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1、一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义二、第二型曲线积分的性质二、第二型曲线积分的性质三、三、第二型曲线积分的的计算第二型曲线积分的的计算 1.1.第二型曲线积分第二型曲线积分四、四、第一、二型曲线积分的关系第一、二型曲线积分的关系一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义1.定向曲线定向曲线 带有确定走向的曲线带有确定走向的曲线定向曲线的参数表达式定向曲线的参数表达式定向曲线的向量表达式定向曲线的向量表达式 代表代表 的反向曲线，的反向曲线， 与与 是两条不同的定向曲线是两条不同的定向曲线. . 规定规定: : 当曲线当曲线L L为简单封闭曲线时为简单封闭曲线时, ,可取曲线
2、上任一可取曲线上任一点为始点点为始点, ,沿规定方向走一周回到该点沿规定方向走一周回到该点. .故该点也是故该点也是终点终点. .如无特殊说明如无特殊说明, ,本书约定逆时针方向为正向本书约定逆时针方向为正向. . 由参数方程给出的定向曲线由参数方程给出的定向曲线 在其上任一点在其上任一点处的切向量为处的切向量为: :2.2.切向量切向量 若取由始点起到若取由始点起到L L上动点（上动点（x,y,zx,y,z）的弧长为）的弧长为参数则曲线方程为：参数则曲线方程为：一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义 其中当其中当ababab时时 取负号取负号. .我我们们规定与规定与 走向相同的的
3、切向量为有向曲线的走向相同的的切向量为有向曲线的切向量切向量一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义由弧微分公式得到：由弧微分公式得到：则相应的向量式表示为：则相应的向量式表示为：因此因此 是沿弧长增加方向的单位切向量是沿弧长增加方向的单位切向量则则3.3.定义定义问题：设一个质点在引力场问题：设一个质点在引力场 沿着有向曲线沿着有向曲线L L由由A A移动到移动到B.B.问变力问变力 对这个质对这个质点做了多少功点做了多少功? ? 在此我们依旧引进分点系在此我们依旧引进分点系. .计算变力在每一小计算变力在每一小弧长上对质点所做的功弧长上对质点所做的功, ,最后加起来再求其极限最后加
4、起来再求其极限. .一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义先考虑变力先考虑变力 F F 沿平面曲线沿平面曲线 L L 所作的功。所作的功。根据常力所作的功根据常力所作的功对曲线进行分割对曲线进行分割力力一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义若和式极限若和式极限存在存在,并且与并且与L的分割方式以及诸点的取法无关的分割方式以及诸点的取法无关,则则称上式为称上式为 沿定向曲线沿定向曲线L的第二型曲线积分的第二型曲线积分,记作记作1.1.定义
5、定义 设设 ，曲线，曲线L L为为xoyxoy平面上的定向光滑曲线平面上的定向光滑曲线, ,对对L L引进分点系引进分点系 当当 在光滑在光滑( (或分段光滑或分段光滑) )的定向曲线的定向曲线L L上上连续时连续时, ,第二型曲线积分必然存在。第二型曲线积分必然存在。一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义类似地，对向量函数类似地，对向量函数可定义第二型曲线积分可定义第二型曲线积分2.2.可加性可加性 若若 ，且，且 ， 沿沿L可积，则可积，则二、第二型曲线积分的性质二、第二型曲线积分的性质1.线性线性 设设和和都为常数都为常数, , 沿沿L可可积积, ,则则4.长大不等式长大不等式
6、 设设 ，曲线，曲线L的长度是的长度是 , ,则则二、第二型曲线积分的性质二、第二型曲线积分的性质三、第二型曲线积分的计算三、第二型曲线积分的计算设积分曲线设积分曲线L L的参数方程为的参数方程为因此第二型曲线积分可按下式化为定积分计算则则说明：说明：2) 2) 第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不下限不一定小于上限一定小于上限 . .3) 3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分计算第二类曲线积分时，由于涉
7、及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性曲线的定向问题，要慎用对称性. . 一般地，一般地，在曲线积分化为定积分后在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能再对定积分考虑能否用对称性简化计算否用对称性简化计算 . .特殊情形特殊情形（2）L: y起点为起点为c，终点为，终点为d. 例例1解解 A(a,0,0)对应与参数对应与参数t=0, ,B(a,0,c)对应与参数对应与参数计算曲线积分计算曲线积分例例2其中其中L L是椭圆是椭圆 y xzO11且从且从z z轴正向看去轴正向看去L L取顺时针方向取顺时针方向根据公式化为定积分计算根据公式化为定积分计算三、第二型曲线积分的计算三、第二型曲线积分的计算例
8、例3解解三、第二型曲线积分的计算三、第二型曲线积分的计算例例4解解注注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同径不同积分结果不同. 若曲线取由始点若曲线取由始点A的弧长为参数，曲的弧长为参数，曲线长为线长为 ，设曲线方程为，设曲线方程为对一、二型曲线积分有对一、二型曲线积分有因为曲线因为曲线L L在点在点P(x,y,z)P(x,y,z)的单位切向量可表示为的单位切向量可表示为四、第一、二型曲线积分的关系四、第一、二型曲线积分的关系例例5.四、第一、二型四、第一、二型曲线积分的关系曲线积分的关系四、第一、二型四、第一、二型曲线积分的关系曲线积分的关系四、第一、二型曲线积分的关系四、第一、二型曲线积分的关系例例6 6 所以所以四、第一、二型曲线积分的关系四、第一、二型曲线积分的关系于是于是
