第二节求导法则

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1、第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章 思路思路:( 构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和

2、例题 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则故结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,(2)证证: 设则有故结论成立.推论推论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )例例1. 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)证证: 设则有故结论成立.推论推论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )例例2. 求证证证: 类似可证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知

3、因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设则类似可求得利用, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设则特别当时,小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,证证:在点 u 可导, 故（当 时 )故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求下列导数:解解: (1)(2)(3)说明说明: 类似可得

4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设求解解:思考思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同练习练习: 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设解解:记则(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 P94例例16. 的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则( C为常数 )3. 复合函数求导法则4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明说明: 最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍

5、为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求解解:例例8. 设解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解:关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 设求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见 P94)注意注意: 1)2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .1.思考与练习思考与练习对吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设其中在因故阅读 L.P 51 例1 正确解法:时, 下列做法是否正确?在求处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束

6、 3. 求下列函数的导数解解: (1)(2)或机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设求解解: 方法方法1 利用导数定义.方法方法2 利用求导公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P 96 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ;8 (4) , (5) , (8) , (10) ; 10;11 (4) , (8) ; 12 (3) , (8) , (10) 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 设解：解：2 . 设解解:其中可导, 求求机动 目录 上页 下页 返回 结束