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1、向量的数量积的应用向量的数量积的应用1 1、应用、应用 可证明两直线垂直，可证明两直线垂直，2 2、利用、利用 可求线段的长度。可求线段的长度。1.1.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离. .解：解：2 2、 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段， ，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。解：由，可知解：由，可知. .由由 知知 . . 3.3.已知空间四边形已知空间四边形，求证：。，求证：。证明：证明：三、例题讲解：三、例题讲解： 3、利用向量的数量积可以证明两直线垂直，、利
2、用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而也可以证明线面垂直问题。因而也可以证明线面垂直问题。例例1 1、正方体、正方体 中，中，E E、F F分别是分别是 的中点。求证：的中点。求证：分析分析：要证明线面要证明线面垂直，只需证明直垂直，只需证明直线和已知平面内的线和已知平面内的两条相交直线垂直两条相交直线垂直即可。本题可考虑即可。本题可考虑证明证明例例2、空间四边形、空间四边形ABCD中，中，AB=2，BD=4，BC=3，CD=2， 求求AB与与CD所成角所成角的余弦值。的余弦值。分析：分析：（1）已知已知AB分别与分别与BD所成所成的角，故可考虑把的角，故可考虑把AB与与CD所成的角所成的角的
3、问题转化为的问题转化为AB分别与分别与BC和和BD所成所成角的问题。角的问题。（2）4、利用、利用 求两条异面直线所成的角。求两条异面直线所成的角。A AB BC CD DDDE E 例、如图所示，已知线段例、如图所示，已知线段ABAB在平面在平面内，线内，线段段ACAC，线段，线段BDABBDAB，线段，线段D DDD 交交 于于DD, , DBD=30DBD=30 . .如果如果ABABa a，ACACBDBDb b，（1 1）求）求C C、D D间的距离间的距离; ; （2 2）求异面直线求异面直线DC,BDC,BDD所成的角所成的角运用二：求线段长度常把运用二：求线段长度常把线段表示成
4、向量形式，然线段表示成向量形式，然后通过向量运算求解后通过向量运算求解. .运用三：常运用向量数量运用三：常运用向量数量积的变形公式求异面直线积的变形公式求异面直线所成的角所成的角. .例、如图，在正方体例、如图，在正方体ABCD-ABCD中，求异中，求异面直线面直线AB与与AC所成的角。所成的角。ABCDABCD即即AB和和BC的夹角为的夹角为已知正方体已知正方体ABCDABCD的棱长为的棱长为a，求：，求：(1)AB和和BC的夹角；的夹角；(2)ABACCDBCBAD用异面直线所成的角易解用异面直线所成的角易解已知正方体已知正方体ABCDABCD的棱长为的棱长为a，求：，求：(1)AB和和
5、BC的夹角；的夹角；(2)ABACCDBCBADABAC用三垂线定理易证用三垂线定理易证2 2、前面我们学过了利用两个向量、前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪些的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题？类型的问题？ 小小 结：结： 到目前为止，我们可以利用向量数量积解决到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题：立体几何中的以下几类问题： 1 1、证明两直线垂直。、证明两直线垂直。2 2、求两点之间的距离、求两点之间的距离 或线段长度。或线段长度。 （3 3、证明线面垂直。）、证明线面垂直。）4 4、求两直线所成角的、求两直线所成角的余弦值等等。余弦值等等。 例、如图，在正方体例、如图，在正方体ABCD-ABCD中，中，EF分别是分别是BB、DC的中点。的中点。（1）求）求AE与与DF所成的角；所成的角；（2）证明：）证明：AE平面平面ADF。xABCDyEBACDzF
