《高数课件30空间几何2数量积与向量积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数课件30空间几何2数量积与向量积（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数量积与向量积数量积与向量积启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积. .数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数若若 、 为数为数：证明证明（1）、（）、（3）由定义可
2、证）由定义可证余下证明（余下证明（2） 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明仿此证明设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为解解证证例例3应用向量证明应用向量证明CauchySchwarz不等式不等式证证记记则则例例4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角应用向量证明直径所对的圆周角是直角证证如图所示如图所示xyoABC圆的方程：圆的方程：设设 A 点的坐标为点的坐标为则则例例5设设是三个单位向量是三个单位向量始于同一点始于同一点O且且证
3、明它们终点的连线证明它们终点的连线构成一等边三角形构成一等边三角形证一证一ABCO又又由由同理同理故它们终点的连线构成等边三角形故它们终点的连线构成等边三角形证二证二由由得得又又同理同理故由余弦定理，有故由余弦定理，有故它们终点的连线构成等边三角形故它们终点的连线构成等边三角形实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数为数证证/设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可借助于三阶行列式表示向量积还
4、可借助于三阶行列式表示由上式可推出由上式可推出/例如，例如，补充补充解解解解三角形三角形ABC的面积为的面积为解解定义定义设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：轮换对称性轮换对称性证明证明由由共面共面设设由混合积的几何意义知由混合积的几何意义知得得共面共面解解例例9解解式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.例例11设设是四个已知向量，其中是四个已知向量，其中不共面，试利用矢量运算将不共面，试利用矢量运算将 表示为表示为 的线性组合的线
5、性组合分析分析依题意依题意其中其中 x , y , z 待定待定为求得为求得 x ，须消去，须消去 y , z 由上式可见，若能用一个与由上式可见，若能用一个与都垂直的都垂直的向量，则向量，则y , z 可同时消去，自然想到可同时消去，自然想到 解解设有设有以以与上式两端作点积，得与上式两端作点积，得由于由于不共面不共面同理同理又由轮换对称性知又由轮换对称性知向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答
