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1、第三节第三节 函数项级数函数项级数.1.1.定义定义: :称称为函数项级数为函数项级数注：当时，注：当时，是常数项级数是常数项级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念.2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :收敛点的全体收敛点的全体收敛域：收敛域：发散点的全体发散点的全体发散域：发散域：.(x在收敛域上在收敛域上)3.3.和函数和函数: :存在函数存在函数使使称称 为函数项级数的和函数为函数项级数的和函数.1.1.定义定义: :2.2.收敛性收敛性: :和函数和函数二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性称称或或为幂级数为幂级数. .将各项添加绝对值，利用正项级数的比值判别法，将各项添加
2、绝对值，利用正项级数的比值判别法，设设当当 时，解出的时，解出的 的值为原级数的的值为原级数的收敛点。收敛点。 （1）当当 时，解出的时，解出的 的值为原级数的的值为原级数的发散点。发散点。 （2）当当 时，解出的时，解出的 的值使原级数可的值使原级数可能收敛，可能发散，这样的点单独讨论。能收敛，可能发散，这样的点单独讨论。 （3），求它的收敛域。，求它的收敛域。对于对于.例例 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域解：解：有收敛域有收敛域.解：解：当当 时，原级数收敛。时，原级数收敛。当当 时，原级数发散。时，原级数发散。当当 时，时，发散发散收敛收敛有收敛域有收敛域.因而，只要因而，只要
3、 时原级数收敛。时原级数收敛。解：解：.注注1：的敛散性要单独讨论。的敛散性要单独讨论。注注2：注注3：称为收敛半径称为收敛半径可以为可以为 ，可以为，可以为称收敛区间称收敛区间.幂级数幂级数 的收敛域是一个以原点为中心的的收敛域是一个以原点为中心的对称区间，对称区间，.解：解：发散发散发散发散故收敛区间为故收敛区间为.例：求例：求 的收敛半径及收敛区间的收敛半径及收敛区间解：解：收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为 .例：求例：求 的收敛半径及收敛区间的收敛半径及收敛区间收敛收敛发散发散故收敛区间故收敛区间.求下列幂级数的和函数求下列幂级数的和函数.性质性质1:1:三、幂级数的运算三、幂级数的运算 .性质性质2:2:性质性质3:3:(收敛半径不变收敛半径不变)(收敛半径不变收敛半径不变)性质性质4:4:.解解: 设设例例 求级数求级数的和函数的和函数.解解: 设设例例 求级数求级数的和函数的和函数.两边积分两边积分两边求导两边求导.
