第五章误差椭圆

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1、 误差理差理论与与测量平差量平差主 编：夏春林副 主 编：钱建国、张恒璟参 编：李伟东、文晔编写高校：辽宁工程技术大学 吉林建筑大学 大连理工大学城市学院1编辑ppt第第5章章 误 差差 椭 圆【学习要点及目标】了解点位误差的基本概念；熟悉点位误差计算步骤与方法；熟悉误差曲线、误差椭圆、相对误差椭圆的计算步骤。2编辑ppt5.1 点位点位误差概述差概述平面控制测量的目的是确定待定控制点的一对平面直角坐标。由于观测值总是带有误差，因而根据观测值，通过平差计算所得的是待定点的最或然坐标x、y，并不是其坐标真值、。如图5-1所示，P为某待定点的真实位置，为平差计算所求得的最或然点位，那么点相对P点的

2、偏移量就是P点的点位真误差(简称真位差)。在x、y坐标轴上的投影分别为(5-1) 3编辑ppt5.1 点位点位误差概述差概述由图5-1可知5-2图5-1 点位真误差4编辑ppt,5.1 点位点位误差概述差概述P点的最或然坐标x、y都是由同一组观测值通过平差计算所求得的。设平差后的坐标x、y与观测值向量之间的线性函数关为 显然，随着观测值的不同，x和y也将取得不同的数值。换言之，对应于不同的子样观测值，将得到不同的x、y值，因 而就出现不同的 所以它们都是随机变量。对该函数关系取数学期望，得值5编辑ppt根据方差的定义，并顾及式(5-1)，则有5.1 点位点位误差概述差概述对式(5-2)两边取数

3、学期望，得式中， ，则 是P点真位差平方的理论平均值，即P点的点位方差，若记为 则 (5-3) 6编辑ppt式中， 分别为P点在x、y方向上的中误差，或称为x、y方向上的位差。将式(5-3) 开方即得P点的点位中误差 如果将图5-1中的坐标系旋转某一个角度，即以 为坐标系(图5-2)，则P、点的 坐标分别为 虽然在新坐标系中对应的真误差 的大小变了，但 的大小将不因坐标轴的变动而发生变化，此时 5.1 点位点位误差概述差概述7编辑ppt据式(5-2)、式(5-3)可以直接写出可见，点位方差 总是等于两个相互垂直方向上的位差的平方和，与坐标系的选择无关 5.1 点位点位误差概述差概述8编辑ppt

4、图5-2 位差大小与坐标系无关5.1 点位点位误差概述差概述9编辑ppt如图5-1所示，如果再将P点的真位差 投影于AP方向和垂直于AP的方向上，则得 此时有 仿式(5-4)的由来，又可以写出 (5-5)为纵向位差 为横向位差。通过纵、横向位差来求点位误差，这在测量工作中是一种常用的方法。 5.1 点位点位误差概述差概述10编辑ppt5.2 点位点位误差差计算算5.2.1 点位方差因为待定点的x、y坐标平差值的方差可表达为(5-6)就是该点最或然坐标x和y的权倒数。 (2) 按条件平差时。当三角网按条件平差时，因待定点的坐标平差值是观测值的函数，这时可根据第1章中的协因数传播律来求待定点坐标平

5、差值的协因数。11编辑ppt5.2.2 任意方向的位差任意方向的位差如图5-3所示，设某任意方向与x轴夹角为 为求待定点P在方向 上的真位差 需先找出 与x、y方向上的真位差 的函数关系 P点在 方向上的真位差，实际上就是P点的真位差 在 方向上的投影值 由图5-3可以看出 的关系为 12编辑ppt5-3 、的关系根据广义传播律，得顾及式(5-6)，又得 式(5-11)就是求任意方位 方向上点位方差的基本公式 5.2.2 任意方向的位差任意方向的位差13编辑ppt5.2.3 位差的极大位差的极大值、极小、极小值与极与极值方向方向在式(5-11)中，对于某具体平差问题 和协因数Q为与 角无关的定

6、值，即 是以为单一自变量的函数。因此，只要将 对 求导，并令其为零，即可求出取得极值时的方向 也就是使即由此得(5-12) 14编辑ppt5.2.3 位差的极大位差的极大值、极小、极小值与极与极值方向方向根据式(5-12)可得两个解 极值方向为 为判断哪一个是极大值方向，哪一个是极小值方向，将 代入式(5-11)，得上式中，括号内前两项恒为正值，因此，当 同号时， 为极大值 而 为极小值；当 异号时， 为极小值，而 15编辑ppt为极大值。习惯上，用E表示极大值，F表示极小值， 表示极大值方向， 表示极小值方向。 总是互差 即 将 分别代入式(5-11)，得两个位差极值的初步表达式为下面导出计

7、算位差极值的常用公式。将 代入式(5-11)，并考虑到 5.2.3 位差的极大位差的极大值、极小、极小值与极与极值方向方向16编辑ppt得顾及式(5-12)，则由三角学知 则5.2.3 位差的极大位差的极大值、极小、极小值与极与极值方向方向17编辑ppt5.2.3 位差的极大位差的极大值、极小、极小值与极与极值方向方向令则这就是求极值 E、F 的常用公式。不难看出， 与 E、F 间存在以下关系，即(5-14) (5-15) (5-16) 18编辑ppt5.2.4 用极用极值表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差任意方向位差计算公式(5-11)中，方向 是从x轴算起的，并且是通过协因数来计算位

8、差。但既然已经算得了极值和极值方位，那么很多时候，以极值方向作为起始方向并通过极值来 上的位差计算公式，此处方向 是以极大值E的方向为起始轴的 即把xOy坐标系旋转 角后形成 坐标系，见图5-4 19编辑ppt图5-4 以E为起始轴时的角度关系5.2.4 用极用极值表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差20编辑ppt由图5-4中可知，任意方向在两个坐标系中的方位角有以下关系，即把 代入式(5-10)，得 5.2.4 用极用极值表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差21编辑ppt顾及 以及式(5-6)，有 由式(5-12)知显然， 再顾及式(5-13)，则得 再顾及式(5-13)，则得 此即

9、以极大值方向为起始轴，用E、F表示的任意方向 上位差 的实用公式 (5-17)5.2.4 用极用极值表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差22编辑ppt例5-1 如图5-5所示，在固定三角形内插入一点P，经过平差后得P点坐标的协因数阵为(cm2/) 单位权方差为 =1.962。试求:(1) 位差的极值方向 (2) 位差的极大值E、极小值F与P点的点位中误差。(3) 已算出PM方向的方位角 求PM方向上的位差。5.2.4 用极用极值表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差23编辑ppt图5-5 三角形内插一点解 (1) 由式(5-12)得则5.2.4 用极用极值表示任意方向上的位差表示任意方向

10、上的位差24编辑ppt(2)由式(5-14)和式(5-15)得所以5.2.4 用极用极值表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差25编辑ppt(3) 将PM的方位角 直接代入式(5-11)，得或者，因为所以将E、F和 值代入式(5-17)同样可得即5.2.4 用极用极值表示任意方向上的位差表示任意方向上的位差26编辑ppt5.3 误 差 曲 线应该看到，点位中误差 虽然可以评定待定点的点位精度，但它却不能全面反映该点在任意方向上的位差大小。即使上面提到的 、 、 、 、以及E、F、 。等，也只是待定点在几个特定方向上的位差。在工程控制测量中，除了计算待定点在某给定方向上的位差外，有时为了更清楚

11、、直观地了解某些待定点的位差在平面各方向上的分布情况，需要把待定点在各方向上的位差都图解出来，以便分析研究其点位误差特性，优化测量方案。 27编辑ppt如果以不同的 值代入式(5-17)，算出各个方向的值，则以 和 为极坐标的点的轨迹必为一闭合曲线(图5-6)，称为误差曲线，它把各方向的位差清楚地图解了出来。很显然，误差曲线是关于极值方向(即 轴、 轴)对称的，而且这条曲线在任意方向 上的向径 就是点P在该方向的位差。5.3 误 差 曲 线28编辑ppt5.3 误 差 曲 线 图5-6 点的误差曲线29编辑ppt5.3 误 差 曲 线 利用误差曲线图不但可以得到坐标平差值在各个方向上的位差，甚

12、至可以得到坐标平差值函数的中误差。例如，图5-7所示为控制网中P点的点位误差曲线，A、B和C为已知点。在该图中可以确定以下误差信息：图5-7 特定方向方差的图解30编辑ppt5.3 误 差 曲 线 (1) 待定点任意方向的位差。(5-18)(2) 待定点P至任意已知三角点(视为无误差)的边长中误差。例如，PA边SPA平差后的边长中误差为 (5-19)31编辑ppt5.3 误 差 曲 线 (3) 待定点P至任意已知三角点的平差后方位角的中误差。例如，欲求PA边平差后方位角 的中误差 ，则可先在图中量出垂直于PA方向上的位差 ，这就是PA边的横向位差，于是可求得 (5-20)式中， 为常数2062

13、65。32编辑ppt5.4 误 差 椭 圆 误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便，因此降低了它的实用价值。但其形状与以E、F为长、短半轴的椭圆很相似，如图5-8所示。而椭圆是一种规则图形，作图也比较容易，所以实际上常用以E、F为长、短半轴的椭圆来代替误差曲线，并称为误差椭圆。因此一般情况下，总是先求出待定点的点位误差椭圆，再通过误差椭圆求得待定点在任意方向上的误差，起到与误差曲线同样的作用，方便而又全面地反映点位误差在各个方向上的分布情况。如图5-8所示，在以 为轴的坐标系中，误差椭圆的方程为 (5-21)33编辑ppt5.4 误 差 椭 圆 图5-8 误差曲线与误差椭圆34编辑ppt5.4

14、 误 差 椭 圆 可见，在平面上确定误差椭圆的参数为 、E、F。有了这3个参数，便可以在控制网图上绘制出待定点的误差椭圆。为了更清晰地表达误差大小，具体绘制时，对误差椭圆要使用和控制网图形不同的更大的比例尺进行夸张显示。为了说明如何在误差椭圆上图解误差信息而达到在误差曲线上一样的效果，就必须讨论误差椭圆与误差曲线之间的图解关系：对于与 轴夹角为 的某个方向，过椭圆上适当一点T ( )作切线TQ与其垂直，相交于垂足D点。那么，线段 的长度就一定是误差曲线上 方向的位差 。下面就来证明 。35编辑ppt5.4 误 差 椭 圆 由图5-8可知将上式平方，得 (5-22)设过椭圆上点T的切线的斜率为K

15、，由式(5-21)得又知切线TD与直线OD垂直，则切线斜率又应为则有即36编辑ppt5.4 误 差 椭 圆 将上式平方并两端同乘以E2F2，并移项得将上式代入式(5-22)，有因T ( )是椭圆上的点，故其坐标满足方程则将式(5-23)与式(5-17)对比，可知37编辑ppt5.4 误 差 椭 圆 以上的证明也间接说明了如何利用误差椭圆求某点在任意方向 上的位差 的方法。即在求 时，只要作椭圆的切线与 方向垂直，则垂足与原点的连线长度就是 方向上的位差。在以上讨论中，都是以一个待定点为例。如果网中有多个待定点，可以利用上述方法，依次为每一个待定点确定一个误差椭圆并求解误差信息。38编辑ppt5

16、.5 相对误差椭圆 在平面控制网中，有时不仅需要了解待定点相对于起始点的精度，还要研究任意两个待定点之间相对位置的精度。前面讨论了利用点位误差椭圆求解某些量的中误差的方法，但却不能确定待定点与待定点之间的某些精度指标，因为这些待定点间的坐标是相关的。为了直观展示两个待定点之间的相对精度，就需要进一步作出两待定点之间的相对误差椭圆。设有两个待定点为Pi和Pk，其坐标平差值的协因数阵为39编辑ppt5.5 相对误差椭圆 两待定点平差后的相对位置可通过坐标差来表示，即其矩阵表达式为 (5-24)根据协因数传播律，得 (5-25)利用这些协因数，根据式(5-12)和式(5-14)、式(5-15)，就可

17、得到计算Pi和Pk点间相对误差椭圆元素的3个公式，即 (5-26)40编辑ppt5.5 相对误差椭圆 在计算出相对误差椭圆元素以后，便可用绘制误差椭圆的方法画出相对误差椭圆。只是误差椭圆是以待定点为中心绘制的，而相对误差椭圆则通常以两待定点连线的中点为中心绘制。根据相对误差椭圆便可图解出所需要的任意方向上的相对位差大小。例5-2 如图5-9所示的测角网中，已知点为A、B、C，其坐标分别为A(14899.84 m，130.81 m)、B(22939.70 m，2136.89 m)、C(51721.82 m，15542.85 m)；待定点为P1、P2，平差后坐标分别为P1(16467.745 m，

18、4986.847 m)、P2(6126.997 m，5957.482 m)；单位权中误差 为 ；未知数的协因数阵为41编辑ppt5.5 相对误差椭圆 试作出P1、P2点间的相对误差椭圆。图5-9 测角网示意图42编辑ppt5.5 相对误差椭圆 解 由式(5-25)和式(5-26)得43编辑ppt5.5 相对误差椭圆 根据以上数据，即可以适当的比例尺，在两待定点连线的中点上绘相对误差椭圆(图5-10中P1、P2点连线的中间)。图5-10 误差椭圆与相对误差椭圆44编辑ppt5.5 相对误差椭圆 有了P1、P2点的相对误差椭圆，就可以按5.4节所述方法，图解得到所需要的任意方向上的位差。例如，要确

19、定P1、P2点间边长误差 ，它就是 方向上的位差，只要在相对误差椭圆上作垂直于 的椭圆切线，交 于a点，则 = ；同样，在相对误差椭圆上作平行于 的椭圆的切线，与过 点且垂直于 的射线交于b点，则可得P1P2边的横向位差 ，进而可以求得P1P2边的方位角误差。45编辑ppt5.5 相对误差椭圆 在精度要求较高的工程测量中，往往利用误差椭圆来对布网方案进行精度分析。要确定椭圆参数 、E和F，只需要知道单位权中误差 和各个协因数。 值可以根据技术设计中所拟定的布网等级、观测方案、使用的观测仪器等条件确定；而协因数阵就是该网按间接平差时的法方程式系数阵的逆阵。当在地形图上设计了三角网的点位后，计算误

20、差方程的系数所需要的数据(如各边长和方位角的概略值等)可以从图上量取，而观测值的权可以根据实际情况事先加以确定，于是可以求得法方程式系数阵和协因数阵，这样就可以估算出椭圆参数进而绘出误差椭圆了。46编辑ppt5.5 相对误差椭圆 如果估算的结果符合工程对控制网提出的要求，可以认为该设计方案是可行的；否则就要修改设计方案后重新估算，直到达到预期的精度要求。当然，在有条件的情况下，还可以做出多个设计方案，兼顾布网难易程度、建网费用开支、施测工作量大小等因素，在满足精度要求的前提下，从中选择最优的布网方案。47编辑ppt习 题 5-1 具有一个待定点的三角网，用间接平差法得到的法方程式为已知单位权中误差 ，、均以cm为单位，试求：(1) 待定点误差椭圆的极大值方向 及极小值方向 。(2) 极大值E和极小值F，以及待定点点位中误差 。(3) 方向上的位差 。48编辑ppt习 题 5-2 在某三角网中插入P1、P2两个待定点，经间接平差计算，得单位权中误差 0.8和参数的协因数阵为平差时待定点坐标近似值改正数 、 均以dm为单位。试求P1、P2点的点位误差椭圆以及P1、P2点间的相对误差椭圆。、49编辑ppt