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1、数学总复习教师：姚君秋教师：姚君秋手机：手机：1395146864513951468645qqqq：7836615777836615772021/3/111第一章：方程与不等式第一章：方程与不等式1数的基本知识1.数的分类实数（集）（R）有理数（集）无理数（集）整数负分数（集）（集）正整数零负整数（集）（Q）（Z）（N+、N*）负正分数自然数 （集）（N）2021/3/1122.倒数与相反数的概念相反数:倒数:乘积是1的两个数互为倒数倒数只有符号不同的两个数互为相反数相反数1的倒数是什么？0有没有倒数？1没有没有3.数轴与数规定了原点、正方向原点、正方向和单位长度单位长度的直线叫做数轴2021
2、/3/1134.绝对值几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离,数a的绝对值记作|a|.代数定义:一个正数正数的绝对值是它它本身本身.一个负数负数的绝对值是它的相反数它的相反数.零零的绝对值等于零零.2021/3/114数的乘方数的乘方2021/3/115数的开方数的开方平方根平方根立方根立方根n次方根次方根2021/3/116整式的运算整式的运算常用乘法公式常用乘法公式平方差公式：平方差公式：完全平方公式：完全平方公式：2021/3/117因式分解方法与步骤：分组分解法提取公因式公式法（乘法公式的逆运算）配方法十字相乘法2021/3/118分式的运算分式的运算2021/3
3、/119一元一次方程一元一次方程2021/3/1110例子：2021/3/1111二元一次方程组二元一次方程组2021/3/1112例子2021/3/11132021/3/1114一元二次方程一元二次方程2021/3/11152021/3/1116一元一次不等式一元一次不等式2021/3/11172021/3/1118一元一次不等式组一元一次不等式组2021/3/1119用数轴表示不等式组的解2021/3/1120一元二次不等式的概念及解法不等式中只含有一个未知数，且最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式.他的一般形式是一元二次不等式与一元二次函数的关系及解法如下表2021/3/112120
4、21/3/1122第二章第二章 集集 合合一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集），用大写字母A、B、C表示。集合中的每个对象都称为这个集合的元素。用小写字母a、b、c表示。若a是集合A的元素就说a属于A，记作aA，否则a A。集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。确定性、互异性、无序性。集合与元素的关系 属于、不属于2021/3/1123集合的分类 空集与数集空集：不含任何元素的集合，记作，如方程x2+1=0的解集为数集：以数为元素的集合。常用数集 详见第一章数的分类数的分类2021/3/11242021/3/11252021/3/11262021/3/1127一、交集一
5、、交集二、并集二、并集2021/3/1128三、补集三、补集2021/3/11292021/3/11302021/3/1131第三章函数在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个实数集合D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说y是x的函数（function），记作y=f(x),xD 其中，x称为自变量，x的取值范围（即集合D）称为函数的定定义域域（domain），与x的值相对应的y的值称为函数值，当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域域（range）2021/3/11321、函数的两大要素、函数的两大要素2、求
6、函数的定义域的方法、求函数的定义域的方法 y = 2x2-3x+12021/3/1133函数三种表示方法：函数三种表示方法：解析法、列表法、图像法2021/3/1134一、偶函数：一、偶函数：定义域关于原点对称对称 一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的 xD，都有 f（ - x）= f（x），则称y=f（x）为 偶 函数，如y=x2为偶函数。二、奇函数二、奇函数：定义域关于原点对称对称 一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的 xD，都有 f（ - x）= - f（x），则称 y=f（x）为 奇 函数，如 y= 三、非奇非偶函数三、非奇非偶函数：定义域关于原点不
7、对称不对称如果一个函数既非奇函数，又非偶函数，则 称为非奇非偶函数.2021/3/1135小结：根据定义讨论函数的奇偶性的步骤小结：根据定义讨论函数的奇偶性的步骤第一步，求函数的定义域并判断定义域是否关于第一步，求函数的定义域并判断定义域是否关于X X轴对称轴对称；第二步，若第二步，若定义域关于定义域关于X X轴对称，则判断轴对称，则判断f（ - x）值，）值，若若对于任意的 xD，都有 f（ - x）= f（x），则称y=f（x）为 偶 函数，如y=x2若若对于任意的 xD，都有 f（ - x）= - f（x），则称 y=f（x）为 奇 函数，如 y= 若若定义域关于定义域关于X X轴不对称
8、，则为轴不对称，则为非奇非偶函数第三步，第三步，写出结论写出结论2021/3/1136增函数、减函数增函数、减函数一般地，设函数 y=f(x) 的定义域上某个区间为I：如果对于任意的x1，x2I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，简称增函数增函数 ，其图像沿x轴的正方向上升上升，如图3-15a 所示. 如果对于任意的x1，x2I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，简称减函数减函数，其图像沿x轴的正方向下降下降，如图3-15b所示.单调区间？单调区间？2021/3/1137小结：小结：根据定义
9、讨论函数的单调性的步骤根据定义讨论函数的单调性的步骤第一步，书写第一步，书写“任取任取x1，x2I，且，且x1x2”；第二步，写出第二步，写出f（x1），），f（x2）；）；第三步，化简第三步，化简f（x1）-f（x2），并判断它的符号），并判断它的符号第四步，写出结论第四步，写出结论2021/3/1138最大值最大值 一般地,设函数y= f（x）的定义域为D 如果对于任意xD都有f（x）f（x0），则称f（x0）为函数y= f（x）的最大值记作ymax= f（x0）最小值最小值 如果对于任意的xD都有f（x）f（x0）则称f（x0）为函数y=f（x）的最小值记作 ymin = f（x0）如
10、函数yx22有 ymin =f（）2 函数yx2有ymax =f（）1第一步：设两个变量（未知数）第二步：由条件例出函数解析式第三步：求出最大值或最小值第四步：根据实际问题的意义作正确答案2021/3/1139正整数指数幂零指数幂a0=1（a0)负整数指数幂a - n = (a0)2021/3/1140有理数指数幂的运算法则设a0，b0，p，qQ，则法则1apaqap+qapaq=ap-q法则2(aq)paqp法则3(ab)papbp 幂函数幂函数定义:一般地,我们把形如y=xk(k为常数，kQ)，的函数称为幂函数.如:y=x. y=x2. 等.性质:与k的取值有关.2021/3/1141画出
11、函数的图像，结合图像讨论函数的性质解列表法：列表法：2021/3/1142从图上可以看到，函数的图像从原点开始，在第一象限向右上方无限延伸（1）定义域：0，+）；（2）值域：0，+）且当x=0时，ymin=0；（3）函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（4）函数 在定义域0,+)上是增函数2021/3/1143有理数指数幂的运算法则有理数指数幂的运算法则设设a0，b0，p，qQ，则，则法则法则1apaqap+qapaq=ap-q法则法则2(aq)paqp法则法则3(ab)papbp 一般地,我们把形如y=ax(a0,a1)的函数称为指数函数指数函数.如 y=2x，y=0.5x等.定定义域域 (-
12、,+)2021/3/1144在同一平面直角坐标系中用描点法作函数y=2x 和y=的图像.总结性质:两个图像都在x轴上方,它们的函数值y0两个图像都过点(0,1)y=2x 的图像沿x轴的正方向上升,在定义域内是增函数 y= 的图像沿x轴的正方向下降,在定义域内是减函数2021/3/1145一般地,指数函数y=ax(a0,a1)的图像和性质如下:2021/3/114633.6与32.8（1）因为31，所以指数函数y=3x是增函数又因为3.62.8，所以33.632.82021/3/1147 32=9 用3和2表示9 =3 用9和2表示3能否用3和9表示2呢？2021/3/11481零和负数没有对数
13、2loga 1 =0 loga a =1(a0,a1)3alogaN=N(a0,a1)4logaab=b(a0,a1)2021/3/1149对数函数对数函数定义: 一般地,我们把形如y=log (a0，a1)的函数称为对数函数.如y=log y=log 等.定义域(0,+)对数函数数函数与指数函数的关系，互为反函数，反函数，如y=2x与y=log 互为反函数.2021/3/1150讨论 及 的图像和性质 图3-22小结性质两个图像都在y轴的右边两个图像都过点(1,0)y= 的图像沿x轴的正方向上开,在定义域内是增函数. 的图像沿x轴的正方向下降,在定义域内是减函数.2021/3/1151一般地
14、,对数函数 (a0，a1)的图像和性质如下2021/3/11521.角的定义及组成一条射线绕着端点O从一位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形称为角，如图按逆时针逆时针方向旋转形成的角称为正角正角按顺时针顺时针方向旋转形成的角称为负角负角如果一条射线没有作任何旋转，我们也认为它形成了一个角，称为零角零角的始边与终边重合，若是零角，则=0.2021/3/1153象象限限角角以平面直角坐标系xOy的原点O为角的顶点,让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，如90角与180角不属于任何一个象限。2021
15、/3/1154在在0360范围内范围内, 表示各象限角的范围表示各象限角的范围.2021/3/1155 在同一直角坐标系中, 画出30、390、750、-330角，并寻找它们的共同点30=30+0360390=30+1360750=30+2360-330=30+(-1)360小结： 共同点是所有所有角的终边相同角的终边相同, 可以用=30+k360，kz表示.2021/3/1156终边相同的角的表示终边相同的角的表示:一般地，与角终边相同的角（含在内的一般表达式为=+k360，kz用集合表示为 |=+k360，kz 思考：第一象限的角的集合如何表示？| 0+k36090+k360，kz 202
16、1/3/1157定义: 长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角. 用弧度作为单位来度量角和单位制称为弧度制.图46在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角的大小是|= rad.2021/3/1158角度与弧度的换算角度与弧度的换算360=2rad.180=rad.1 rad= =57.3注: 弧度单位通常忽略不写.用弧度制表示下列各角： 60，-270.例2把下列各角用角度制表示：，.2021/3/1159在直角三角形中，如图所示。M是直角，锐角的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有sin= cos= tan= 在直角坐标中，如图所示。2021/3/1160在锐角的终边上任取一点P（原点除
17、外），过点P作x轴的垂线，垂足为M，这样就得到了直角三角形OPM，设点P的坐标为（x,y）则角的对边MP的长是y，邻边OM的长是x，斜边OP的长是r，其中r= （r0）由此得到sin= cos= tan= 推广到任意角就有任意角的三角函数2021/3/1161如图所示，在任意角的终边上任取一点P，设P的坐标为（x,y）OP=r,则r= （r0）图4112021/3/1162sin= 称为角的正弦cos= 称为角的余弦tan= 称为角的正切2021/3/1163特殊角的三角函数的值.2021/3/1164根据任意角的三角函数的定义，我们知道，角的终边上点P坐标值的符号决定了角的三角函数的符号各三
18、角函数在各个象限的符号列表如下：记忆口诀：一正二正弦，三正切四余弦一正二正弦，三正切四余弦.含义：第第一一象象限限全全为为正正，第第二二象象限限除除正正弦弦为为正正外外，其其余余均均为为负负，第第三三象象限限除除正切为正外，其余均为负，第四象限除余弦为正外，其余均为负正切为正外，其余均为负，第四象限除余弦为正外，其余均为负2021/3/1165同角三角函数的基本关系2021/3/1166诱导公式诱导公式sin(2k+)=sin,kZcos(2k+)=cos,kZ (公式一）tan(2k+)=tan,kZ公式作用公式作用：将任意角的三角函数化为0，2内的角的三角函数。一、有关一、有关+ 2k（k
19、 z）的诱导公式）的诱导公式二、有关二、有关-的诱导公式的诱导公式例如：sin1 500=sin (4360+60)= sin60sin(-)=-sincos(-)=cos(公式二）tan(-)=-tan公式作用公式作用：将负角的三角函数化为正角的三角函数。例如：例如：sin (-30)2021/3/1167角-与角的终边关于x轴对称证明：由图416可知角-与角的终边关于x轴对称，在角的终边上取一点P，使OP=1，设P的坐标为（x，y），则P（x，-y）必在角-的终边上，且OP=1图4162021/3/1168三、有关三、有关-的诱导公式的诱导公式sin(2-)=-sincos(2-)=cos
20、(公式三）tan(2-)=-tan公式作用公式作用：将任意负角的三角函数转化为正角的三角函数。sin(+) =-sincos(+) =-cos(公式四）tan(+) =tan四、四、的三角函数的简化公式的三角函数的简化公式sin(-) =sincos(-) =-cos (公式五）tan(-) =-tan2021/3/1169证明公式四图417 证明.将任意角的终边按逆时针旋转弧度，就得到的终边，显然角的终边与角的终边关于原点对称，在角终边上取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则P（-x，-y）必在角的终边上，且OP=1，所以2021/3/1170求下列各三角函数的值：(1)sin
21、（2）cos135（3）tan 小结：求任意角的三角函数的步骤2021/3/1171正弦函数正弦函数y=sinx的图像与性质的图像与性质正弦函数y=sinx的图像先用描点法画出y=sinx在区间0，2上的图像.由于sin（2k+x）=sinx,kz.所以y=sinx在区间2k, 2k+2上的图像与在区间0，2上的图像形状完全一样，只要将y=sinx在0,2的图像向左向右平移即可.2021/3/1172正弦函数y=sinx的性质（1）定义域 R（2）值域 -1，1 x= +2k(kz) ymax =1 x= +2k(kz) ymin=-1（3）周期性 T=2最小正周期（4）奇偶性 奇函数（5）单
22、调性 在区间2k- ，2k+ 内单调递增，区间 2k+ ，2k+ 内单调递减（6）与x轴主点 x=kkz2021/3/1173用五点法画出函数用五点法画出函数 ysinx+1 在在0，2上的简图上的简图.分分析析比比较较函函数数ysinx+1和和函函数数ysinx可可以以看看出出，对对同同一一个个x值值，函函数数ysinx+1的的值值比比函函数数ysinx的的值值大大1.所以，函数所以，函数ysinx+1的图像与函数的图像与函数ysinx的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同.2021/3/1174已知函数y=-2sinx（1）用五点法画出这个函数在一个周
23、期0，2上的图像（2）求出它的最大值和最小值（3）判断它的奇偶性（4）指出这个函数在0,2上的单调区间解（1）列表：2021/3/1175描点，连线得到函数y=-2sinx在一个周期0，2上的图像，如图423所示（2）根据函数的图像和函数的周期性，可知当x=2k+ (kZ)时，函数有最大值，ymax=2；当x=2k+ (kZ)时，函数有最小值，ymin=-2（3）函数f (x)=-2sinx的定义域为R因为f (-x)=-2sin(-x)=2sinx=-f(x)所以这个函数是奇函数（4）根据图像，可知这个函数在0,2上的单调增区间为 ， ，单调减区间为0， 和 ，22021/3/1176余弦函
24、数余弦函数y=cosx的图像与性质的图像与性质余弦函数y=cosx的图像先用描点法画出y=cosx在0，2内的图像曲线可由y=cosx 在0，2内图像向右、向左平移2k(kz)个单位得到y=cosx x0,2由五个关键点确定图像形状。（0，1），（ ，0），（，-1），（ ，0），（2，1）2021/3/1177余弦函数y=cosx的性质（1）定义域 R（2）值域 -1，1 x=2k(kz)时，ymax=1，x=（2k+1）(kz)时ymin=-1（3）周期性 T=2（4）奇偶性 偶函数（5）单调性 2k,2k+区间上为减函数，2k+， 2k+2区间上为增函数（6）与x轴的交点 当x=k+ (
25、 kz)时，y=cosx=02021/3/1178用五点法画出y=2cosx在0，2上的简图列表描点并连线（图427）图4272021/3/1179正切函数正切函数y=tanx的图像的图像2021/3/11802021/3/11812021/3/1182多面体定义：多面体定义：由若干个平面多边形所围成的几何体称为多面体.棱棱柱柱：一般地，有两个面互相平行，且不在这两个面的棱都相互平行的多面体称为棱柱.棱柱中的元素：棱柱中的元素：底面、高、侧面、侧棱、顶点.如图53.棱柱的表示方法.如ABCDE-A1B1C1D1E即用底面的顶点表示.2021/3/1183棱柱的分类棱柱的分类按侧棱的条数分：按侧
26、棱的条数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分按侧棱与底面的关系分 正正棱棱柱柱：底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱.如正三棱柱正四棱柱如图51中的(1)、（11）、（12）、（13）正正棱棱柱柱特特征征：底面是全等的正多边形，侧面是全等的矩形侧棱与底面垂直2021/3/1184棱棱锥锥定定义义：一般地，有一个多边形的面，且不在这个面上的棱却有一个公共点的多面体如图51中的（2）、（3）、（7）、（10）和（16）.棱锥元素：棱锥元素：底面、侧面、侧棱、顶点棱棱锥锥表表示示方方法法：如图54SABCDE.即用顶点和底面多边形的字母表示.2021/3/1185正棱锥的定义及特征正棱锥的
27、定义及特征底面是正多边形,侧面是全等的等腰三角形,称这样的棱锥为正棱锥,如图51中的(3)、（7）、（10）、（16）分别是正四棱锥、正三棱锥、正五棱锥和正六棱锥.注：三棱锥称四面体，正三棱锥称正四面体.2021/3/1186圆柱圆柱定义：一般地，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体称为圆柱.如图55，用轴线o表示.圆柱中的元素：轴、底面、高、侧面、母线.特征：母线处处相等底面平行.全等.2021/3/1187圆锥圆锥定义：一般地，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体称为圆锥.如图5-6.用圆锥o表示.圆锥中的元素：轴、高、底面、侧面、母线特征：母线处处相等.2021/3/1188球定义：一般地，以定圆的直径所在的直线为旋转轴，定圆旋转一周而成的曲面称为球面；球面所围成的几何体称为球体.如图5-7.用球o表示.球的元素：球心、直径、半径2021/3/1189 三视图以主观图、俯视图和左视图方式来表现空间几何体的结构叫做空间几何体的三视图(长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等)画水平放置的三角形的直观图直观图2021/3/11902021/3/11912021/3/1192球的表面积和体积球的表面积和体积2021/3/11932021/3/1194
