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1、二、无界函数反常二、无界函数反常积分的分的审敛法法第二节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无界函数的反常一、无界函数的反常积分分机动目录上页下页返回结束无界函数的反常积分 第六六章 一、无界函数的反常一、无界函数的反常积分分引例引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动目录上页下页返回结束定定义 设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函
2、 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明明: 而在点 c 的无界函数的积分又称作第二第二类反常反常积分分, 无界点常称邻域内无界 ,为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,机动目录上页下页返回结束间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意注意: 若瑕点的计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则则可相消可相消吗?机动目录上页下页返回结束例例1. 计算反常积分机动目录上页下页返回结束解解下述解法是否正确: , 积分收敛机动目录上页下页返回结束例例2. 讨论反常积分的敛散性 . 解解:所以反常积分发散 .例例3. 证
3、明反常积分证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .当 q1 时所以当 q a) .定理定理2. (极限审敛法)定理4目录上页下页返回结束则有: 1) 当2) 当例例5. 判别反常积分解解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .例例5. 判定椭圆积分定理4目录上页下页返回结束散性 . 解解:由于 的敛根据极限审敛法 , 椭圆积分收敛 . 类似的, 有下列结论:机动目录上页下页返回结束称为绝对收敛 . 则反常积分 机动目录上页下页返回结束例例6解解根据比较审敛原理根据比较审敛原理,的敛散性。内容小内容小结 1. 两类反常积分的比比较审敛法法和极限极限审敛法
4、法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课目录上页下页返回结束可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .内容小内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分机动目录上页下页返回结束第五节目录上页下页返回结束思考思考 1. 1. 积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 2. 2. 判别积分判别积分 的敛散性。的敛散性。第五节目录上页下页返回结束思考题思考题1 解答解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是不是瑕点不是瑕点,的瑕点是的瑕点是 作作业P285 A类: 4(1,3,5); 5(3); B类: 1(3); 3P287 8
