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1、1 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数2 非齐次边界条件定解问题求解非齐次边界条件定解问题求解本次课主要内容本次课主要内容(一一)、边界条件齐次化方法、边界条件齐次化方法(二二)、分离变量法总结、分离变量法总结3(一一)、边界条件齐次化方法、边界条件齐次化方法1、一般方法、一般方法讨论如下定解问题边界条件齐次化：讨论如下定解问题边界条件齐次化：采用未知函数代换法：采用未知函数代换法：即：选择适当的即：选择适当的W(x,t)，使关于，使关于V(x,t)定解问题边界条定解问题边界条件是齐次的。件是齐次的。4具体过程：具体过程：(1)、作代换：、作代换：(2)、将代换式代入定解问题中得：、将代换式
2、代入定解问题中得：5(3)、选择、选择W(x,t)，使关于，使关于V(x,t)定解问题边界条件齐次！定解问题边界条件齐次！由由(2)、只要、只要W(x,t)满足如下条件即可：满足如下条件即可：W(x,t)如何选取？如何选取？W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法选择选择W(x,t)令：令：由由*可得：可得：6于是得于是得W(x,t)的一种选择式为：的一种选择式为：将下式将下式代入原定解问题中：代入原定解问题中：7其中：其中：(*)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级数法进一步求
3、解！用齐次化原理或级数法进一步求解！注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出需要的需要的W(x,t),具体过程如下：具体过程如下：8(1)、若边界条件为：、若边界条件为：作代换：作代换：得得W(x,t)需要满足的条件为：需要满足的条件为：可令：可令：9(2)、若边界条件为：、若边界条件为：作代换：作代换：得得W(x,t)需要满足的条件为：需要满足的条件为：可令：可令：10(3)、若边界条件为：、若边界条件为：作代换：作代换：得得W(x,t)需要满足的条
4、件为：需要满足的条件为：可令：可令：11(4)、若边界条件为：、若边界条件为：作代换：作代换：得得W(x,t)需要满足的条件为：需要满足的条件为：可令：可令：12 例例1、设设弦弦的的一一端端（x=0）固固定定，另另一一端端（x=L）以以sint 作作周周期期振振动动，这里里n na/L(n=1,2a/L(n=1,2) )且且初初值值为为零零。试试研研究究弦弦的自由振动。的自由振动。解：依题意，得定解问题解：依题意，得定解问题 令：令：13由边界条件齐次化的多项式待定法可得：由边界条件齐次化的多项式待定法可得：代入原定解问题得：代入原定解问题得：该问题可用齐次化原理或级数法求解该问题可用齐次化
5、原理或级数法求解!14 但是，是否可以恰当选择但是，是否可以恰当选择W(x,t)，使关于，使关于V(x,t)的的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？ 由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化，可假定：化，可假定： 将将u(x,t)=V(x,t)+X(x)sint代入定解代入定解问题中分析，中分析，要使关于要使关于V(x,t)的定解的定解问题成成为齐次方程和次方程和齐次次边界条件，只需界条件，只需X(x)满足：足：15求出求出X(x)的解为的解为：于是于是将将代入原定解问题中得：代入原定解问题中
6、得：16由分离变量得：由分离变量得：原定解问题解为：原定解问题解为：172、特殊情形下齐次化方法、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以无关，则可以令：令：可以把关于可以把关于V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。边界条件。18例例2 求如下定解问题求如下定解问题 解解：令 将其代入定解问题中得：将其代入定解问题中得：19可将其分解为：可将其分解为：于是得：于是得：20由分离变量得一般解为：由分离变量得一般解为：由初值条件得：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：由傅立叶级数展开得：21
7、所以，原定解问题的解为：所以，原定解问题的解为：221、适用范围、适用范围 :(二二)、分离变量法总结、分离变量法总结有界域上的波动、热传导定解问题和一些特殊区有界域上的波动、热传导定解问题和一些特殊区域上的稳态场方程定解问题；域上的稳态场方程定解问题；2、基本要求、基本要求 :叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.3、主要方法、主要方法 :(1)、最基本的分离变量求解、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次要求齐次方程和齐次边界条件或园域上的周期性条件边界条件或园域上的周期性条件);(2)、固有函数展开法、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上
8、要求齐次边界条件或园域上的周期性条件的周期性条件)。234、主要步骤、主要步骤 :(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是原则是使边界条件表达式最简单。若边界是圆、扇形，使边界条件表达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极坐标，柱面坐标和球坐标柱形，球形，要使用极坐标，柱面坐标和球坐标表示定解问题；表示定解问题；(2)、若边界非齐次、若边界非齐次, 作函数代换化为齐次边界问题作函数代换化为齐次边界问题 ；(3)、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件，、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件，采用函数分解方法将定解问题进行分解。分解后采用函数分解方法将
9、定解问题进行分解。分解后考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。24应用举例应用举例解解：令 将其代入定解问题中得：将其代入定解问题中得：例例3 求如下定解问题求如下定解问题 25可将其分解为：可将其分解为：于是得：于是得：26由分离变量得一般解为：由分离变量得一般解为：由初值条件得：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：由傅立叶级数展开得：2728所以，定解问题的解为：所以，定解问题的解为：原定解问题的解为：原定解问题的解为：29例例4 解环形域内的定解问题解环形域内的定解问题： 分析：定解问题属于环形域内的泊松方程定解问分析：定解问题属于环形域内的泊松方
10、程定解问题，因此，不能直接分离变量求解。但是，通过题，因此，不能直接分离变量求解。但是，通过观察方程特征，很容易发现其泛定方程的特解形观察方程特征，很容易发现其泛定方程的特解形式为：式为： 30因此可采用特解化简方法化泊松方程为拉普拉斯因此可采用特解化简方法化泊松方程为拉普拉斯方程方程 解：设方程特解形式为：解：设方程特解形式为： 得：又令又令代入定解问题并采用极坐标得：代入定解问题并采用极坐标得：31极坐标系下拉氏方程的一般解为：极坐标系下拉氏方程的一般解为：根据等式特点，可令：根据等式特点，可令：由边界条件得：由边界条件得：32所以有：所以有：通过比较系数得：通过比较系数得：33得：得：原定解问题的解为：原定解问题的解为：34作业作业P7677习题习题3.6第第2、4、5、6题题35Thank You !36解解：令 取：取：例例 求如下定解问题求如下定解问题 37得定解问题为：得定解问题为：其中：其中：38对于对于(*),采用固有函数值法求解采用固有函数值法求解可令：可令：代入代入(*)中得：中得：39于是由傅立叶余弦展开公式有：于是由傅立叶余弦展开公式有：其中：其中：40当当n00时时有：有：其中：其中：41通过计算，得到微分方程的解为：通过计算，得到微分方程的解为：和和把它们代入所令一般解表达式即可得定解。把它们代入所令一般解表达式即可得定解。
