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1、自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质5 5 习题习题4 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例3 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换1自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。与线性常微分方程的经典求解方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特点：只需一步运算就可以得到微分方程的通解和特
2、解。微分方程通过Laplace变换转化成含有s的代数方程，然后运用简单的代数法则就可以得到代数方程在s域上的解，而只要再作一次Laplace反变换就可以得到最终我们所需的时域上的解。自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory31 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 一个定义在一个定义在0,)区间的函数区间的函数f(t)，它的拉普，它的拉普拉斯变换式拉斯变换式F(s)的定义为的定义为 在实际工程中，以时间在实际工程中，以时间t为自变量的函数为自变量的函数f(t)通常都可以进行拉氏变换。通常都可以进行拉氏变换。自动控制原理自动控制原理Automatic Cont
3、rol Theory拉氏变换将原来的实变量函数 转化为复变量函数 。拉氏变换是一种单值变换。 和 之间具有一一对应的关系。通常称 为原函数， 为象函数。 1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory5常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory 单位阶跃函数单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换 解解 即即根据定义根据定义 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换（1）单位阶跃函数）单位阶跃函数图图1 单位阶跃函数单位阶跃函
4、数在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开或断开)。自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory(2) (2) 求指数函数求指数函数 的的拉氏变换拉氏变换 解：解：根据定义根据定义即即 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory8 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换由数学归纳法，得由数学归纳法，得自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory9(4)(4)单位脉冲函数单位
5、脉冲函数d d (t)的拉氏变换的拉氏变换 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换图图2单位脉冲函数单位脉冲函数即即自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory(5)正弦函数正弦函数 解解 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory即同理可得如 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory12原函数原函数f(t)象函数象函数F(s) d d(t) t 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换自动控制原理自动控制原理Automatic Contr
6、ol Theory拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质5 5 习题习题4 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例3 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换13自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory1. 1. 线性性质线性性质 齐次性齐次性：设：设 则则拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性叠加性叠加性：设：设则则2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质自动控制原理自动控制原理Automatic Control T
7、heory2.2.微分性质微分性质设设可得各阶导数的拉氏变换为可得各阶导数的拉氏变换为2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory16证证 ：2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory特别地特别地, ,当当时时, ,2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory3.3.积分性质积分性质设设原函数原函数 积分的拉氏变换为积分的拉氏变换为: :2 2 拉普拉斯变
8、换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory192 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质4.4.位移性质位移性质设设自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory205.5.延迟性质延迟性质2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质设设式中式中: 为任意实数。为任意实数。 的函数图形如图的函数图形如图3所示。所示。图图3自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory212 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质6.6.初值定理初值定理若若 且且 存在
9、存在则则自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory222 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质7.7.终值定理终值定理若若 且且 存在存在则则终值定理的应用条件为：终值定理的应用条件为：（1）当当t时，时，f(t)有意义（有极限）。例如有意义（有极限）。例如 无极无极限，那么就不能应用终值定理。限，那么就不能应用终值定理。（2）若已知若已知F(s)时，当时，当sF(s)的分母多项式的根处在虚轴左半的分母多项式的根处在虚轴左半s平平面（原点除外）时，定理可用。面（原点除外）时，定理可用。例如，例如， ，分母多项式的根在虚轴上，定理不可，分母多项式的根在虚
10、轴上，定理不可用；用； ，分母多项式的根在原点，可以用该定理。，分母多项式的根在原点，可以用该定理。自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory终值定理在分析研究系统的稳态性能时终值定理在分析研究系统的稳态性能时( (例如分例如分析系统的析系统的稳态误差稳态误差，求取系统输出量的稳态值，求取系统输出量的稳态值等等) )有着很多的应用。因此终值定理也是一个有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。经常用到的运算定理。2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory拉普拉斯变换及其
11、应用拉普拉斯变换及其应用1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质5 5 习题习题4 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例3 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换24自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory253 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 由象函数由象函数F(s)求取原函数求取原函数f(t)的运算称为拉氏反的运算称为拉氏反变换，它和拉氏变换是一一对应的。这里介绍利用变换，它和拉氏变换是一一对应的。这里介绍利用部分分式展开，然后用查表的方法进行拉氏反变换，部分分式展开，然后用查表的方法进行拉氏反变换
12、，求取原函数。求取原函数。一一对应一一对应f(t) F(s)自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory3 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换控制系统中的象函数是控制系统中的象函数是s的有理分式，可写成下列形式：的有理分式，可写成下列形式：式中式中:系数系数 和和 都是实常数，都是实常数，n和和m是正整数，通是正整数，通常常mn。这里利用部分分式分解法求解，先将。这里利用部分分式分解法求解，先将B(s)/A(s)化为一些简单分式之和，再查表得到。化为一些简单分式之和，再查表得到。 为了将为了将F(s)写为部分分式之和的形式，首先把写为部分分式之和的形式，首先把F(s)
13、的分母因式分解，即的分母因式分解，即式中式中: 为为A(s)=0的根，称为的根，称为F(s)的极点。的极点。自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory27根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况：根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况：（1）A(s)=0且无重根且无重根若若A(s)=0且无重根，则且无重根，则F(s)可展开成可展开成n个简单的部分分式之个简单的部分分式之和，即和，即系数可由右式求出系数可由右式求出：按上式将各待定系数全部求出后，再按上式将各待定系数全部求出后，再查表查表求出原函数。求出原函数。3 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换自
14、动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory283 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例例8 求求 的原函数的原函数将将F F( (s s) )的分母因式分解为的分母因式分解为查表可求得原函数为查表可求得原函数为自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory习题：求习题：求 的原函数的原函数将将F F( (s s) )的分母因式分解为的分母因式分解为 五、拉氏反变换五、拉氏反变换自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory303 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例例9 求求 的原函数的原函数将将F F( (s s)
15、)的分母因式分解为的分母因式分解为查表可求得原函数为查表可求得原函数为自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory31（2）A(s)=0且有重根且有重根设设A(s)=0有有r个重根个重根p1，则，则F(s)可写为可写为3 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换将上式展开成部分分式将上式展开成部分分式式中式中: 为为F(s)的重极点的重极点; ， 为为F(s)的的(n-r)个非重极点；个非重极点； ， ， ， 为待定系数为待定系数自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory323 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式中式中: 为为F(s)的重极点的
16、重极点; ， 为为F(s)的的(n-r)个非重极点；个非重极点； ， ， ， 为待定系数为待定系数自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory33例 求 的原函数3 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换将上式展开成部分分式将上式展开成部分分式其中其中所以所以自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory习题：求 的原函数 五、拉氏反变换五、拉氏反变换自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换
17、的基本性质5 5 习题习题4 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例3 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换35自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory364 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例 用拉氏变换求解线性常系数微分方程是一种工程上用拉氏变换求解线性常系数微分方程是一种工程上行之有效的简便方法，因为可将微分方程转化为代数方行之有效的简便方法，因为可将微分方程转化为代数方程，程，简化计算简化计算。用拉氏变换法求解线性微分方程的一般用拉氏变换法求解线性微分方程的一般步骤步骤如下：如下：（1）考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，得到考虑初始条件，
18、对微分方程进行拉氏变换，得到以以s为变量的代数方程。为变量的代数方程。（2）求出系统输出量的求出系统输出量的s域表达式。域表达式。（3）将输出量的表达式展开成部分分式。将输出量的表达式展开成部分分式。（4）对部分分式进行拉氏反变换（可查表），即可得对部分分式进行拉氏反变换（可查表），即可得微分方程的解。微分方程的解。自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory例例 求微分方程满足初始条件的解 解解 设对方程两边取Laplace变换, 得解得所以自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory384 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例
19、【例例】电路如图所示，已知电路如图所示，已知解解 电路的微分方程为电路的微分方程为对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换，得，得代入参数得代入参数得又又自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory394 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例所以所以,输出响应函数的拉氏变换式输出响应函数的拉氏变换式为为将上式展开成部分分式之和，得将上式展开成部分分式之和，得由拉氏反变换求得系统响应为由拉氏反变换求得系统响应为自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory40【例例12】图图6所示电路，当所示电路，当t0时，开关位于时，开关位于“1”端，电路端，电路已经稳定已经稳定;当当t=0时，开关从时，开关从“1”端打到端打到“2”端，试用拉氏端，试用拉氏变换法求解换路后的电压变换法求解换路后的电压 。4 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例解由题意求得解由题意求得电容电压初始值电容电压初始值为为列写出换路后电路微分方程为列写出换路后电路微分方程为自动控制原理自动控制原理Automatic Control Theory41方程两边拉氏变换并考虑初始条件方程两边拉氏变换并考虑初始条件：4 4 拉普拉斯变换应用实例拉普拉斯变换应用实例即即查表得查表得
