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1、2.3.1抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 二次函数是开口向上或向下的抛物线。二次函数是开口向上或向下的抛物线。yxo 对抛物线你有哪些认识？初中对抛物线你有哪些认识？初中接触过类似的曲线吗？接触过类似的曲线吗？ 平面内与一个定点平面内与一个定点F F 和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线定点定点 F F 叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点定直线定直线 L L 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线 （注意：注意：F F不在直线不在直线l l上上）抛物线的定义抛物线的定义FMLN回顾求曲线方程的一般步骤是：回顾求曲线方程的一般步骤是：1、建立直
2、角坐标系，设动点为、建立直角坐标系，设动点为(x,y)2、写出适合条件的、写出适合条件的x , y的关系式的关系式3、列方程、列方程4、化简、化简5、（证明）、（证明）FMlN设焦点到准线的距离为设焦点到准线的距离为常数常数 P(P0)P(P0)试试一一试试？K K如何建立坐标系如何建立坐标系, ,求出求出抛物线的标准方程呢抛物线的标准方程呢？(1)LFKMHxyo(2)LFKMHxyo(3)LFKMHxyo坐标系的不同建立方法坐标系的不同建立方法xyoFMlNK设设KF= p则则F（ ，0），），L：x =- p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y） 由抛物线的定义可知，由抛物线的
3、定义可知，化简得化简得 y2 = 2px（p0）2解：如图，取过焦点解：如图，取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线L L的直的直线为线为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y轴轴 抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导( p 0) 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做抛物线的标准方程抛物线的标准方程其中其中 p 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是: 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离抛物线的标准方程抛物线的标准方程即右焦点即右焦点F（ ，0），），左准线左准线L：x =- p2p2但但是是，对对于于一一条条抛抛物物线线，它它在在坐坐标标平平
4、面面内内的的位位置置可可以以不不同同，所所以以建建立立的的坐坐标标系系也也不不同同，所所得得抛抛物物线线的的方方程程也也不不同同，所所以抛物线的标准方程还有其它形式。以抛物线的标准方程还有其它形式。 方程方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，表示的抛物线，其焦点位于其焦点位于X X轴的正半轴上，其准线交于轴的正半轴上，其准线交于X X轴的负半轴轴的负半轴抛物线的标准方程抛物线的标准方程yxo抛物线的标准方程抛物线的标准方程抛物线的标准方程还有哪些形式抛物线的标准方程还有哪些形式? ?其它形式的抛物线的焦点与准线又其它形式的抛物线的焦点与准线又如何表示呢？如何表示呢？yxoyxoyxoyx
5、o图象开口方向 标准方程焦点准线向右向右向左向左向上向上向下向下 根据上表中抛物线的标准方程的不同根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系，应关系，如何判断抛物线的焦点位置，如何判断抛物线的焦点位置，开口方向开口方向？想一想想一想:第第一一：一一次次项项的的变变量量为为抛抛物物线线的的对对 称轴，焦点就在对称轴上称轴，焦点就在对称轴上;第二：一次项系数的正负决定了抛第二：一次项系数的正负决定了抛 物线的开口方向物线的开口方向. 例例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （
6、2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1 ）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2课堂练习课堂练习注意：求抛物线的焦点注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为一定要先把抛物线化为标准形式标准形式例例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（-2，0）（2）准线方程）准线方程 是是x = （3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2解：解：y2 =-8x解：解：y2 =x解：解：y2 =4x或或y2 =
7、-4x 或或x2 =4y或或x2 = -4y1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数都只含一个系数p，因此只要给出确定，因此只要给出确定p的的一个一个条件，条件，就可以求出抛物线的标准方程就可以求出抛物线的标准方程 2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解就会有多解由例由例1.和例和例2.反思研究反思研究已知抛物线的
8、标准方程 求其焦点坐标和准线方程先定位先定位，后定量后定量 例例3：求过点：求过点A（-3，2）的抛物的抛物线的标准方程。线的标准方程。AOyx（1）焦点在）焦点在y轴上，设抛物线的标准轴上，设抛物线的标准方程为方程为 x2 =2py（p0)，把把A（-3，2）代入方程，解得代入方程，解得p= （2）焦点在焦点在x轴上，轴上，设抛物线的标准设抛物线的标准方程为方程为y2 = -2px（p0) ，把把A（-3，2）代入方程代入方程，解得解得p= 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 解：由已经知，抛物线有二种情况：解：由已经知，抛物线有二种情况： 例例4.4.一种卫星
9、接收天线的轴截面如右图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。3.抛物线的标准方程类型与图象特征的抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系对应关系及判断方法及判断方法2.抛物线的抛物线的标准方程与其焦点、准线标准方程与其焦点、准线4.注重注重数形结合数形结合的思想的思想 1 1. .抛物线的抛物线的定义定义课堂小结课堂小结5.注重注重分类讨论分类讨论的思想的思想yxo向右向右yxo向左向左yxo向上向上yxo向下向下图象开口方向 标准方程焦点准线 1 1、课本作业；、课本作业； 2 2、你能发现二次函数与抛物线标、你能发现二次函数与抛物线标准方程之间的关系吗？试写出你发现的准方程之间的关系吗？试写出你发现的结论；结论； 3 3、已知抛物线方程为、已知抛物线方程为x=ayx=ay2 2（a0) a0) 试讨论抛物线的开口方向、焦试讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程。点坐标和准线方程。作业作业
