《高中数学 2.3.2.1双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修21》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 2.3.2.1双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修21（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质问题问题引航引航1.1.双曲线有哪些简单几何性质双曲线有哪些简单几何性质? ?什么是等轴双曲线什么是等轴双曲线? ?2.2.如何理解离心率对双曲线开口大小的影响如何理解离心率对双曲线开口大小的影响? ?标准方标准方程程图象图象焦点焦点_焦距焦距_1.1.双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)F F1 1(0,-c),F(0,-c),F2 2(0,c)(0,c)|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c标准方标准方程程范围范围_或或_或或_对称性对称性对称轴对称轴:_
2、;:_;对称中心对称中心:_:_顶点顶点_x-ax-axaxay-ay-ayaya坐标轴坐标轴原点原点A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0)(a,0)A A1 1(0,-a),A(0,-a),A2 2(0,a)(0,a)标准方程标准方程轴轴实轴实轴: :线段线段_,_,长长:_;:_;虚轴虚轴: :线段线段_,_,长长:_;:_;半实轴长半实轴长:_,:_,半虚轴长半虚轴长:_:_离心率离心率e=_e=_渐近线渐近线_A A1 1A A2 22a2aB B1 1B B2 22b2ba ab b(1,+(1,+) )2.2.等轴双曲线等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线实轴和虚
3、轴等长的双曲线, ,标准方程为标准方程为_._.x x2 2-y-y2 2=a=a2 21 1判一判判一判 ( (正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”) )(1)(1)等轴双曲线的离心率为等轴双曲线的离心率为 ( )( )(2)(2)方程方程 (a(a0,b0,b0)0)的渐近线方程为的渐近线方程为 ( )( )(3)(3)离心率离心率e e越大，双曲线越大，双曲线 的渐近线的斜率绝对值越的渐近线的斜率绝对值越大大.( ).( )【解析【解析】(1)(1)正确正确. .因为因为a=ba=b，所以，所以 所以所以(2)(2)错误错误. .由由 得得 所以渐近线方程为所以渐近线方程为(3)
4、(3)正确由正确由 (e(e1)1)，所以，所以e e越大越大, ,渐近线渐近线 斜率的绝对值越大斜率的绝对值越大. .答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3)(3)2 2做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)双曲线双曲线 的渐近线方程为的渐近线方程为_,_,离心率离心率e=_.e=_.(2)(2)双曲线双曲线x x2 2-16y-16y2 2=1=1的半实轴长为的半实轴长为_,_,半虚轴长为半虚轴长为_._.(3)(3)焦点在焦点在x x轴上轴上, ,且焦距为且焦距为4 4的等轴双曲线方程为的等轴双曲线方程为_._.【解析【解析】(1)(
5、1)由由 得得 故渐近线方程为故渐近线方程为 由由 所以所以a a2 2=1,b=1,b2 2=3,=3,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=4,=4,故故a=1,c=2,a=1,c=2,所以所以答案答案：(2)(2)由由x x2 2-16y-16y2 2=1,=1,得得所以所以a a2 2=1,b=1,b2 2= = 即即a=1,b=a=1,b=答案：答案：1 1(3)(3)因为是焦点在因为是焦点在x x轴上的等轴双曲线轴上的等轴双曲线, ,所以方程设为所以方程设为则则2a2a2 2=4,=4,所以所以a a2 2=2,=2,即双曲线方程为即双曲线方程为答案：答案：【要点探究【
6、要点探究】知识点知识点 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质1.1.对双曲线渐近线的四点说明对双曲线渐近线的四点说明(1)(1)随着随着x x和和y y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点但永远没有交点. .(2)(2)由渐近线方程可确定由渐近线方程可确定a a与与b b或或b b与与a a的比值，但无法确定焦点的比值，但无法确定焦点位置位置. .(3)(3)求渐近线的方程，常把双曲线方程右边的常数写成求渐近线的方程，常把双曲线方程右边的常数写成0,0,分解分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程因式即得渐近线方程，若已知渐近线
7、方程mx+nymx+ny=0=0，求双曲线，求双曲线方程，常将双曲线方程设为方程，常将双曲线方程设为 求解求解. .(4)(4)与双曲线与双曲线 (a(a0,b0,b0)0)共渐近线的双曲线系方程共渐近线的双曲线系方程可设为可设为 (0,a(0,a0,b0,b0).0).2.2.离心率对双曲线开口大小的影响离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线以双曲线 (a(a0,b0,b0)0)为例为例. . 故当故当 的值越大，渐近线的值越大，渐近线 的的斜率越大，双曲线的开口越大，斜率越大，双曲线的开口越大，e e也越大，所以也越大，所以e e反映了双曲线反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的
8、开口就越大开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大. .【知识拓展【知识拓展】共轭双曲线共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线双曲线的共轭双曲线. . 与与 互为共轭双曲互为共轭双曲线，其性质如下：线，其性质如下：(1)(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线. .(2)(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. .(3)(3)与与 具有相同渐近线的双曲线系方程为具有相同渐近线的双曲线系方程为(k0)(k0)【微思考【微思考
9、】(1)(1)双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？提示：提示：不能，每条双曲线对应惟一一组渐近线，但当渐近线确不能，每条双曲线对应惟一一组渐近线，但当渐近线确定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在x x轴上，也可能在轴上，也可能在y y轴轴上上. .(2)(2)离心率与渐近线的倾斜角之间存在怎样的关系离心率与渐近线的倾斜角之间存在怎样的关系? ?提示：提示：不妨设双曲线的方程为不妨设双曲线的方程为 (a(a0,b0,b0)0)，一条渐近线，一条渐近线l方程方程: : 其倾斜角为其倾斜角为,过过F F2 2(c,0
10、)(c,0)作作F F2 2MMl于于M M，则，则 所以所以OM=a,OM=a,因此因此【即时练【即时练】求双曲线求双曲线9x9x2 2-4y-4y2 2=36=36的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程渐近线方程. .【解析【解析】将已知的方程先化为标准式，即由将已知的方程先化为标准式，即由9x9x2 2-4y-4y2 2=36=36得得 可知可知a=2,b=3,a=2,b=3,利用利用a,c,ba,c,b的关系，得到的关系，得到 然后然后得到实轴长得到实轴长2a=42a=4、虚轴长、虚轴长2b=62b=6、焦点坐标、焦点坐标 离离心率心率 渐近
11、线方程渐近线方程 【题型示范【题型示范】类型一类型一 利用几何性质求双曲线的标准方程利用几何性质求双曲线的标准方程【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013广东高考广东高考) )已知中心在原点的双曲线已知中心在原点的双曲线C C的右焦点为的右焦点为F(3F(3，0)0)，离心率等于，离心率等于 则则C C的方程是的方程是( )( )(2)(2014(2)(2014长春高二检测长春高二检测) )已知双曲线过点已知双曲线过点 它的渐它的渐近线方程为近线方程为求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程; ;设设F F1 1和和F F2 2是该双曲线的左、右焦点，点是该双曲线的左、右焦点，点P P
12、在双曲线上，且在双曲线上，且|PF|PF1 1| |PF|PF2 2|=55,|=55,求求F F1 1PFPF2 2的余弦值的余弦值. .【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)由双曲线的离心率，能得到什么等量关由双曲线的离心率，能得到什么等量关系系? ?2.2.题题(2)(2)由渐近线方程求标准方程的一般思路是什么？由渐近线方程求标准方程的一般思路是什么？由条件由条件|PF|PF1 1| |PF|PF2 2|=55|=55可想到什么可想到什么? ?【探究提示【探究提示】1.1.已知离心率已知离心率 的值，可根据的值，可根据 得出得出a a的值，的值，进而得出进而得出b b的值的值.
13、.2.2.可分焦点在可分焦点在x x轴上，轴上，y y轴上分别设出方程，再由渐近线方程轴上分别设出方程，再由渐近线方程建立建立a,ba,b的关系求解的关系求解, ,或利用共渐近线的双曲线方程求解或利用共渐近线的双曲线方程求解. .一般考虑双曲线的定义一般考虑双曲线的定义,|PF,|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a.|=2a.【自主解答【自主解答】(1)(1)选选B.B.设设C C的方程为的方程为 (a0,b0)(a0,b0)，由，由题意知题意知 则则a=2a=2，b b2 2=c=c2 2a a2 2=5=5，所求方程为，所求方程为 (2)(2)方法一：当焦点在方法一：当焦点在x
14、x轴上时，设双曲线的标准方程为轴上时，设双曲线的标准方程为 (a(a0,b0,b0),0),由题意得由题意得 解得解得a a2 2=9,b=9,b2 2=16.=16.所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为当焦点在当焦点在y y轴上时，设双曲线的标准方程为轴上时，设双曲线的标准方程为: : (a (a0,b0,b0),0),由题意得由题意得: : 无解无解. .故双曲线的方程为故双曲线的方程为方法二：因为双曲线的渐近线方程为方法二：因为双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的方程为设所求双曲线的方程为: : 由于由于 在该双曲在该双曲线上，代入方程解得线上，代入方程解得m=1m=1，所以所求双曲线方程
15、为，所以所求双曲线方程为: :由双曲线定义由双曲线定义:|PF:|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=6,|=6,在在F F1 1PFPF2 2中，由余弦定理中，由余弦定理得得: :所以所以【方法技巧【方法技巧】巧设双曲线方程的六种常用方法巧设双曲线方程的六种常用方法(1)(1)焦点在焦点在x x轴上的双曲线的标准方程可设为轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0,b0).(a0,b0).(2)(2)焦点在焦点在y y轴上的双曲线的标准方程可设为轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0,b0).(a0,b0).(3)(3)与双曲线与双曲线 共焦点的方程可设为共焦点的方程可设为 (0,-b(0,-b
16、2 2a0,b0)C: (a0,b0)的两个焦点，的两个焦点，P P是是C C上一点，若上一点，若|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=6a,|=6a,且且PFPF1 1F F2 2的最的最小内角为小内角为3030，则，则C C的离心率为的离心率为_._.【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)由渐近线方程如何求离心率由渐近线方程如何求离心率? ?2.2.题题(2)(2)条件条件|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=6a|=6a的作用是什么的作用是什么? ?【探究提示【探究提示】1.1.利用渐近线方程可得利用渐近线方程可得a,ba,b之间的关系之间的关系, ,再由再由
17、c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,可得可得a,ca,c之间的关系之间的关系, ,即求得即求得e e的值的值. .2.2.利用定义得利用定义得|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a,|=2a,借助于条件借助于条件|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=6a,|=6a,可可求得求得|PF|PF1 1|,|PF|,|PF2 2| |的值的值. .【自主解答【自主解答】(1)(1)由已知得由已知得所以所以 故故即即 所以所以答案：答案：(2)(2)不妨设不妨设|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |，则，则|PF|PF1 1| |PF|PF2 2|=2a,|=2a,
18、又又|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=6a,|=6a,得得|PF|PF1 1|=4a|=4a，|PF|PF2 2|=2a|=2a，|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c，则在，则在PFPF1 1F F2 2中，中，PFPF1 1F F2 2= =3030，由余弦定理得，由余弦定理得(2a)(2a)2 2=(4a)=(4a)2 2+(2c)+(2c)2 22(4a)(2c)cos 302(4a)(2c)cos 30，整理得整理得 所以所以答案答案: :【延伸探究【延伸探究】题题(2)(2)条件条件“若若|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=6a,|=6a,且且PFPF
19、1 1F F2 2的最小的最小内角为内角为3030”改为改为“若若PFPF1 1PFPF2 2，且，且PFPF1 1F F2 2=30=30”结果如何结果如何? ?【解析【解析】在直角三角形在直角三角形PFPF1 1F F2 2中，由题设可知中，由题设可知:|F:|F1 1F F2 2|=2c,|PF|=2c,|PF2 2| |=c,|PF=c,|PF1 1|= |= 又又|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a,|=2a,所以所以 故故答案：答案：【方法技巧【方法技巧】求双曲线离心率的两种方法求双曲线离心率的两种方法(1)(1)直接法直接法: :若已知若已知a,ca,c可直接利用
20、可直接利用 求解求解, ,若已知若已知a,ba,b，可利，可利用用 求解求解. .(2)(2)方程法方程法: :若无法求出若无法求出a,b,ca,b,c的具体值，但根据条件可确定的具体值，但根据条件可确定a,a,b,cb,c之间的关系，可通过之间的关系，可通过b b2 2=c=c2 2-a-a2 2, ,将关系式转化为关于将关系式转化为关于a,ca,c的的齐次方程，借助于齐次方程，借助于 转化为关于转化为关于e e的的n n次方程求解次方程求解. . 【变式训练【变式训练】（20142014四川高考）双曲线四川高考）双曲线 -y-y2 2=1=1的离心率的离心率等于等于_._.【解析【解析】答
21、案：答案：【补偿训练【补偿训练】已知双曲线已知双曲线 (a(a0,b0,b0)0)的左、右焦点的左、右焦点分别为分别为F F1 1,F,F2 2,P,P是双曲线上一点，且是双曲线上一点，且PFPF1 1PFPF2 2,|PF,|PF1 1| |PF|PF2 2|=|=4ab4ab，则双曲线的离心率是，则双曲线的离心率是_._.【解析【解析】因为因为PFPF1 1PFPF2 2, ,所以由所以由得得4c4c2 2-4a-4a2 2=8ab,=8ab,所以所以b=2a,cb=2a,c2 2=5a=5a2 2, ,故故答案：答案：类型三类型三 双曲线的渐近线及应用双曲线的渐近线及应用【典例【典例3
22、3】(1)(2014(1)(2014双鸭山高二检测双鸭山高二检测) )若双曲线若双曲线 的一条渐近的一条渐近线被圆线被圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4=4所截得的弦长为所截得的弦长为2,2,则该双曲线的实轴长为则该双曲线的实轴长为 ( )( )A.1 B.2 A.1 B.2 C.3 C.3 D.6 D.6(2)(2014(2)(2014长春高二检测长春高二检测) )若双曲线若双曲线 的渐近线的渐近线l方程方程为为 则双曲线焦点则双曲线焦点F F到渐近线到渐近线l的距离为的距离为( )( )【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)由双曲线的标准方程如何得出渐近线方由双曲线的标
23、准方程如何得出渐近线方程程? ?2.2.题题(2)(2)中点到直线的距离公式是什么？中点到直线的距离公式是什么？【探究提示【探究提示】1.1.可令标准方程中的可令标准方程中的1 1为为0 0，然后因式分解即可得，然后因式分解即可得出渐近线方程出渐近线方程. .2.2.点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线Ax+By+CAx+By+C=0=0的距离的距离【自主解答【自主解答】(1)(1)选选B.B.由双曲线由双曲线 得渐近线方程为得渐近线方程为 不妨取渐近线不妨取渐近线 即即 圆圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4=4的圆心为的圆心为(2,0),(2,0),半径半径r=
24、2.r=2.所以有所以有: : 解得解得a=1.a=1.故实轴长为故实轴长为2.2.(2)(2)选选D.D.由双曲线由双曲线得渐近线方程为得渐近线方程为 所以所以 即即m=5,m=5,所以双曲线方程为所以双曲线方程为因此因此c c2 2=9+5=14, =9+5=14, 不妨取焦点不妨取焦点 渐近线方程渐近线方程l: :即即 所以所以F F到到l的距离的距离【方法技巧【方法技巧】求双曲线渐近线方程的两种方法求双曲线渐近线方程的两种方法【变式训练【变式训练】(2014(2014邢台高二检测邢台高二检测) )以双曲线以双曲线 的右的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是焦点为圆心，且与其渐近线
25、相切的圆的方程是( )( )A.xA.x2 2+y+y2 2-10x+9=0 B.x-10x+9=0 B.x2 2+y+y2 2-10x+16=0-10x+16=0C.xC.x2 2+y+y2 2+10x+16=0 D.x+10x+16=0 D.x2 2+y+y2 2+10x+9=0+10x+9=0【解析【解析】选选A.A.由双曲线由双曲线得双曲线的一条渐近线为得双曲线的一条渐近线为 即即4x-3y=0,4x-3y=0,a a2 2=9,b=9,b2 2=16,=16,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=25,c=5,=25,c=5,右焦点为右焦点为(5,0)(5,0)，右焦点到
26、渐近线的距离为，右焦点到渐近线的距离为: :所以圆的方程为所以圆的方程为(x-5)(x-5)2 2+y+y2 2=4=42 2, ,即即x x2 2+y+y2 2-10x+9=0.-10x+9=0.【补偿训练【补偿训练】已知双曲线已知双曲线C: C: 的焦距为的焦距为10,10,点点P(2,1)P(2,1)在在C C的渐近线上，则的渐近线上，则C C的方程为的方程为( )( )【解析【解析】选选A.A.设双曲线设双曲线C: C: 的半焦距为的半焦距为c,c,则则2c=10,c=5.2c=10,c=5.又因为又因为C C的渐近线为的渐近线为 点点P(2,1)P(2,1)在在C C的渐近线上的渐近
27、线上, ,所以所以 即即a=2b,a=2b,又又c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,所以所以所以所以C C的方程为的方程为 故选故选A.A. 【易错误区【易错误区】忽视双曲线焦点位置致误忽视双曲线焦点位置致误 【典例【典例】已知双曲线已知双曲线 的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为则该双曲线的离心率则该双曲线的离心率e e为为_._.【解析【解析】当双曲线的焦点在当双曲线的焦点在x x轴上时，轴上时，因为渐近线方程为因为渐近线方程为 所以所以所以离心率所以离心率当双曲线的焦点在当双曲线的焦点在y y轴上时，轴上时，因为渐近线方程为因为渐近线方程为 所以所以 这时这时所以离心率所以离心
28、率故双曲线的离心率为故双曲线的离心率为 或或答案：答案： 或或【常见误区【常见误区】错解错解错因剖析错因剖析解答时解答时, ,若认为焦点在若认为焦点在x x轴上轴上, ,即忽视阴影处焦点在即忽视阴影处焦点在y y轴上的情况轴上的情况, ,导致答导致答案不全的错误案不全的错误【防范措施【防范措施】1.1.条件要考虑全面条件要考虑全面对题目条件的分析要透彻、全面对题目条件的分析要透彻、全面, ,一般情况下若只给出渐近线一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件方程、焦距、离心率等条件, ,要注意焦点位置的讨论要注意焦点位置的讨论, ,如本例中如本例中分焦点在分焦点在x x轴上或轴上或y y轴
29、上两种情况讨论轴上两种情况讨论. .2.2.基础知识的掌握要牢固基础知识的掌握要牢固对基本知识的学习要深入、全面对基本知识的学习要深入、全面, ,遇到什么样的条件应如何考遇到什么样的条件应如何考虑虑, ,要加强训练要加强训练. .如本例中如本例中, ,应熟悉渐近线方程及离心率与应熟悉渐近线方程及离心率与a,b,ca,b,c之间的关系之间的关系. .【类题试解【类题试解】已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近线方程为5x5x4y=04y=0，实轴长为，实轴长为8,8,则双曲线的标准方程为则双曲线的标准方程为_._.【解析【解析】(1)(1)若焦点在若焦点在x x轴上，设双曲线方程为轴上，设双曲线方程为 (a(a0,0,b b0)0)，则，则 所以所以a=4,b=5,a=4,b=5,所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为(2)(2)若焦点在若焦点在y y轴上，设双曲线的标准方程为轴上，设双曲线的标准方程为 (a(a0,b0,b0),0),则则 所以所以 所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为答案：答案： 或或
