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1、主要内容主要内容微分的定微分的定义；微分的几何意微分的几何意义；求函数的微分；求函数的微分；微分在近似微分在近似计算中的运用算中的运用.一、一、问题的提出的提出实例例: :正方形金属薄片受正方形金属薄片受热后面后面积的改的改动量量. .面面积函数函数再如再如, ,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题: :这个个线性函数性函数( (改改动量的主要部分量的主要部分) )能能否一切函数的改否一切函数的改动量都有可微的条件量都有可微的条件? ?它是什么微分的定它是什么微分的定义? ?如何求如何求? ?二、微分的定二、微分的定义是什么？是什么？定定义( (微分的本微分的本质) )定定
2、义的几点的几点阐明：明：(定理定理)三、可微的条件三、可微的条件( (什么样的函数可微？什么样的函数可微？) )定理定理证(1) 必要性必要性(2) 充分性充分性例例1 1解解什么意思？什么意思？自自变量的增量就是自量的增量就是自变量的微分：量的微分：函数的微分可以写成函数的微分可以写成: :该例例阐明明: :即函数即函数 f (x) 在点在点 x 处的的导数等于函数的数等于函数的微分微分 d y 与自与自变量的微分量的微分 d x 的商的商, 故故导数数也也可称可称为微商微商.例例2 2解解例例3 3解解练 习解解四、微分的几何意义四、微分的几何意义MNT几何意几何意义:(如如图) P xy
3、oMN.f (x)dy x 微分是函数的部分微分是函数的部分线性化性化.用切用切线增量近似曲增量近似曲线增量增量dydy =在在图上是哪条上是哪条线段？段？=tan x微分的几何意义微分的几何意义即：即：. y问题：何：何时dy y ?xyody x 用切用切线增量近增量近似曲似曲线增量增量dy y 微分的几何意义微分的几何意义.dy y微分是函数的部分微分是函数的部分线性化性化哪条哪条线段是段是dy ？.导数与微分的区别导数与微分的区别:五、微分的求法如何求五、微分的求法如何求? ?求法求法: : 计算函数的算函数的导数数, , 乘以自乘以自变量的微分量的微分. .1.根本初等函数的微分公式
4、根本初等函数的微分公式2. 2. 函数和、差、函数和、差、积、商的微分法那么、商的微分法那么3.3.复合函数的微分法那么复合函数的微分法那么 设设 ，那么复合函数，那么复合函数 的微分为的微分为 即即六、微分方式的不六、微分方式的不变性性结论：微分方式的不变性微分方式的不变性 我我们发现 y = f (u), y = f (u),当当 u u 为中中间变量量时的微分方式与的微分方式与 u u 为自自变量量时的微分的形的微分的形式式一一样 , ,均均为 dy dy = = f f (u) (u) du du , , 这种种性性质称称为函数的一函数的一阶微分方式不微分方式不变性性 . .例例4 4
5、解一解一利用微分方式的不利用微分方式的不变性性解二解二利用微分与利用微分与导数的关系数的关系例例5 5解一解一解二解二练 习答答 案案例例6 6解解在以下等式左端的括号中填入适当的函在以下等式左端的括号中填入适当的函数数,使等式成立使等式成立.练习解解在以下等式左端的括号中填入适当的函在以下等式左端的括号中填入适当的函数数,使等式成立使等式成立.七、七、 微分在近似微分在近似计算中的运用算中的运用 在在处置置实验数据数据时，经常会遇到一常会遇到一些比些比较难算公式。假算公式。假设直接用公式直接用公式进展展计算，那是很算，那是很费力的。利用微分有力的。利用微分有时可可以把有些复以把有些复杂的的计
6、算公式用算公式用简单的近似的近似公式替代。公式替代。1 1、计算函数增量的近似算函数增量的近似值例例7 7分析分析 而而这个运算量是很大的，于是我个运算量是很大的，于是我们想到用微分想到用微分这个个线形主部来近似取代形主部来近似取代变化量。化量。解解练 习解解 在在计算函数算函数值时, ,经常会遇到一些比常会遇到一些比较难算的函数。假算的函数。假设直接用公式直接用公式进展展计算，那是很算，那是很费力的。利用微分有力的。利用微分有时可以可以把把难算的函数用容易算的点的函数算的函数用容易算的点的函数值求求其近似其近似值替代替代 。2 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值 三角函数的函数三角函数的函数值，可以用在特殊点，可以用在特殊点处的函数的函数值求微分近似替代。求微分近似替代。例例8 8解解练 习解解常用近似公式常用近似公式证明明例例9 9解解练 习解解作业作业习题习题2-5 12-5 1、2 2 、3 3、4 4
