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1、第第 三三 章章 概率分布概率分布v3.1离散型概率分布离散型概率分布v3.2延续型概率分布延续型概率分布3.1 离散型概率分布离散型概率分布3.1.1 3.1.1 随机变量随机变量3.1.2 3.1.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布3.1.3 3.1.3 离散型随机变量的数学期望和方差离散型随机变量的数学期望和方差3.1.4 3.1.4 几种常用的离散型概率分布几种常用的离散型概率分布随机变量(random variables)1.一次实验的结果的数值性描画2.普通用 X，Y，Z 来表示3.例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量4.根据取值情况的不同分为离散型随机变量和延续型
2、随机变量离散型随机变量(discrete random variables)1.随机变量 X 取有限个值或一切取值都可以逐个列举出来 x1 , x2，2.以确定的概率取这些不同的值3.离散型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽查抽查100个个产品产品一家餐馆营业一天一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售电脑公司一个月的销售销售一辆汽车销售一辆汽车取到次品的个数取到次品的个数顾客数顾客数销售量销售量顾客性别顾客性别0,1,2, ,1000,1,2, 0,1, 2,男性为男性为0,女性为女性为1延续型随机变量(continuous random variables)1.可
3、以取一个或多个区间中任何值 2.一切能够取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的恣意点3.延续型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽查一批电子元件抽查一批电子元件新建一座住宅楼新建一座住宅楼测量一个产品的测量一个产品的长度长度使用寿命使用寿命(小时小时)半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比测量误差测量误差(cm)X 00 X 100X 0离散型随机变量的概率分布1.列出离散型随机变量X的一切能够取值2.列出随机变量取这些值的概率3.通常用下面的表格来表示X = xix1 ，x2 ， ，xnP(X =xi)=pip1 ，p2 ， ，pn4. P(X =
4、xi)=pi P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数称为离散型随机变量的概率函数5.pipi0 0 ；离散型随机变量的概率分布 (例题分析) 【例例】投投掷掷一一颗颗骰骰子子后后出出现现的的点点数数是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量。写写出出掷掷一一枚枚骰骰子子出出现现点点数数的的概概率率分布分布 X = xi123456P(X=xi) pi1/61/61/61/61/61/6概率分布概率分布离散型随机变量的概率分布 (例题分析) 【例例】一一部部电电梯梯在在一一周周内内发发生生缺缺点点的的次次数数X及相应的概率如下表及相应的概率如下表故障次数X = xi0123概率P(X=
5、xi) pi0.100.250.35 一部电梯一周发生缺点的次数及概率分布一部电梯一周发生缺点的次数及概率分布 (1) (1) 确定确定的值的值 (2) (2) 求正好发生两次缺点的概率求正好发生两次缺点的概率 (3) (3) 求缺点次数不超越求缺点次数不超越2 2次的概率次的概率 (4) (4) 至少发生两次缺点的概率至少发生两次缺点的概率 离散型随机变量的概率分布 (例题分析) 解：解：(1) 由于由于0.10+0.25+0.35+ =1 所以，所以， =0.30 (2) P(X=2)=0.35 (3) P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4) P(X2)=0.35+0
6、.30=0.65离散型随机变量的数学期望(expected value)1.离散型随机变量X的一切能够取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和2.描画离散型随机变量取值的集中程度3.记为 或E(X)4.计算公式为离散型随机变量的方差(variance)1.随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为 2 或D(X)2.描画离散型随机变量取值的分散程度3.计算公式为4.方差的平方根称为规范差，记为 或D(X)离散型数学期望和方差 (例题分析) 【例例例例】一一一一家家家家电电电电脑脑脑脑配配配配件件件件供供供供应应应应商商商商声声声声称称称称，他他他他所所所所提提提提供供供供的的的的
7、配配配配件件件件100100个中拥有次品的个数及概率如下表个中拥有次品的个数及概率如下表个中拥有次品的个数及概率如下表个中拥有次品的个数及概率如下表 次品数X = xi0123概率P(X=xi) pi0.750.120.080.05每每100100个配件中的次品数及概率分布个配件中的次品数及概率分布 求该供应商次品数的数学期望和规范差求该供应商次品数的数学期望和规范差 常用离散型概率分布两点分布1.一个离散型随机变量X只取0和1两个能够的值2.它们的概率分布为3. 4. 或5. 也称0-1分布两点分布 (例题分析) 【例例】知知一一批批产产品品的的次次品品率率为为p0.05，合合格格率率为为q
8、=1-p=1-0.05=0.95。并并指指定定废废品品用用1表表示示，合合格格品品用用0表表示示。那那么么任任取取一一件件为为废废品品或或合合格格品品这这一离散型随机变量，其概率分布为一离散型随机变量，其概率分布为X = xi0 1P(X=xi)=pi0.05 0.950.50.50 01 11 1x xP(x)P(x)二项分布1.二项分布与伯努利实验有关2.二项分布满足以下条件3.一次实验只需两个能够结果，即“胜利和“失败4.“胜利是指我们感兴趣的某种特征5.一次实验“胜利的概率为p ，失败的概率为q =1- p，且概率p对每次实验都是一样的 6.实验是相互独立的，并可以反复进展n次 7.在
9、n次实验中，“胜利的次数对应一个离散型随机变量X 二项分布(Binomial distribution)1.反复进展 n 次实验，出现“胜利的次数的概率分布称为二项分布，记为XB(n，p)2.设X为 n 次反复实验中出现胜利的次数，X 取 x 的概率为二项分布1.对于P(X=x) 0， x =1,2,n，有2.同样有3.当 n = 1 时，二项分布化简为二项分布(数学期望和方差)1、数学期望、数学期望 =E(X) = np2、 方差方差 2 =D(X) = npq0.00.20.40.6012345XP(X)n = 5 p = 0.50.20.40.6012345XP(X)n = 5 p =
10、0.1二项分布 (例题分析) 【例】知一批产品的次品率为【例】知一批产品的次品率为【例】知一批产品的次品率为【例】知一批产品的次品率为4%4%，从中恣意有放回地抽，从中恣意有放回地抽，从中恣意有放回地抽，从中恣意有放回地抽 取取取取5 5个。求个。求个。求个。求5 5个产品中：个产品中：个产品中：个产品中： (1) (1) 没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？ (2) (2) 恰好有恰好有恰好有恰好有1 1个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？ (3) (3) 有有有有3 3个以下次品的概率是多少？个
11、以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？ 泊松分布(Poisson distribution)1.1837年法国数学家泊松(D.Poisson，17811840)初次提出 2.用于描画在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布3.泊松分布的例子4.一定时间段内，某航空公司接到的订票数5.一定时间内，到车站等候公共汽车的人数6.一匹布上发现的疵点个数7.一定页数的书刊上出现的错别字个数 泊松分布(概率分布函数) 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“胜利的平均数e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“胜利的次数泊松分
12、布(数学期望和方差)1.数学期望2. E ( X ) = 3.方差4. D ( X ) = 0.00.20.40.6012345XP(X)0.00.20.40.60246810XP(X)l = 6l = 6l = 6l = 6l = 0.5l = 0.5l = 0.5l = 0.5泊松分布 (例题分析)【例例例例】假假假假定定定定某某某某航航航航空空空空公公公公司司司司预预预预订订订订票票票票处处处处平平平平均均均均每每每每小小小小时时时时接接接接到到到到4242次次次次订订订订票票票票，那那那那么么么么1010分分分分钟钟钟钟内内内内恰恰恰恰好好好好接接接接到到到到6 6次次次次的的的的概概概概率率率率是是是是多多多多少少少少？ 解：设解：设解：设解：设X10X10X10X10分钟内航空公司预订票处接到的次数分钟内航空公司预订票处接到的次数分钟内航空公司预订票处接到的次数分钟内航空公司预订票处接到的次数 作业v根据过去一年的统计资料显示某公司市内交换机于周日晚间8：008：05时段内转接的平均数为10通，今日又恰逢周日。v1假设以X表示今天晚上8：008：05时段内交换机转接的通数，那么X的概率函数为？ v2以上时段内少于3通的概率包括3通？ v3假设以Y表示今晚8：008：01时间段内交换机转接的通数，那么Y的概率函数为？ v4以上的时间段，通数多于4通的概率为？
