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1、2.3 2.3 延延续续型随机型随机变变量量一一. . 延延续型随机型随机变量的概念与性量的概念与性质 在在线线段上随机投点的位置段上随机投点的位置, ,温度、气温度、气压压、电压电压、电电流等物理量等等流等物理量等等, , 实际实际上可以取到上可以取到某个区某个区间间的任何的任何实实数数值值 对这对这种种类类型的随机型的随机变变量量, , 不能象离散型不能象离散型随机随机变变量那量那样样, , 以指定它取每个以指定它取每个值值概率的方概率的方式式给给出其概率分布出其概率分布, , 而是而是经过给经过给出所出所谓谓“概概率密度函数的方式，从而得到延率密度函数的方式，从而得到延续续型随机型随机变
2、变量的概念量的概念设设X X 是随机变量是随机变量, ,假设存在非负函数假设存在非负函数使得对任何满足使得对任何满足 的的 有有定定义 3.1 3.1 那么称那么称 X X 是延是延续续型随机型随机变变量量, ,称称 是是 X X 的概率密度函数的概率密度函数, ,简简称称为为概率密度或密度概率密度或密度 故故 X的密度的密度 f (x) 在在 x 这一点的值，恰好这一点的值，恰好是是X 落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，假设把概率了解为质这里，假设把概率了解为质量，量，f (x) 相当于线密度相当于线密度 假设假设x是是 f (x) 的延续
3、点，那么的延续点，那么=f (x)概率密度的意概率密度的意义 要留意的是，密度函数要留意的是，密度函数 f (x)在某点在某点处处a 的高度，并不反映的高度，并不反映 X 取取值值的概率的概率.但是，但是，这这个高度越大，那么个高度越大，那么 X 取取 a 附近的附近的值值的概率就的概率就越大越大. 也可以也可以说说，在某点密度曲，在某点密度曲线线的高度反的高度反映了概率集中在映了概率集中在该该点附近的程度点附近的程度 f (x)xo假假设不不计高高阶无无穷小，有小，有 它表示随机变量它表示随机变量 X X 取值于取值于 的概率近似等于的概率近似等于 在延续型随机变量实际中所起的作用与在延续型
4、随机变量实际中所起的作用与 在离散型随机变量实际中所起的作用相类似在离散型随机变量实际中所起的作用相类似 由定由定义义知道，概率密度知道，概率密度f (x) f (x) 具有以下性具有以下性质质f (x)0x1概率密度性概率密度性质这两条性质是断定一个这两条性质是断定一个函数函数 f (x) f (x)能否为某能否为某 X X的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件这是由于是由于注注: : 由上述性由上述性质可知，可知，对于延于延续型随机型随机变量，量， 我我们关关怀它在某一点取它在某一点取值的的问题没有太没有太 大的意大的意义, , 我我们所关所关怀的是它在某一区的是它在某一区 间上
5、取上取值的的问题对数集对数集A (A (严厉意义下要求可测性严厉意义下要求可测性), ), 例例1 1 设 X X 是延是延续型随机型随机变量，其密度函数量，其密度函数为解解: : 由密度函数的性由密度函数的性质求：求： 常数常数 c; c;例例1 1续例例1 1续例例2 2 某某电子元件的寿命子元件的寿命单位：小位：小时是以是以为密度函数的延密度函数的延续型随机型随机变量求量求 5 5个同个同类型型的元件在运用的前的元件在运用的前 150 150 小小时内恰有内恰有2 2 个需求个需求改改换的概率的概率解解: : 设A = A = 某元件在运用的前某元件在运用的前 150 150 小小时内内
6、 需求改需求改换 例例2 2续检验 5 5 个元件的运用寿命可以看作是个元件的运用寿命可以看作是在做一个在做一个5 5重重贝努里努里实验B = 5 B = 5 个元件中恰有个元件中恰有 2 2 个的运用寿命个的运用寿命 不超越不超越150150小小时 二二. . 几种常用的延几种常用的延续型随机型随机变量量1.1.均匀分布均匀分布(Uniform (Uniform 分布分布) ) 那么称那么称 X X 服从区间服从区间 上的均匀分布上的均匀分布, ,对对 , , 假设假设 X X 的密度是的密度是 记作记作均匀分布密度函数演示均匀分布密度函数演示 X X 取值在区间取值在区间(a , b)(a
7、 , b)上，上， 并且取值并且取值在在(a , b) (a , b) 中恣意小区间内的概率与这个中恣意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，小区间的长度成正比， 那么那么 X X 具有具有(a , b)(a , b)上的均匀分布上的均匀分布均匀分布的概率背景均匀分布的概率背景XXabxll0即即 在区在区间间 a , b 上服从均匀分布的上服从均匀分布的随机随机变变量量 X ，落在区，落在区间间 a , b 中恣意中恣意等等长长度的子区度的子区间间内的能内的能够够性是一性是一样样的的均匀分布的意均匀分布的意义说 明明1. 1. 类类似地，我似地，我们们可以定可以定义义区区间间还可以将密度还
8、可以将密度 写成写成 2. 2. 采用采用 的示性函数的示性函数 上的均匀分布上的均匀分布 例例3 3 设设公共汽公共汽车车站从上午站从上午7 7时时起每隔起每隔1515分分钟钟来一班来一班车车, ,假假设设某乘客到达此站的某乘客到达此站的时间时间是是 7:00 7:00 到到7:307:30之之间间的均匀随机的均匀随机变变量量试试求求该该乘客候乘客候车时间车时间不超越不超越5 5分分钟钟的概率的概率解解: : 设该乘客于乘客于7 7时X X 分到达此站分到达此站那么那么 X X 服从区服从区间 0 , 30 0 , 30 上的均匀分上的均匀分布布例例3 3续令：令：B = B = 候候车时间
9、不超越不超越5 5分分钟 2.2.指数分布指数分布(Exponential (Exponential 分布分布) ) 对正常数对正常数 , , 假设假设 X X 的密度是的密度是 那么称那么称X 服从参数服从参数为为 的指数分布的指数分布 记作记作 指数分布的另一种等价定指数分布的另一种等价定义指数分布密度指数分布密度函数函数图形演示形演示例例4 4 设时间设时间 内有内有 粒子放射出来粒子放射出来, , 设X X 为第一个粒子第一个粒子发射出来的射出来的时辰，那么辰，那么 对任何对任何 有有 即即X X 的概率密度为的概率密度为 例例4 4续 正正态态分布在十九世分布在十九世纪纪前叶前叶由高
10、斯由高斯(Gauss)(Gauss)加以推行，加以推行， 所所以通常称以通常称为为高斯分布高斯分布德莫佛德莫佛 德莫佛德莫佛 De Moivre)De Moivre)最早最早发发现现了二了二项项分布的一个近似公式，分布的一个近似公式，这这一公式被以一公式被以为为是正是正态态分布的分布的初次露面初次露面3. 3. 正态分布正态分布(Normal (Normal 分布分布) )正正态分布高斯分布分布高斯分布设设 是常数是常数, , 是正常数是正常数. .假设假设 X 的密度是的密度是那么称那么称X X 服从参数为服从参数为 的正态分布的正态分布, , 记记作作 正面图案：德国数学家、物理学正面图案
11、：德国数学家、物理学家和天文学家高斯头像家和天文学家高斯头像正正态分布密度函数演示分布密度函数演示 正正态态分布是运用最广泛、最重要的一种分布是运用最广泛、最重要的一种延延续续型分布型分布正正态分布的概率背景与运用分布的概率背景与运用例如例如:某地的年降雨量某地的年降雨量; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等; 丈量丈量误差差, 如射如射击目的的程度或垂直偏向目的的程度或垂直偏向; 信号噪声信号噪声, 等等等等 都服从或近似服从正都服从或近似服从正态分布分布 这这是是用用上上海海19991999年年年年降降雨雨量量的的数数据据画出的画出的频频率直方率直方图图 从直方从
12、直方图图可以初步看出，年降雨量可以初步看出，年降雨量近似服从正近似服从正态态分布分布年降雨量年降雨量问题 这这是用某大学男大学生的身高的是用某大学男大学生的身高的数据画出的数据画出的频频率直方率直方图图红线是是拟合的正合的正态密度曲密度曲线 可可见见，某大学男大学生的身高，某大学男大学生的身高服从正服从正态态分布分布 身高身高问题 此此外外，人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身体体的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反映了服从正反映了服从正态态分布的随机分布的随机变变量的
13、特点量的特点身高身高问题续正正态态分布是自然界及工程技分布是自然界及工程技术术中最常中最常见见的分布之一，大量的随机景象都是服从或近的分布之一，大量的随机景象都是服从或近似服从正似服从正态态分布的可以分布的可以证证明，假明，假设设一个随一个随机目的遭到机目的遭到诸诸多要素的影响，但其中任何一多要素的影响，但其中任何一个要素都不起决个要素都不起决议议性作用，那么性作用，那么该该随机目的随机目的一定服从或近似服从正一定服从或近似服从正态态分布分布正正态态分布有分布有许许多良好的性多良好的性质质，这这些性些性质质是其它是其它许许多分布所不具多分布所不具备备的的正正态态分布可以作分布可以作为许为许多分
14、布的近似分布多分布的近似分布说 明明 有些分布有些分布 ( (如二如二项项分布、泊松分布分布、泊松分布) )的极的极限分布是正限分布是正态态分布分布. .所以所以, ,无无论论在在实际实际中中, ,还还是是在在实际实际上上, ,正正态态分布是概率分布是概率论论中最重要的一种中最重要的一种分布分布二二项分布向正分布向正态分布的分布的转换二二项分布向正分布向正态分布的分布的转换续二二项分布向正分布向正态分布的分布的转换续二二项分布向正分布向正态分布的分布的转换续正正态分布密度函数的几何特征分布密度函数的几何特征1曲线关于曲线关于 对称对称2当当 时，时， 获得最大值获得最大值 3当当 时，时，4曲
15、线在曲线在 处有拐点处有拐点5曲曲线以以 x 轴为渐近近线6当固定当固定 , 改动改动 的大小时，的大小时， 图形的外形不变，只是沿着图形的外形不变，只是沿着 x 轴作轴作 平移变换平移变换7当固定当固定 , 改动改动 的大小时，的大小时， 图形的对称轴不变，而外形在改动图形的对称轴不变，而外形在改动 越小，图形越高越瘦；越小，图形越高越瘦； 越大，图形越矮越胖越大，图形越矮越胖当当 , , 时，时， X 的密度的密度那么称那么称 X X 服从服从规范正范正态分布，分布，记记作作 规范正态分布规范正态分布规范正范正态分布密度函数演示分布密度函数演示4. Gamma 4. Gamma 分布分布设
16、设 是正常数是正常数, , 由积分由积分 定定义. . 假假设 X X 的密度是的密度是那么称那么称X服从参数服从参数 的的Gamma分布分布, 记作记作这正是参数为这正是参数为 的指数分布的指数分布说 明明1 1、当、当 时，时， 即即 此此时 我们称此分布为自在度为我们称此分布为自在度为 n n 的的 分布，记作分布，记作 . . 它是数理统计学中它是数理统计学中重要的分布之一重要的分布之一 2 2、假设、假设 ， ，其中，其中 n n 为为 自然数，那么有自然数，那么有2.4 2.4 概率分布函数概率分布函数( (一一) )一概率分布函数的概念与性一概率分布函数的概念与性质 对于随机于随
17、机变量量 X, 我我们不不仅要知道要知道 X取哪些取哪些值, 还要知道要知道 X 取取这些些值的概率的概率 ; 而且更重要的是想而且更重要的是想知道知道 X 在恣意有限区在恣意有限区间内取内取值的概率的概率假假设 X 是离散型随机是离散型随机变量，那么量，那么 计算事件计算事件 的概率的概率例如例如分析分析假假设 X 是延是延续型随机型随机变量，那么量，那么 更普通地，无更普通地，无论论是离散型是离散型还还是延是延续续型，型，以致其它以致其它类类型的随机型的随机变变量量 对事件对事件 的概率，都有的概率，都有 为为了了对对不同不同类类型的随机型的随机变变量量给给出一种出一种一致的描画方法，我一
18、致的描画方法，我们们引引进进分布函数的概分布函数的概念念现实上，假上，假设我我们定定义 那么上述概率那么上述概率分布分布函数函数 即即 的概率的概率这样的这样的 可以协助我们计算可以协助我们计算 显然，我然，我们看到看到下面下面给出概率分布函数的定出概率分布函数的定义定定义 4.1 4.1对随机变量X,称x的函数为为 X 的概率分布函数的概率分布函数, 简称为分布函数简称为分布函数 0 0xxX分布函数的概念分布函数的概念说 明明 1 1、分布函数是一个普通的函数，正是、分布函数是一个普通的函数，正是经过经过它，我它，我们们可以用数学分析的工具来研可以用数学分析的工具来研讨讨随机随机变变量量
19、2、 假设将假设将 X 看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数那么分布函数 F (x) 的值就表示的值就表示 X 落在区间落在区间 的概率的概率3 3、对对于恣意的于恣意的实实数数 x1 , x2 (x1 x2) x1 , x2 (x1 x2) ，有，有 x1 x2 x xXo o 因此，只需知道了随机因此，只需知道了随机变变量量X的分布函数，的分布函数，它的它的统计统计特性就可以得到全面的描画特性就可以得到全面的描画分布函数的性分布函数的性质分布函数分布函数 F (x) F (x) 具有以下根本性具有以下根本性质10 F (x) 10 F (x) 是一个单调不减的函数是
20、一个单调不减的函数 即即202030 30 右延续右延续 注注 : 假假设设一个函数具有上述性一个函数具有上述性质质，那么，那么 一定是某个随机一定是某个随机变变量量 X 的分布函数的分布函数. 也就是也就是说说，上述三条性，上述三条性质质是是鉴别鉴别一个一个 函数能否是某随机函数能否是某随机变变量的分布函数的量的分布函数的 充分必要条件充分必要条件试阐明试阐明 F (x) F (x) 能否是某个随机变量的分布函数能否是某个随机变量的分布函数例例1 1 设设 解解: : 留意到函数留意到函数 F (x) F (x) 在在 上下降，上下降， 不满足性质不满足性质(1)(1)，故，故F (x)F
21、(x)不能是分布函数不能是分布函数不满足性质不满足性质(2)(2)， 可见可见 F (x) F (x) 也不能是也不能是分布函数分布函数. .或者或者用分布函数用分布函数计算某些事件的概率算某些事件的概率前往主目录前往主目录X 的分布列为的分布列为 解解:例例2 2 将一枚硬币抛掷三次，将一枚硬币抛掷三次，X X表示三次中正面表示三次中正面出现的次数，求出现的次数，求 X X 的分布列及分布函数；并求的分布列及分布函数；并求下面求下面求 X X 的分布函数的分布函数二离散型随机二离散型随机变量的分布函数量的分布函数当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，例例2 2续当当 时，时，当当 时，时
22、，例例2 2续 0 1 2 3 x1分布函数分布函数F (x)F (x)的的图形形所以所以例例2 2续下面利用下面利用 F (x) F (x) 求概率求概率例例2 2续设离散型随机离散型随机变量量 X X 的分布列的分布列为P X = xk = pk , k = 1 , 2 , 3 , 那么那么分布列与分布函数的关系分布列与分布函数的关系分布函数分布函数分布列分布列分布列与分布函数的关系分布列与分布函数的关系图示如下示如下PX = xk= pk有腾跃，其腾跃值恰好等于有腾跃，其腾跃值恰好等于 分布函数分布函数F(x) 的图形是阶梯形、右延续的图形是阶梯形、右延续的曲线；在的曲线；在 处处 X = xk , k = 1 , 2 , 3 , 作业作业 2.3; 2.18; 2.27; 2.29
