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1、不懂数学者，不得入内不懂数学者，不得入内！2024/9/191 一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的中的“柏拉图学园柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着，门。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：口挂着一块木牌，上面写着：“不懂数学者，不得不懂数学者，不得入内入内! ”! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的
2、呀，如果懂了，还来这儿数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么做什么? ?正在人们面面相觑，不知是退、是进的时正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，有一个人从人群中走了出来，只见他整了整衣候，有一个人从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。头也没有回地走了进去。2024/9/192数学的发展历程数学的发展历程顺德一中顺德一中顺德一中顺德一中-李忠华李忠华李忠华李忠华2011.9.272011.9.272011.9.272011.9.272024/9/193初等数学的开创初等数学
3、的开创公元前公元前6世纪世纪6世纪世纪数学萌芽时期数学萌芽时期远古远古公元前公元前6世纪世纪近代数学创立时期近代数学创立时期17世纪世纪18世纪世纪近代数学成熟时期近代数学成熟时期19世纪初世纪初现在现在初等数学交流发展时期初等数学交流发展时期公元公元6世纪世纪16世纪末世纪末2024/9/194“ 用十个记号来表示一切数，每个记号不但有用十个记号来表示一切数，每个记号不但有绝对值，而且有位置的值，这种巧妙的方法绝对值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的它今天看来如此简单，以致我们忽视
4、了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的文明中列在首位；而当我们想在一切有用的文明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两个人物阿基米到它竟逃过了古代最伟大的两个人物阿基米德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注时，我德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了们更感到这成就的伟大了.” 拉普拉斯拉普拉斯 数学萌芽时期数学萌芽时期远古远古公元前公元前6世纪世纪2024/9/195初等数学时期初等数学时期公元前公元前6世纪世纪6世纪世纪1:演绎体系的形
5、成：演绎体系的形成：几何原本几何原本-古希腊古希腊.2:代数学的发展：代数学的发展：算术算术-古希腊古希腊算术、几何、代数、三角术全面开创，崇尚逻辑证明和推算术、几何、代数、三角术全面开创，崇尚逻辑证明和推理，形成理论体系理，形成理论体系2024/9/196古古 希希 腊腊 数数 学学公元前公元前600年年600年年7数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在古希腊学者登场之前是不存在的。说，在古希腊学者登场之前是不存在的。 -M-M克莱克莱因因 柏拉图学派诡辩学派埃利亚学派欧多克斯学派亚里士多德学派毕达哥拉斯学派伊奥尼亚学派8一、古希腊数学的先行者
6、一、古希腊数学的先行者伊奥尼亚学派创始人古希腊最早的数学家、哲学家“希腊七贤”之首泰勒斯最先证明了如下的定理泰勒斯最先证明了如下的定理: :1.1.两直线相交，对顶角相等。两直线相交，对顶角相等。2.2.等腰三角形两底角相等。等腰三角形两底角相等。 3.3.圆被直径二等分。圆被直径二等分。 4.4.半圆上的圆周角是直角。半圆上的圆周角是直角。 -泰勒斯定理泰勒斯定理5.5.两个三角形全等的边角边定理。两个三角形全等的边角边定理。从泰勒斯开始，命题证明成为从泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。希腊数学的基本精神。泰勒斯泰勒斯9 公元前公元前551前前479年年 精于哲学、数学、天文精于哲
7、学、数学、天文 学、音乐理论学、音乐理论二、毕达哥拉斯学派二、毕达哥拉斯学派1毕达哥拉斯毕达哥拉斯（Pythagoras） 希腊论证数学的另一位祖师希腊论证数学的另一位祖师 毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉斯学派创始人 信奉信奉“万物皆数万物皆数”费洛罗斯曾说费洛罗斯曾说: :“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”102勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理（毕达哥拉斯定理）二、毕达哥拉斯学派二、毕达哥拉斯学派112002.8 国际数国际数学家大会会徽学家大会会徽欧几里
8、得的证明原图赵爽的“弦图”12二、毕达哥拉斯学派二、毕达哥拉斯学派3不可公度不可公度万物皆数万物皆数可公度可公度第一次数学危机第一次数学危机不可公度不可公度希帕苏斯希帕苏斯发现阿基米德证明1314理性的火炬已经点燃理性的火炬已经点燃, ,希腊数学的黄金时期即将来临。希腊数学的黄金时期即将来临。那是一个涌动着智慧、思想和理性的光辉时代那是一个涌动着智慧、思想和理性的光辉时代15欧几里德与欧几里德与几何原本几何原本几何原本几何原本是希腊时期乃至整个人类历是希腊时期乃至整个人类历史上最重要的数学著作史上最重要的数学著作.古希腊数学家欧几古希腊数学家欧几里德将之前的希腊数学进行了整理里德将之前的希腊数
9、学进行了整理,它成书它成书与公元前与公元前300年左右年左右.16几何原本几何原本建立的历史背景建立的历史背景1、泰勒斯、泰勒斯开始了命题的证明，为几何建立到开始了命题的证明，为几何建立到论证体系中迈出了第一步。论证体系中迈出了第一步。2、毕达哥拉斯学派开始了数学的抽象研究。、毕达哥拉斯学派开始了数学的抽象研究。3、体系的划定，主要是研究几何作图的三、体系的划定，主要是研究几何作图的三大问题：大问题：化圆为方、立方倍积、三等分任意角。化圆为方、立方倍积、三等分任意角。4、内容的积累、方法的积累、内容的积累、方法的积累穷竭法穷竭法6、欧几里德完成了对、欧几里德完成了对几何原本几何原本的历史的历史
10、性整理性整理5、逻辑作为工具、逻辑作为工具17几何原本几何原本的基本内容分析的基本内容分析目录目录第一卷第一卷几何基础几何基础第八卷第八卷数论（二）数论（二）第二卷第二卷几何与代数几何与代数第九卷第九卷数论（三）数论（三）第三卷第三卷圆与角圆与角第十卷第十卷无理量无理量第四卷第四卷圆与正多边形圆与正多边形第十一卷第十一卷立体几何立体几何第五卷第五卷比例比例第十二卷第十二卷立体的测量立体的测量第六卷第六卷相似相似第十三卷第十三卷建正多面体建正多面体第七卷第七卷数论数论（一）（一）18几何原本几何原本的基本内容分析的基本内容分析五条公设五条公设1.过两点能作且只能作一过两点能作且只能作一直线直线；
11、2.线段线段(有限直线有限直线)可以无限地延长；可以无限地延长；3.以任一点为圆心以任一点为圆心,任意长为半径任意长为半径,可作一圆；可作一圆；4.凡是直角都相等；凡是直角都相等；5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两个内角之和小于180，则这两条直线经无限延长后在这一侧，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交一定相交五条公理五条公理1.等于同量的量彼此相等；等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；等量加等量，其和相等；3.等量减等量，其差相等；等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；彼此
12、能重合的物体是全等的；5.整体大于部分。整体大于部分。19几何原本几何原本对数学发展的意义对数学发展的意义几何原本几何原本几乎概括了古希腊当时所有的数学几乎概括了古希腊当时所有的数学理论理论,包括几何学包括几何学,数论等数论等,成为近代西方数学的成为近代西方数学的重重要源泉要源泉.几何原本几何原本是希腊人根据几何材料的内在联系是希腊人根据几何材料的内在联系,以概念作为判断和推理的基础逐步形成了以概念作为判断和推理的基础逐步形成了数学证数学证明明的观念的观念,这是对数学认识的一个质的飞跃这是对数学认识的一个质的飞跃几何原本几何原本自成书以后自成书以后,在数学界产生巨在数学界产生巨大而深远的影响大
13、而深远的影响,成为数学史上乃至科学史成为数学史上乃至科学史上严格的上严格的演绎的公理化体系演绎的公理化体系的的最早最早的典范的典范.20（约前约前287年年前前212年），伟大的年），伟大的古希腊哲学家、古希腊哲学家、数学家、物理学数学家、物理学家、力学家，静家、力学家，静力学和流体静力力学和流体静力学的奠基人。学的奠基人。21 代数的发展代数的发展二次方程的解法二次方程的解法三次、四次方程的解法三次、四次方程的解法22 一元多项式方程是否可用一元多项式方程是否可用 根式求解的问题根式求解的问题卡丹公式23代数学的中心问题即五次以上的一元多项式代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用
14、根式求解的问题时方程是否可用根式求解的问题时,经由经由J.-L.拉格拉格朗日、朗日、P.鲁菲尼、鲁菲尼、N.H.阿贝尔和阿贝尔和E.伽罗瓦引入伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。问题。一元三次、四次方程求根公式找到后，人们一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。到结果的人当中，不乏有大数学家。2024/9/1924n时至今日，群的概念已经普遍地被认
15、为是数学及时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、
16、自动机理论等方面，都有重以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广要的应用。作为推广“群群”的概念的产物：半群和的概念的产物：半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。序的研究，已在迅速地发展。 2024/9/1925 16511651年，法国一位贵族梅年，法国一位贵族梅素素向法国数学家、物向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的 “ “分赌注分赌注”问题问题问题是这样的
17、问题是这样的: :一次梅一次梅素素和赌友掷硬币，各押赌注和赌友掷硬币，各押赌注3232个金币双方约定，梅个金币双方约定，梅素素如果先掷出三次正面，如果先掷出三次正面，或者赌友先掷三次正面，就算赢了对方赌博进行或者赌友先掷三次正面，就算赢了对方赌博进行了一段时间，梅了一段时间，梅素素已经两次掷出正面，赌友已经一已经两次掷出正面，赌友已经一次掷出正面这时候梅次掷出正面这时候梅素素接到通知，要他马上陪同接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了请问：两个人应国王接见外宾，赌博只好中断了请问：两个人应该怎样分这该怎样分这6464个金币才算合理呢个金币才算合理呢? ?分赌注分赌注26 赌友说赌友
18、说，他要再碰上两次正面，或梅，他要再碰上两次正面，或梅素素要再要再碰上一次正面就算赢，所以碰上一次正面就算赢，所以他主张赌金应按他主张赌金应按2：1来分。来分。即即自己自己分分6464个金币的个金币的 ，梅素梅素分分6464个金币个金币的的 梅梅素素争辩说，不对，即使下一次赌友掷出了正面，争辩说，不对，即使下一次赌友掷出了正面，他还可以得到他还可以得到 ，即，即3232个金币；再加上下一次他个金币；再加上下一次他还有一半希望得到还有一半希望得到1616个金币，所以他应该分得个金币，所以他应该分得6464个个金币的金币的 ，赌友只能分得，赌友只能分得6464个金币的个金币的 两人到两人到底谁说得
19、对呢底谁说得对呢? ?27帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。可是，梅素提出的“分赌注”的问题，却把他难住了他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅素的分法是对的，他应得64个金币的四分之三，赌友应得64金币的四分之一。这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论结果他们这样回答了梅素的问题；“先做一个树结构图，根据树结构图A胜的概率是34时，就把赌钱的34分给A，把剩下的14分给B就可以了”于是，概率的计算就这样产生了28 讨论结果，讨论结果，惠更斯惠更斯把它写成一本书叫做把它写成一本书叫做论赌论赌博中的
20、计算博中的计算(1657(1657年年) )，这就是，这就是概率论概率论最早的一部最早的一部著作著作 概率论概率论现在已经成了数学的一个重要分支，在科学现在已经成了数学的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用技术各领域里有着十分广泛的应用 29哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题30例1（七桥问题）如图，能否从某个桥出发，走过所有的桥，但每座桥只经过一次？ABCD？BACD31BACD2421331333532图 论欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。2024/9/1933点线图拓扑学topology:不注重数量关系和形状特征，而注重点与
21、点的连接方式！如：建立校园网络系统。从网络中心到各办公楼、教学楼、学生宿舍楼，到各办公室、教室和寝室。你任何设计呢？你需要建立一个网络的拓扑图即可。实际上如果两个图的点与连接方式一致，它们实际上就是拓扑意义下的一张图。34课后学习建议：课后学习建议：n1.去读书馆，借阅一本关于数学史的书；去读书馆，借阅一本关于数学史的书；比如：比如：数学史上的三次危机数学史上的三次危机、古今数学思想古今数学思想等。等。n2.找一位感兴趣的数学家，了解他的生平轶事；找一位感兴趣的数学家，了解他的生平轶事；n3.做一个研究兴学习的课题做一个研究兴学习的课题比如：比如：中国古代的数学成就中国古代的数学成就、中外数学
22、发展对比中外数学发展对比等。等。35祝愿同学们祝愿同学们热爱数学，热爱数学， 学好数学！学好数学！2024/9/1936 再见！再见！2024/9/1937希尔伯特希尔伯特23问问:1 1 连续统假设连续统假设 2 2 算术公理的算术公理的相容性相容性3 3 两个等底等高四面体的体积相等问题两个等底等高四面体的体积相等问题4 4 两点间以直线为距离最短线问题两点间以直线为距离最短线问题 5. 5. 一个连续变换群的李氏概念一个连续变换群的李氏概念6. 6. 物理学的公理化物理学的公理化 7. 7. 某些数的无理性与超越性某些数的无理性与超越性 8. 8. 素数问题素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴
23、赫猜想及孪生素数问题等。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。9 9 在任意数域中证明最一般的在任意数域中证明最一般的互反律互反律1010 丢番图方程丢番图方程可解性可解性2024/9/193811系数为任意代数数的二次型系数为任意代数数的二次型.12将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去13不可能不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程用只有两个变数的函数解一般的七次方程14证明证明某类完备函数系的有限性某类完备函数系的有限性15舒伯特计数演算的严格基础舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中一个典型问题是：在
24、三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？16代数曲线和代数曲线面的拓扑问题代数曲线和代数曲线面的拓扑问题17半正定形式的平方和表示半正定形式的平方和表示18用全等多面体构造空间用全等多面体构造空间19正则变分问题的解正则变分问题的解是否是否一定解析一定解析20一般边值问题一般边值问题21具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明22由自守函数构成的解析函数的单值化由自守函数构成的解析函数的单值化23变分法的进一步发展变分法的进一步发展2024/9/19391975年，在美国伊利诺斯大学召开的
25、一年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。其余一半的大多数也都有重大进展。1976年，在美国数学家评选的自年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第希尔伯特第1、第、第5、第、第10问题的解决。由此问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。的无上光荣。2024/9/1940问题是数学的心脏”-P.R.Halmos再见！再见！2024/9/1941
