 47 二、阶跃响应二、阶跃响应二、阶跃响应二、阶跃响应 阶跃响应阶跃响应：：阶跃信号作用下电路的零状态响阶跃信号作用下电路的零状态响 应，称为电路的应，称为电路的 阶跃响应阶跃响应.单位阶跃响应单位阶跃响应：单位阶跃信号作用下电路的：单位阶跃信号作用下电路的 零状态响应，称为电路的零状态响应，称为电路的单单 位阶跃响应位阶跃响应. . 48 单位阶跃输入的单位阶跃输入的零状态响应零状态响应称为电路的单位阶跃称为电路的单位阶跃响应，响应，记作记作s(t)。
通过例题说明一些概念通过例题说明一些概念 +- -uCRC+ +- -e e(t)iC例例1：求：求 uC(t) 、、iC(t)根据阶跃函数的性质得根据阶跃函数的性质得 uC(0- -)= =0，，解：解：uC(∞)= =1V单位阶跃响应为单位阶跃响应为 uC = = (1- - e RC- -tiC = =R1ee e(t) AtouC11/RiC - -tf(t) = = ee e(t) - -tf(t) = = et≥0≥0初值为零初值为零注意注意 初值可以初值可以不为零) e e(t) VRC- -t49 若激励在若激励在t = t0 时加入，则响应从时加入，则响应从t = t0 开始 + +- -uCRC+ +- -e e(t- -t0)iC延迟的阶跃响应为延迟的阶跃响应为 uC = = (1- - e RC- -t- -t0iC = =R1e) e e(t- -t0) VRC- -t- -t0e e(t- -t0) A注意：注意：uC = = (1- - e RC- -t) e e(t- -t0) V阶跃响应的求法与恒定激励下的零状态响阶跃响应的求法与恒定激励下的零状态响应的求法本质相同。
用应的求法本质相同用 f (t) e e(t- -t0) 表示延迟的阶跃响应不要写为延迟的阶跃响应不要写为 50 例例2：：S在位置在位置1时电路处于稳态时电路处于稳态 t=0时时S由位置由位置1合向位置合向位置2，，在在t=t 时，时，S又从位置又从位置2 合向位置合向位置1求求t≥0时的时的uC S (t= = )+ +- -uCRC21US+ +- -t= =0解法解法1：把电路的工作过程分段求解：把电路的工作过程分段求解(1) 0≤t≤t ：：为典型为典型RC串联电路的零状态响应串联电路的零状态响应 (2) t≤t＜＜∞：：为典型为典型RC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应uC = = US (1- -e ) - -t = = RCuC = = 0.632US e - -t - - 0≤t≤ ≤t＜＜∞初始值：初始值：uC(t+) = uC(t-) = US (1- e-1) = 0.632US 51 解法解法2：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应用阶跃函数表示激励，求阶跃响应uS(t) = US e(t) -US e(t-t)RC电路的单位阶跃响应为电路的单位阶跃响应为 uS(t)toUSs(t) = = (1- -e - -t - -t - - s(t- - ) = = (1- -e 利用线性电路的叠加性质可得利用线性电路的叠加性质可得uC(t) = =阶跃响应阶跃响应延迟的阶跃响应延迟的阶跃响应S (t= = )+ +- -uCRC21US+ +- -t= =0) e e(t)) e e(t- - )uc(t)to 0.632UsUsUS (1- -e ) e e(t) - -t- - US (1- -e ) e e(t- - ) - -t - - 52 利用三要素公式得到电感电流利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应的阶跃响应如下所示。
如下所示 以上两个式子可以用一个表达式表示如下以上两个式子可以用一个表达式表示如下：： 其中时间常数其中时间常数 =RC或或 =L/R 用阶跃函数代替开关的作用用阶跃函数代替开关的作用 (a)(b)53 已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如图状态响应，例如图7-28(b)所示信号作用图所示信号作用图7-28(a)所示所示RC串联电路时，由于图串联电路时，由于图(b)所示信号可以分解所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加 图图7－－28 RC电路及其分段恒定信号电路及其分段恒定信号54 其电容电压其电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为的零状态响应可以表示为 由图由图(b)知，知，55 例例7-14 用阶跃电流源表示图 用阶跃电流源表示图(b)所示的方波电流，所示的方波电流，求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。
(a)(b)解：图解：图(b)所示的方波电流，用两个阶跃函数表示：所示的方波电流，用两个阶跃函数表示： iS(t)=[10 ε(t)-10ε(t-1ms)] mA56 由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠 由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于加定理，其零状态响应等于10 ε(t)和和-10 ε(t-1ms)两两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和 1. 阶跃电流源阶跃电流源10ε(t)mA单独作用时，其响应为单独作用时，其响应为 2. 阶跃电流源阶跃电流源-101(t-1ms)mA单独作用时，其单独作用时，其响应为响应为 3. 应用叠加定理求得应用叠加定理求得10ε(t)和和-10ε(t-1ms)共同共同作用的零状态响应为作用的零状态响应为 57 分别画出分别画出 和和 的的波形，如曲线波形，如曲线1和和2所示然后它们相加得到后它们相加得到iL(t)波形曲波形曲线，如曲线线，如曲线3所示。
所示 58 §§ 7. .6 一阶电路的冲击响应一阶电路的冲击响应 在前面的讨论中，我们用到的激励都是直流电在前面的讨论中，我们用到的激励都是直流电源，应用三要素法求解电路．初始值的求解的依源，应用三要素法求解电路．初始值的求解的依据是换路定律，即在换路瞬间，电容电压和电感据是换路定律，即在换路瞬间，电容电压和电感电流是连续变化的．电流是连续变化的． 在介绍在介绍换路定律换路定律换路定律换路定律时，我们也提到它的时，我们也提到它的适用条适用条适用条适用条件是：非跃变电路件是：非跃变电路件是：非跃变电路件是：非跃变电路．这一节我们将介绍的冲击响．这一节我们将介绍的冲击响应在求解时换路定律将不成立．因此，本节介绍应在求解时换路定律将不成立．因此，本节介绍有关跃变电路的求问题．有关跃变电路的求问题． 59 单位脉冲函数特点是， 单位脉冲函数特点是，脉宽与幅值乘积为１脉宽与幅值乘积为１.当脉宽当脉宽 a 变小时，幅值变小时，幅值 1/a 变大．当变大．当a→0时，其幅时，其幅值值 1/a →∞，但其面积仍为，但其面积仍为1．把单位脉冲的这种极．把单位脉冲的这种极限情况，称为单位冲击函数．限情况，称为单位冲击函数．波形如图所示。
波形如图所示 一、单位脉冲函数和单位冲击函数一、单位脉冲函数和单位冲击函数一、单位脉冲函数和单位冲击函数一、单位脉冲函数和单位冲击函数 1.1.单位脉冲函数单位脉冲函数的定义为的定义为 单位脉冲函数单位脉冲函数 60 2. 冲击函数的定义冲击函数的定义(1)单位冲击函数单位冲击函数(2)延时的单位冲击函数延时的单位冲击函数pD D(t)to1/D DD DD D0D D1/D Dlim pD D(t)=d=d(t)d d(t)ot1d d(t) = =0，，t >0+ +和和t <0- -∫- -∞+ +∞d d(t)dt = =1d d(t- -t0) = = 0，， t >t0+ +和和t < t0- -∫- -∞+ +∞d d(t - -t0)dt = =1∫0- -0+ +d d(t)dt = =1由于由于t >0+ +和和t <0- -时时d d(t) = =0，，所以：所以：61 3. 冲击函数的性质冲击函数的性质(1) d(t) 与与 e(t)的关系的关系(2)“筛分筛分”性质性质 f(t) d(t-t0) = f(t0) d(t-t0) d(t) =de(t)dte(t) =∫-∞td(x)dx ∫-∞+∞f(t0) d d(t- -t0) dt= = f(t0)把把t0时刻的函数值时刻的函数值“筛筛”出来，也称出来，也称取样性质。
取样性质3)冲击强度冲击强度定义中的积分值定义中的积分值称为冲击强度称为冲击强度kd d(t)的的冲击强度为冲击强度为kd(t)otkt0-k-kd(t-t0)62 4 4 4 4、冲击响应、冲击响应、冲击响应、冲击响应 冲击响应：冲击响应：冲击信号作用下电路的零状态响应，冲击信号作用下电路的零状态响应， 称为电路的 称为电路的 冲激响应冲激响应. 如果电路的激励是冲击信号，那么此电路是如果电路的激励是冲击信号，那么此电路是跃变电路．因此，换路定律不成立．这样就不能跃变电路．因此，换路定律不成立．这样就不能用换路定律求初始值，进而也不能直接应用三要用换路定律求初始值，进而也不能直接应用三要素公式．这里介绍一种利用单位阶跃响应求解冲素公式．这里介绍一种利用单位阶跃响应求解冲击响应的方法．击响应的方法． 单位冲击信号作用下电路的零状态响应，称单位冲击信号作用下电路的零状态响应，称为电路的为电路的单位冲击响应单位冲击响应，用符号，用符号h(t)表示63 冲击响应的分析冲击响应的分析②② 对上式取积分求对上式取积分求uC(0+)；；d di(t)RC+ +- -uC在冲击电流激励在冲击电流激励下的下的RC并联并联电路电路duCdtC+ +R= = d di(t)uCuC(0- -) = = 0∫0+ +0- -duCdtCdt + +∫0+ +0- -RuCdt = =∫0+ +0- -d di(t) dtC [uC(0+ +) - -uC(0- -)] 因因uC是是有限值，有限值，故此项积分为故此项积分为0。
uC(0+ +) = =C1+ + uC(0- -)电路在单位冲击函数激励下的电路在单位冲击函数激励下的零状零状态响应态响应称为冲击响应称为冲击响应记作记作h(t)1) 分析过分析过程程① ① 列列t≥0- -时电路的微分方程；时电路的微分方程；根据根据d di(t)的定义，的定义，故此项积分为故此项积分为1 = 164 (3) t≥0+时，时，di(di() ) = 0Ø用同样的方法，可求用同样的方法，可求得得RL串联串联电路在单位电路在单位冲击电压作用下的响冲击电压作用下的响应d di(t)RC+ +- -uCduCdtC+ +R= = d di(t)uC变为变为= = 0 0duCdtC+ +RuCuC(0+ +) = =C1+ + uC(0- -)d du(t)RL+ +- -uL+ +- -iLdiLdtL+ + RiL = = 0 0iL(0+ +) = =L1+ + iL(0- -)方程方程t≥0+ +d di(t)uC(0+)已已变成了零输入响应变成了零输入响应的求解问题的求解问题(t≥0+ +) iL(0+)d du(t)+ +- -t≥0+ +65 综上，冲击响应分两个过程：综上，冲击响应分两个过程：若若d d(t)的的强度为强度为kuC(0+ +) = =Ck+ + uC(0- -)iL(0+ +) = =Lk+ + iL(0- -)过程过程1 ：： t 从从 0- -→0+ + uC(t)从从uC(0- -) → uC(0+ +)iL(t) 从从iL(0- -) →iL(0+ +)建立初始值的过程。
建立初始值的过程uC或或iL 产生跃变，已不产生跃变，已不满足换路定则满足换路定则过程过程2 ：：t 从从 0+ + →∞d d(t)已不起作用已不起作用第第1个过程中留下的能个过程中留下的能量开始释放这是以量开始释放这是以uC(0+ +)[或或 iL(0+ +)] 为初为初始值的始值的零输入响应零输入响应可用三要素法求解可用三要素法求解则则66 5. 解题指导解题指导d du(t)RC+ +- -uC+ +- -iC①①列列t≥0- -时的微分方程时的微分方程RCduCdt+ + uC = = d di(t)uC(0- -) = = 0②②对方程两边从对方程两边从0- -到到0+ +积分积分得得 RC[uC(0+ +) - - uC(0- -)] = =1uC(0+ +) = =RC1③③求求零输入响应零输入响应t≥0+ + = = RC，，uC(t) = =RC1e e(t)- -RCted du(t)+ +- -uC(0+)初始条件为初始条件为uC(∞) =0=0代入三要素公式得代入三要素公式得e e(t)的的“起始性起始性”表表示示uC(t)从从t≥0+ +开始解：解：题题1：求：求RC串联串联电路的电路的单位冲击响应。
单位冲击响应67 s s( (t t) ) 与与与与h h( (t t) )的关系的关系的关系的关系：： 由于单位脉冲函数为由于单位脉冲函数为：：f(t)在在 a→0 时变为时变为δ(t)，因此，，因此，f(t)所对应的响应所对应的响应在在 a→0 时变成为时变成为h(t)．．即即f(t)所对应的响应为所对应的响应为：：由线性性质，若由线性性质，若则则68 冲击响应的求解步骤冲击响应的求解步骤冲击响应的求解步骤冲击响应的求解步骤：： ⑴⑴ 把电路的冲击激励换为把电路的冲击激励换为ε(t)，这时电路是非，这时电路是非跃变电路，可以用前面所学过的方法求跃变电路，可以用前面所学过的方法求s(t). ⑵⑵ 根据根据h(t)=s' (t)，求出，求出h(t). ⑶⑶ 若激励为若激励为kδ(t)，，则所求响所求响应为k·h(t). 下面讨论下面讨论RC和和RL电路的冲击响应．电路的冲击响应． 图图7－－37 RC电路电路 图图7－－38 RL电路电路69 那么，在那么，在 δ(t) 作用下作用下将将 δ(t) 换为换为ε(t)，则，则1. RC电路电路70 71 那么，那么，将将δ(t) 换为换为ε(t)，则，则2. RL电路电路72 可以看出，在冲击激励可以看出，在冲击激励δ(t) 作用下，作用下，uC (或或 iL)在在 0 时刻有跃变，而时刻有跃变，而 iC (或或 uL)在在 0 时刻会有冲击时刻会有冲击．．73 三、电容电压和电感电流的跃变三、电容电压和电感电流的跃变三、电容电压和电感电流的跃变三、电容电压和电感电流的跃变 跃变电路跃变电路：电容电压和电感电流发生跃变的电路．：电容电压和电感电流发生跃变的电路． 跃变电路的两种情况跃变电路的两种情况跃变电路的两种情况跃变电路的两种情况：： ⑴⑴ 电路的激励是冲击激励电路的激励是冲击激励.⑵⑵ 电路在结构上是变电路的结构．电路在结构上是变电路的结构． ①① 换路后，电容直接并联在恒压源或电容两端换路后，电容直接并联在恒压源或电容两端.图图7-41 电容电压跃变电路电容电压跃变电路(a)(b)74 ②② 换路后，与某节点相连的各个支路中都有电换路后，与某节点相连的各个支路中都有电感或恒流源感或恒流源.图图7-42 电感电流跃变电路电感电流跃变电路(a)(b) 对于 对于⑵⑵ 所述的结构上是跃变电路的情形所述的结构上是跃变电路的情形如何求初始值．如何求初始值．75 由二阶微分方程描述的电路称为由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路二阶电路二阶电路二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应并利用初始条件求解得到电路的响应一、一、一、一、RLCRLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程串联电路的微分方程串联电路的微分方程uC(t)uL(t)i图图7－－46 RLC串联二阶电路串联二阶电路§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应76 uC(t)uL(t)i RLC串联二阶电路串联二阶电路 已知已知 uC(0-) = Uo ，开关在，开关在 t=0 时闭合开关时闭合开关闭合后，由闭合后，由KVL电压定律，得电压定律，得将将 代入上式经整理得代入上式经整理得77 这是一个常系数齐次线性二阶微分方程这是一个常系数齐次线性二阶微分方程其特征方程为其特征方程为 其特征根为其特征根为 (7-37)(7-38)(7-39)特征根又称为电路的特征根又称为电路的固有频率固有频率78 1. 当当 时，时， 为不相等的负实根。
为不相等的负实根工作状态为过阻尼情况，或工作状态为过阻尼情况，或非振荡衰减非振荡衰减 当当 R R，，L L，，C C 的量值不同时，特征根可能出现的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况以下三种情况 2. 当当 时，时， 为两个相等的负实根为两个相等的负实根工作状态为工作状态为临界阻尼临界阻尼情况 3. 当当 时，时， 为共轭复数根为共轭复数根工作状态为欠阻尼情况，或工作状态为欠阻尼情况，或振荡衰减振荡衰减79 二、二、当当 时，时， 为不相等的负实根非为不相等的负实根非振荡衰减状态振荡衰减状态 齐次微分方程的解齐次微分方程的解设设此时此时(7-40)< 080 式中的常数式中的常数 K1，，K2 由初始条件由初始条件 i(0+) 和和uc(0+) 确定确定. uC(t)uL(t)i联立求解以上两个方程，联立求解以上两个方程，可以得到可以得到 81 0uC(t)tuC(t)82 0i(t)tuC(t)i(t)uL(t)tm2tm83 三、三、当当 时，时， 为共轭复数根。
为共轭复数根振荡衰减工作状态振荡衰减工作状态齐次微分方程的解齐次微分方程的解(7-41)其中其中84 式中的常数式中的常数 K1，，K2 由初始条件由初始条件 i(0+) 和和uc(0+) 确定确定. 联立求解以上两个方程，联立求解以上两个方程，可以得到可以得到 85 86 若电路中的电阻为零，若电路中的电阻为零， 称为等幅震荡称为等幅震荡 unattenuated oscillatory) 过程，此时过程，此时:87 K1，，K2由初始条件由初始条件 i(0+) 和和 uC(0+) 确定四、四、当当 时，时， 为两个相等的负实根为两个相等的负实根工作状态为临界阻尼情况工作状态为临界阻尼情况齐次微分方程的解齐次微分方程的解88 89 1. 在非振荡衰减在非振荡衰减(过阻尼过阻尼)情况，情况，p1 和和p2 是不相是不相等的负实数，固有频率出现在复平面上负实轴上，等的负实数，固有频率出现在复平面上负实轴上，响应按指数规律衰减响应按指数规律衰减 2.在临界阻尼情况，在临界阻尼情况，p1= p2 是相等的负实数，是相等的负实数，固有频率出现在复平面上负实轴上，响应按指数固有频率出现在复平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
规律衰减 3.在振荡衰减在振荡衰减(欠阻尼欠阻尼)情况，情况，p1 和和 p2 是共轭复是共轭复数，固有频率出现在复平面上的左半平面上，响数，固有频率出现在复平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减按指数规律衰减90 4.在无阻尼情况，在无阻尼情况，p1 和和 p2 是共轭虚数，固有频是共轭虚数，固有频率出现在复平面上的虚轴上，振幅不再衰减，形率出现在复平面上的虚轴上，振幅不再衰减，形成等幅振荡成等幅振荡 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的由此可知，幅将随时间增加，电路是不稳定的由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于复平面上的左当一个电路的全部固有频率均处于复平面上的左半平面上时，电路是稳定的半平面上时，电路是稳定的 91 SLISiLt= =0CG+ +- -uC+ +- -uLiCiRuC(0- -) = = 0，，iL(0- -) = = 0iR= = GuL= =GLdiLdtiC = = CduCdt= = CduLdt= = LCd2iLdt2LCd2iLdt2+ + GLdiLdt+ + iL 若以电感电流为变量则有若以电感电流为变量则有由由KCL求解方程的过程同求解方程的过程同7- -5(通解通解)和和7- -3(特解特解)。
二阶电路的全响应也二阶电路的全响应也=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应全解全解 = 通解通解 + 特解特解 = = IS例例92 二阶电路的阶跃响应二阶电路的阶跃响应电路所对应的微分方程为电路所对应的微分方程为开关闭合后开关闭合后93 微分方程所对应的特征方程为微分方程所对应的特征方程为 由由 7.9 的分析，特征根有三种解的形式，对的分析，特征根有三种解的形式，对应三种工作状态应三种工作状态 下面就三种情况分别讨论下面就三种情况分别讨论94 一、一、当当 时，时， 为不相等的负实根非为不相等的负实根非振荡充电过程振荡充电过程 微分方程的解微分方程的解 = = 齐次通解齐次通解 + + 非非齐次特解齐次特解 < 0由初始条件：由初始条件：uC(0+)= uC(0-)= 0 i(0+)= i(0-)= 0E+ K1 +K2 = 0C( K1 p1+ A2 p2) = 095 得：得：K1 = - p2E / (p2 - p1)K2 = p1E / (p2 - p1) 故：故：96 EuCiuL97 二、二、当当 时，时， 为共轭复数根。
为共轭复数根震荡的充电过程震荡的充电过程微分方程的解微分方程的解由初始条件由初始条件:98 得得:所以所以99 100 三、三、当当 时，时， 为两个相等的负实根为两个相等的负实根工作状态为临界阻尼情况工作状态为临界阻尼情况微分方程的解微分方程的解101 例例例例 电路如图所示已知电路如图所示已知 R=4 ，，L=1H，，C=1/3F，， uS(t)=2V，，uC(0)=6V，，iL(0)=4A求t>0时，电容电时，电容电压和电感电流的响应压和电感电流的响应解解解解：先计算特征根：先计算特征根102 响应为响应为 利用初始条件得到利用初始条件得到 联立求解以上两个方程得到联立求解以上两个方程得到 所以所以103 6. 二阶电路的冲击响应二阶电路的冲击响应G先求单位阶跃响应，再对时间求导数得单位冲击响应先求单位阶跃响应，再对时间求导数得单位冲击响应最后乘以冲击强度最后乘以冲击强度k A从冲击函数的定义出发直接求结果：从冲击函数的定义出发直接求结果： LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC= d d(t) uC(0-) = 0， iL(0-) = 0冲击函数作用后有t≥0+有两种求解方法：有两种求解方法：C+ uR -+ -RL+ uL -id d(t)t≥0-uC+ - LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC= 0 0 此法的此法的关键是求初关键是求初始值始值，，具体方法与具体方法与一阶电路相似。
一阶电路相似变成求零输入响应问题104 uC不是不是d d(t)函数函数，，即即uC不能跃变不能跃变，，这两项也是这两项也是0由零由零状态状态条件知条件知该该项为项为0先求先求uC(0+)和和 iL(0+)方程两边从方程两边从 0-到到0+积分积分LCduCdtt=0+++ RC[uC(0+)-uC(0-)]duCdtt=0-uC dt∫0-0++= 1L C LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC= d(t) uC(0-) = 0， iL(0-) = 0所以：duCdt= 1t=0+C+ uR -+ -RL+ uL -id(t)t≥0+uC+ + - -电路中的电流产生了跃变，电路中的电流产生了跃变，即电感电流发生跃变即电感电流发生跃变105 可见二阶电路的冲击响应也有两个过程：可见二阶电路的冲击响应也有两个过程：duCdtt=0+=LC1uC(0+) = 0 LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC= = 0 0 ① t = 0-→0+② t≥0+C+ uR -+ -RL+ uL -id d(t)t≥0+uC+ + - -冲击过后，电感中储存的磁场能量要释放，引起了过冲击过后，电感中储存的磁场能量要释放，引起了过渡过程。
渡过程L CduCdt= 1t=0+始值：始值：duCdtt=0+=LC1即：即：在在d d(t)的作用下建立初的作用下建立初由初始条件由初始条件iL(0+ +)引起的引起的 零输入响应过程零输入响应过程 106 Ø对对RLC并联电路，并联电路，冲击电流作用后，电容两端的电压产生了冲击电流作用后，电容两端的电压产生了跃变跃变: :uC(0+) = uL(0+) Ldi(t)iLCG+-uC+-uLiCiRt≥0- -diLdtt=0+=LC1 LCd2iLdt2diLdt+ GL+ iL = 0 iL(0+) = 0= =C1电场能量释放引起过渡过程电场能量释放引起过渡过程duCdtt=0+=LC1uC(0+) = 0, LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC= 0 C+ uR -+ -RL+ uL -id d(t)t≥0+uC+ + - -分析过程相同，也可用对偶原理分析过程相同，也可用对偶原理107 本章结束本章结束108 。