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1、第十二章第十二章9/20/20241结构力学12渐近法1 1、线性代数方程组的解法、线性代数方程组的解法: :直接法直接法渐近法渐近法2 2、结构力学的渐近法、结构力学的渐近法力学建立方程，数学渐近解力学建立方程，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。突出的优点是每一步都有明确的物理意义。3 3、位移法方程的两个特点、位移法方程的两个特点: :(1)(1)每个方程最多是五项式；每个方程最多是五项式；(2)(2)主系数大于副系数的总和，即主系数大于副系数的总和，即 kii kij， 适于适于渐近解法。渐近解法。
2、4 4、不建立方程组的渐近解法有：不建立方程组的渐近解法有：(1)(1)力矩分配法：力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。适于连续梁与无侧移刚架。(2)(2)无剪力分配法：无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。适于规则的有侧移刚架。(3)(3)迭代法：迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位移法的渐近解法。它们都属于位移法的渐近解法。kiikikkijkirkis12-1 渐近法概述9/20/20242结构力学12渐近法12-2 12-2 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念力矩分配法力矩分配法理论基础：位移法；理论基础：位移法；计算对象：杆端弯
3、矩；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上在数值上 = = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，端支承有关，而与近端支承无关。而与近端支承无关。一、转动刚度一、转动刚度S：9/20/20243结构力学12渐近法分配系数分配系数S
4、AB = 4i1SAB= 3i11SAB= i二、分配系数二、分配系数 设设A点有力矩点有力矩M，求，求MAB、MAC和和MADCABDiABiACiADM如用位移法求解：如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得于是可得9/20/20244结构力学12渐近法三、传递系数三、传递系数MAB = 4 iAB AMBA = 2 iAB AMAB = 3iABAMAB= iABAMBA = - iAB A 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。A
5、lAB近端近端远端远端ABAAAB9/20/20245结构力学12渐近法基本运算基本运算ABCMABMBAMBCABCMABPMBAPMBCPMBMBMBAMBCMB= MBA+MBCABC-MB0-MB+=最后杆端弯矩：最后杆端弯矩：MBA = MBAP+MBC =MBCP+MAB= MABP+然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号固端弯矩带本身符号12-3 单结点的力矩分配9/20/20246结构力学12渐近法例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B点加约束点
6、加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=MB=MBA+ MBC=-150150-90（2 2）放松结点）放松结点B B，即加，即加-60-60进行分配进行分配60ABC-60设设i =EI/l计算转动刚度：计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数分配系数：0.5710.429分配力矩分配力矩:-34.3-25.7-17.20+(3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图图(kNm)ABC=9/20/2
7、0247结构力学12渐近法12-4 多结点的力矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了放松，平衡了MC固定固定放松，平衡了放松，平衡了-MC固定固定固定固定放松，平衡了放松，平衡了渐近运算渐近运算9/20/20248结构力学12渐近法CB例例1.1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN0.4 0.60.667 0.333m-6060 -100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.
8、92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（图（kNm）9/20/20249结构力学12渐近法ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力求支座反力68.256.4B124.69/20/202410结构力学12渐近法上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：(1)将上式改写成将上式
9、改写成(2)余数余数(3)BC第一次第一次近似值近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结结 果果B=48.84C=-82.89精确值精确值48.88-82.06 MBC= 4iBCB+2 iBCC-100 =9/20/202411结构力学12渐近法 1 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3 3）结点不平衡力矩要变号分配。）结点不平衡力矩要变号分配。 4 4）结点不
10、平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算：结点不平结点不平衡力矩衡力矩（第一轮第一结点）（第一轮第一结点）固端弯矩之和固端弯矩之和（第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点）固端弯矩之和固端弯矩之和 加传递弯矩加传递弯矩传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩总等于附加刚臂上的约束力矩5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：力矩分配法小结：9/20/202412结构力学
11、12渐近法0.222111ABCDFEBCmBA= 40kNm mBC= - 41.7kNm mCB= 41.7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3 -13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5 -0.7-0.50.15 0.150.2-4.651.65-0.250.0743.45 3.45 -46.924.4-9.8 -14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图例例2.2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE9/20/202413结构力学12渐近法ABC1m5m1mEI
12、=常数常数D50kN5/6 1/65025-20.8 -4.2-20.8 +20.8+50例例3. 3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。带悬臂杆件的结构的力矩分配法。50kNmABMM/2ABC1m5m1mEI=常数常数D50kN9/20/202414结构力学12渐近法4EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作用力矩分配法计算，作M图。图。取取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.52kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(20)2.
13、74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF9/20/202415结构力学12渐近法2.85结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01
14、M01.4227.8024.96 19.940.560.29k计算之前计算之前, ,去掉静定伸臂去掉静定伸臂, ,将其上荷载向结点作等效平移。将其上荷载向结点作等效平移。k有结点集中力偶时有结点集中力偶时, ,结点不平衡力矩结点不平衡力矩= =固端弯矩之和结点集中固端弯矩之和结点集中 力偶力偶( (顺时针为正顺时针为正) )9/20/202416结构力学12渐近法20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4结点杆端ACEAGACCACHC
15、ECHm0.50.50.40.20.4159/20/202417结构力学12渐近法0.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)9/20/202418结构力学12渐近法例、例、 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l
16、2qqABDCEI1I2qEBF解：取等代结构如图。解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF=21iSBE=212iiiBF+=m211iiiBE+=m12)2(32121qllqmBE=212iii+i211ii +BEBF9/20/202419结构力学12渐近法ABDCEFBEBF212iii+i211ii +mMM图k当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。k当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i120i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。k由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。k如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。i2i1i2i19/20/202420结构力学12渐近法
