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1、第五章第五章地球椭球地球椭球与测量计算与测量计算中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院 应用大地测量学应用大地测量学应用大地测量学应用大地测量学 本章解决的主要问题1、基础知识、基础知识椭球的几何特征；地球椭球的几何特征；地球椭球及其定位；椭球面椭球及其定位；椭球面上的弧长计算。上的弧长计算。2、地面观测元素化算、地面观测元素化算至椭球面至椭球面3、椭球面上大地坐标、椭球面上大地坐标的计算问题的计算问题12345A1NA2S S(B1,L1)平面坐标计算平面坐标计算球面坐标计算球面坐标计算(x1,y1)第五章第五章 地球椭球及椭
2、球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节地球椭球及其定位根底）地球椭球及其定位根底）第二节第二节椭球面上法截线曲率半径根底）椭球面上法截线曲率半径根底）第三节第三节椭球面上弧长计算根底）椭球面上弧长计算根底）第四节第四节地面观测值归算至椭球面重点）地面观测值归算至椭球面重点）第五节第五节椭球面上大地问题解算重点）椭球面上大地问题解算重点）第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节地球椭球及其定位根底）地球椭球及其定位根底）第二节第二节椭球面上法截线曲率半径根底）椭球面上法截线曲率半径根底）第三节第三节椭球面上弧长计算根底）椭球面上弧长计算根底）第四节
3、第四节地面观测值归算至椭球面重点）地面观测值归算至椭球面重点）第五节第五节椭球面上大地问题解算重点）椭球面上大地问题解算重点）5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位应用大地测应用大地测量学量学 测测量量的的外外业业工工作作主主要要是是在在地地球球表表面面进进行行的的，或或者者说说主主要要是是对对地地球球表表面面进进行行观观测测的的，由由于于地地球球表表面面不不是是一一个个规规则则的的数数学学曲曲面面，在在其其上上面面无无法法进进行行严严密密的的测测量量计计算算。因因而而，需需要要寻寻求求一一个个大大小小和和形形状状最最接接近近于于地地球球的的规规则则形形体体地地球球椭椭球球，在在其其
4、表表面面完完成成测测量量计计算算工工作作。用用椭椭球球来表示地球必须解决来表示地球必须解决2 2个问题：个问题：一是椭球参数的选择一是椭球参数的选择( (椭球的大小和形状椭球的大小和形状) )； 二二是是确确定定椭椭球球与与地地球球的的相相关关位位置置，即即椭椭球球的的定定位位( (椭椭球球与大地水准面包围的大地体应当最密合与大地水准面包围的大地体应当最密合) )。5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位应用大地测应用大地测量学量学 具具有有一一定定几几何何参参数数，经经过过定定位位，在在全全球球范范围围内内与与大大地体最为接近、密合最好的椭球称为地球椭球。地体最为接近、密合最好的椭球
5、称为地球椭球。 在在某某一一地地区区与与大大地地水水准准面面密密合合最最好好的的椭椭球球，称称为为参参考椭球。考椭球。5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位应用大地测应用大地测量学量学5.1.1椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3椭球定位椭球定位5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位应用大地测应用大地测量学量学5.1.1椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3椭球定位椭球定位5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系应
6、用大地测应用大地测量学量学应用大地测应用大地测量学量学偏心距：偏心距： 第一偏心率：第一偏心率： （5-15-1）第二偏心率：第二偏心率： 扁率：扁率： （5-25-2）椭球长半径椭球长半径a a，短半径，短半径b b 5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系应用大地测应用大地测量学量学a a、b b、e e、e e之间的关系：之间的关系： （5-35-3） （5-45-4） （5-55-5）5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系应用大地测应用大地测量学量学克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球19801980国家大地坐标系国家大地坐标系WG
7、S-84WGS-84a a637824563782456378140637814063781376378137b b6356863.018776356863.018776356755.288166356755.288166356752.31426356752.3142e2e20.006693421622970.006693421622970.006694384999590.006694384999590.006694379990130.00669437999013e2e20.00673852544680.00673852544680.006739501819470.00673950181947
8、0.006739496742270.00673949674227f f1:298.31:298.31:298.2571:298.2571:298.2572235631:298.257223563几种椭球几何参数几种椭球几何参数5.1.1 5.1.1 椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位应用大地测应用大地测量学量学5.1.1椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式5.1.3椭球定位椭球定位5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式应用大地测应用大地测量学量学垂线偏差
9、垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角线方向之间的夹角u u 。垂线偏差垂线偏差u u的分量的分量子午圈分量子午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量计算公式：计算公式： （5-75-7） （5-85-8）5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式应用大地测应用大地测量学量学 天文方位角与大地方位角之间的关系式：天文方位角与大地方位角之间的关系式： （5-145-14） （5-155-15） 以上公式称为拉普拉斯方程式。以上公式称为拉普拉斯方程式。 5.1.2 5.1.2 垂线偏差及其基本公式垂线偏差及其基本公式应用
10、大地测应用大地测量学量学 椭球短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大椭球短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生欧拉角，设地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生欧拉角，设为为 。此时垂线偏差公式。此时垂线偏差公式5-85-8及拉普拉斯方及拉普拉斯方程式程式5-155-15扩展为：扩展为：（5-165-16） 上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程。上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程。5.1 5.1 地球椭球及其定位地球椭球及其定位应用大地测应用大地测量学量学5.1.1椭球的几何参数及其关系椭球的几何参数及其关系5.1.2垂线偏差及其基本公式垂线偏差及
11、其基本公式5.1.3椭球定位椭球定位5.1.3 5.1.3 椭球定位椭球定位应用大地测应用大地测量学量学 椭椭球球定定位位将将一一定定参参数数的的椭椭球球与与大大地地体体的的相相关关位位置置固固定定下下来来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。 包包括括：定定位位和和定定向向两两方方面面。定定位位是是指指确确定定椭椭球球中中心心的的位位置置，定定向向是是指指确确定定该该椭椭球球坐坐标标轴轴的的指指向向。从从数数学学上上讲讲就就是是要要确确定定三三个个平平移移参参数数 和三个旋转角度和三个旋转角度 。 椭球定位三个条件：椭球定位三个条件
12、：（1 1椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行；椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行；（2 2起始大地子午面与起始天文子午面相平行；起始大地子午面与起始天文子午面相平行；（3 3在在一一定定区区域域范范围围内内，椭椭球球面面与与大大地地水水准准面面或或似似大大地地水水准准面面最为密合。最为密合。5.1.3 5.1.3 椭球定位椭球定位应用大地测应用大地测量学量学 椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于大地原点：椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于大地原点：B0= 0-0B0= 0-0L0= 0-0L0= 0-0sec0sec0A0= 0-0A0= 0-0tan0tan0H0=
13、 H0H0= H0常常+0+0 初期定位时，初期定位时，00，00，00未知，可取为未知，可取为0 0。称为一点定位。称为一点定位。 根根据据大大地地测测量量和和天天文文测测量量数数据据，在在 条条件件下下，求求出出原点的原点的00，00，00值。称为多点定位。值。称为多点定位。第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节地球椭球及其定位根底）地球椭球及其定位根底）第二节第二节椭球面上法截线曲率半径根底）椭球面上法截线曲率半径根底）第三节第三节椭球面上弧长计算根底）椭球面上弧长计算根底）第四节第四节地面观测值归算至椭球面重点）地面观测值归算至椭球面重点）第五节第
14、五节椭球面上大地问题解算重点）椭球面上大地问题解算重点）第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径应用大地测应用大地测量学量学基本概念基本概念基本概念基本概念法截面法截面法截面法截面包含曲面一点法线的平面。包含曲面一点法线的平面。包含曲面一点法线的平面。包含曲面一点法线的平面。法截线法截线法截线法截线法截面与曲面的截线。法截面与曲面的截线。法截面与曲面的截线。法截面与曲面的截线。斜截线斜截线斜截线斜截线不包含法线的平面与椭球面的截线。不包含法线的平面与椭球面的截线。不包含法线的平面与椭球面的截线。不包含法线的平面与椭球面的截线。子午圈子午圈子午圈子午圈包含短轴的平面与椭球面的交
15、线。包含短轴的平面与椭球面的交线。包含短轴的平面与椭球面的交线。包含短轴的平面与椭球面的交线。卯酉圈卯酉圈卯酉圈卯酉圈与椭球面上一点子午圈相垂直的法截与椭球面上一点子午圈相垂直的法截与椭球面上一点子午圈相垂直的法截与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。线，为该点的卯酉圈。线，为该点的卯酉圈。线，为该点的卯酉圈。平行圈平行圈平行圈平行圈垂直于短轴的平面与椭球面的交线。垂直于短轴的平面与椭球面的交线。垂直于短轴的平面与椭球面的交线。垂直于短轴的平面与椭球面的交线。应用大地测应用大地测量学量学5.2.1卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3任意方向
16、的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4平均曲率半径平均曲率半径5.2.5曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径应用大地测应用大地测量学量学5.2.1卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4平均曲率半径平均曲率半径5.2.5曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径应用大地测应用大地测量学量学应用大地测应用大地测量
17、学量学5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径微分几何中麦尼厄定理：微分几何中麦尼厄定理：（5-19）（5-26）（5-23）W又称第一基本纬度函数，又称第一基本纬度函数，V称为第二基本维度函数。称为第二基本维度函数。应用大地测应用大地测量学量学5.2.1卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半径5.2.4平均曲率半径平均曲率半径5.2.5曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径应用大地
18、测应用大地测量学量学（5-30）5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半径子午圈曲率半径应用大地测应用大地测量学量学表表 M M、N N随随B B变化的规律变化的规律 B BN NM M说明说明B=0B=0N N0 0=a=aM M0 0= a(1-e= a(1-e2 2) )在赤道上，在赤道上，N N为赤为赤道半径道半径a a，M M小于小于赤道半径赤道半径a a0 0B90B90aNcaNca(1-ea(1-e2 2)Mc)MRMNRM应用大地测应用大地测量学量学5.2.1卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径5.2.2子午圈曲率半径子午圈曲率半径5.2.3任意方向的法截线曲率半径任意方向的法截线曲率半
19、径5.2.4平均曲率半径平均曲率半径5.2.5曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式5.2 5.2 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径5.2.5 5.2.5 曲率半径的数值计算公式曲率半径的数值计算公式应用大地测应用大地测量学量学将将将将N N、MM、R R的计算公式的计算公式的计算公式的计算公式5-265-26）、（）、（）、（）、（5-305-30）、）、）、）、（5-365-36展开成微小参数的幂级数，取其前几项展开成微小参数的幂级数，取其前几项展开成微小参数的幂级数，取其前几项展开成微小参数的幂级数，取其前几项数值。数值。数值。数值。克拉索夫斯基椭球参数代入得到克拉索夫
20、斯基椭球参数代入得到克拉索夫斯基椭球参数代入得到克拉索夫斯基椭球参数代入得到5-385-38）。）。）。）。19751975年国际椭球参数代入得到年国际椭球参数代入得到年国际椭球参数代入得到年国际椭球参数代入得到5-395-39）。）。）。）。第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节地球椭球及其定位根底）地球椭球及其定位根底）第二节第二节椭球面上法截线曲率半径根底）椭球面上法截线曲率半径根底）第三节第三节椭球面上弧长计算根底）椭球面上弧长计算根底）第四节第四节地面观测值归算至椭球面重点）地面观测值归算至椭球面重点）第五节第五节椭球面上大地问题解算重点）椭球面
21、上大地问题解算重点）应用大地测应用大地测量学量学（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）5.3.15.3.1子午圈弧长计算子午圈弧长计算子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.25.3.2平行圈弧长计算平行圈弧长计算平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算应用大地测应用大地测量学量学5.3.1子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.2平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算应用大地测应用大地测量学量学1
22、1、计算、计算B=0B=0到到B B的子午圈弧长的子午圈弧长X X由由M=dX/dBM=dX/dB5-275-27得：得： 将将5-375-37） 代入上式，从代入上式，从0 0到到B B积分，可得积分，可得X X。可知，。可知，X X是是B B的函数。见的函数。见公式公式(5-41)(5-41)。 注意：将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计注意：将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计算式。算式。5.3.1 5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算应用大地测应用大地测量学量学2 2、计算已知纬度、计算已知纬度B1B1和和B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长XX（1 1分别计算分别计算
23、0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X1X1和和X2X2，然后求然后求X=X2-X1X=X2-X1；（2 2用上述积分式求用上述积分式求B1B1B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长XX。5.3.1 5.3.1 子午圈弧长计算子午圈弧长计算应用大地测应用大地测量学量学5.3.1子午圈弧长计算子午圈弧长计算5.3.2平行圈弧长计算平行圈弧长计算5.3 5.3 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算5.3.2 5.3.2 平行圈弧长计算平行圈弧长计算应用大地测应用大地测量学量学 平行圈是一个半径等于平行圈是一个半径等于 r=N r=NCOSBCOSB的圆，纬度的圆，
24、纬度B B处经度处经度L1L1L2L2之间的平行圈弧长之间的平行圈弧长 经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同。纬度越经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同。纬度越高，单位经度差点平行圈弧长越短。高，单位经度差点平行圈弧长越短。 用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平行圈所包围的椭球面面积。行圈所包围的椭球面面积。 第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节地球椭球及其定位根底）地球椭球及其定位根底）第二节第二节椭球面上法截线曲率半径根底）椭球面上法截线曲率半径根底）第三节第三节椭球面上弧长计算根底）椭球面
25、上弧长计算根底）第四节第四节地面观测值归算至椭球面重点）地面观测值归算至椭球面重点）第五节第五节椭球面上大地问题解算重点）椭球面上大地问题解算重点）应用大地测应用大地测量学量学5.4.1相对法截线相对法截线5.4.2大地线及其特征大地线及其特征5.4.3大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面应用大地测应用大地测量学量学5.4.1相对法截线相对法截线5.4.2
26、大地线及其特征大地线及其特征5.4.3大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线应用大地测应用大地测量学量学 CK=NsinB CK=NsinB， （5-225-22代入代入5-215-21得：得：所以：所以： （5-435-43） 上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交点到椭球中心之上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交
27、点到椭球中心之间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长。间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长。5.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线应用大地测应用大地测量学量学 设设Q1Q1和和Q2Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线的法线Q1n1Q1n1和和Q2n2Q2n2不相交。法截线不相交。法截线Q1m1Q2Q1m1Q2和和Q2m2Q1Q2m2Q1称为两点间的相对称为两点间的相对法截线。法截线。 正法截线与反法截线。一般不重合。正法截线与反法截线。一般不重合。应用大地测应用大地测量学量学正反法截线之间的夹角正
28、反法截线之间的夹角正反法截线之间的夹角正反法截线之间的夹角近似公式：近似公式：近似公式：近似公式：令令令令Bm=45Bm=45，A=45A=45，不同距离，不同距离，不同距离，不同距离S S求得的求得的求得的求得的值为：值为：值为：值为：SS100km0.042100km0.04260km0.01560km0.01530km0.00430km0.004在长距离的测量中，对向观测所得在长距离的测量中，对向观测所得在长距离的测量中，对向观测所得在长距离的测量中，对向观测所得3 3个内角不能组成闭个内角不能组成闭个内角不能组成闭个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线合三角形，需在两点间
29、选择一条单一曲线合三角形，需在两点间选择一条单一曲线合三角形，需在两点间选择一条单一曲线大地线。大地线。大地线。大地线。5.4.1 5.4.1 相对法截线相对法截线应用大地测应用大地测量学量学5.4.1相对法截线相对法截线5.4.2大地线及其特征大地线及其特征5.4.3大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.2 5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征
30、应用大地测应用大地测量学量学1 1、大地线、大地线曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。含曲面在该点的法线。5.4.2 5.4.2 大地线及其特征大地线及其特征应用大地测应用大地测量学量学2 2、大地线几何特征、大地线几何特征（1 1一一般般情情况况下下，曲曲面面上上的的曲曲线线并并不不是是大大地地线线如如球球面面上的小圆）。大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线。上的小圆）。大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线。（2 2大地线与相对法截线
31、间的夹角为大地线与相对法截线间的夹角为=/3=/3。（3 3大大地地线线与与相相对对法法截截线线间间的的长长度度之之差差甚甚微微，600km600km时时二二者之差仅为者之差仅为0.007mm0.007mm。（4 4两两点点位位于于同同一一条条子子午午圈圈上上或或赤赤道道上上，则则大大地地线线与与子子午圈、赤道重合。午圈、赤道重合。应用大地测应用大地测量学量学5.4.1相对法截线相对法截线5.4.2大地线及其特征大地线及其特征5.4.3大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算
32、至椭球面5.4.6椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.3 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程应用大地测应用大地测量学量学大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的三个微分方程：大地线的三个微分方程：应用大地测应用大地测量学量学大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程 ： r rsinA=CsinA=CC C为常数）为常数） 对于椭球面上一
33、大地对于椭球面上一大地线而言，每点处平行圈线而言，每点处平行圈半径与该点处大地线方半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一个位角正弦的乘积是一个常数大地线常数）。常数大地线常数）。克劳莱定理克劳莱定理5.4.3 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程应用大地测应用大地测量学量学5.4.1相对法截线相对法截线5.4.2大地线及其特征大地线及其特征5.4.3大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5
34、.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面应用大地测应用大地测量学量学将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容：（1 1 1 1将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线为基准的观测方向。（垂线偏差改正）面上以法线为基
35、准的观测方向。（垂线偏差改正）面上以法线为基准的观测方向。（垂线偏差改正）面上以法线为基准的观测方向。（垂线偏差改正）（2 2 2 2将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向。（标高差改正）点间的法截线方向。（标高差改正）点间的法截线方向。（标高差改正）点间的法截线方向。（标高差改正）（3 3 3 3将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。（截将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。（截将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。（截将椭球面上的法
36、截线方向换算成大地线方向。（截面差改正）面差改正）面差改正）面差改正）5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面应用大地测应用大地测量学量学1 1、垂线偏差改正、垂线偏差改正11 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数上以法线为准的观测方向，其改正数11为：为： （5-515-51）例：例：A=0A=0，tan=0.01tan=0.01，=5=5，则，则1=0.051=0.05。 垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方
37、向的天顶距或垂直角）。仅在国家一、二等三和观测方向的天顶距或垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。角测量计算中，才规定加入此项改正。 应用大地测应用大地测量学量学2 2 2 2、标高差改正、标高差改正、标高差改正、标高差改正2222 椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不共面，照准点面，照准点面，照准点面，照准点 B B B B高出椭球面某一高度高出椭球面某一高度高出椭球面某一高度高出椭球
38、面某一高度 H2 H2 H2 H2，使得在，使得在，使得在，使得在A A A A点照准点照准点照准点照准B B B B点的法截线点的法截线点的法截线点的法截线AbAbAbAb与与与与AbAbAbAb之间有一夹角之间有一夹角之间有一夹角之间有一夹角2222。 （5-525-525-525-52）B2 B2 B2 B2 照准点的大地纬度；照准点的大地纬度；照准点的大地纬度；照准点的大地纬度；A1 A1 A1 A1 测站点至照准点的大地方位角；测站点至照准点的大地方位角；测站点至照准点的大地方位角；测站点至照准点的大地方位角；H2 H2 H2 H2 照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；照
39、准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；M1 M1 M1 M1 测站点子午圈曲率半径。测站点子午圈曲率半径。测站点子午圈曲率半径。测站点子午圈曲率半径。例：例：例：例：A1=45A1=45A1=45A1=45，B2=45B2=45B2=45B2=45，H2=2000mH2=2000mH2=2000mH2=2000m，1=0.11=0.11=0.11=0.1局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。 5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面应
40、用大地测应用大地测量学量学3 3 3 3、截面差改正、截面差改正、截面差改正、截面差改正3333 将椭球面上法截线方向换算为大地线方向将椭球面上法截线方向换算为大地线方向将椭球面上法截线方向换算为大地线方向将椭球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数所加的为截面差改正数所加的为截面差改正数所加的为截面差改正数3333。例：例：例：例：A1=45A1=45A1=45A1=45，Bm=45Bm=45Bm=45Bm=45，S=30km 3=0.001S=30km 3=0.001S=30km 3=0.001S=30km 3=0.001 截面差改正主要与测站点至照准点间截面差改正主要与测站点
41、至照准点间截面差改正主要与测站点至照准点间截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。才进行改正。才进行改正。才进行改正。 5.4.4 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面应用大地测应用大地测量学量学5.4.1相对法截线相对法截线5.4.2大地线及其特征大地线及其特征5.4.3大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5地面观测距
42、离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.5 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面应用大地测应用大地测量学量学设设A A、B B两点的大地高分别为两点的大地高分别为H1H1为为H2H2，h=H2-H1h=H2-H1，d d为空间直线长。为空间直线长。由三角形由三角形AOBAOB按余弦公式可得：按余弦公式可得： 弦长弦长 （5-555-55） （4-284-28）（）（4-314-31）弧长弧长应用大地测应用大地测量学量学5.4.1相对法截线相对法截线5.4.
43、2大地线及其特征大地线及其特征5.4.3大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程5.4.4地面观测方向归算至椭球面地面观测方向归算至椭球面5.4.5地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面5.4.6椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算5.4 5.4 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面5.4.6 5.4.6 椭球面上的三角形解算椭球面上的三角形解算应用大地测应用大地测量学量学目的目的将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。算未知边长。方法一：按球面三角形解算公式：方法一：按球面三角形解算
44、公式： 方法二：（勒让德定理将球面三角形改化为对应边相等的平面三角方法二：（勒让德定理将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。球面三角形球面角超球面三角形球面角超 = =（A0+B0+C0A0+B0+C0）-180-180=/R2=/R2，为三为三角形面积。角形面积。 A1=A0-/3A1=A0-/3， B1=B0-/3 B1=B0-/3，C1=C0-/3C1=C0-/3。 第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 第一节第一节地球椭球及其定位根底）地球椭球及其定位根底）第二节第二节椭球面上
45、法截线曲率半径根底）椭球面上法截线曲率半径根底）第三节第三节椭球面上弧长计算根底）椭球面上弧长计算根底）第四节第四节地面观测值归算至椭球面重点）地面观测值归算至椭球面重点）第五节第五节椭球面上大地问题解算重点）椭球面上大地问题解算重点）应用大地测应用大地测量学量学5.5.1概述概述5.5.2勒让德级数式勒让德级数式5.5.3高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算应用大地测应用大地测量学量学5.5.1概述概述5.5.2勒让德级数式勒让德级数式5.5.3高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公
46、式5.5.4高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算5.5.1 5.5.1 概述概述应用大地测应用大地测量学量学（一解算内容（一解算内容（一解算内容（一解算内容 大地问题正解大地问题正解大地问题正解大地问题正解已知已知已知已知P1P1P1P1点大地坐标点大地坐标点大地坐标点大地坐标B1B1B1B1，L1L1L1L1）、）、）、）、P1P2P1P2P1P2P1P2大地线长大地线长大地线长大地线长S S S S和大地方位角和大地方位角和大地方位角和大地方位角A1A1A1A1，推求推求推求推求P2P2P2P2点大地坐标点大地坐标点大地坐标点大地
47、坐标B2B2B2B2，L2L2L2L2和大地方位角和大地方位角和大地方位角和大地方位角A2A2A2A2。 大地问题反解大地问题反解大地问题反解大地问题反解已知已知已知已知P1P2P1P2P1P2P1P2两点的大地坐标两点的大地坐标两点的大地坐标两点的大地坐标B1B1B1B1，L1L1L1L1）、（）、（）、（）、（B2B2B2B2，L2L2L2L2反算反算反算反算P1P2P1P2P1P2P1P2的的的的大地线长大地线长大地线长大地线长S S S S和大地方位角和大地方位角和大地方位角和大地方位角A1A1A1A1、A2A2A2A2。应用大地测应用大地测量学量学（二解算方法（二解算方法（二解算方法
48、（二解算方法 1 1 1 1、按解算的距离分为：短距离（、按解算的距离分为：短距离（、按解算的距离分为：短距离（、按解算的距离分为：短距离（400km)400km)400km)400km)、中距离、中距离、中距离、中距离4004004004001000km)1000km)1000km)1000km)和长距离和长距离和长距离和长距离10001000100010002000km)2000km)2000km)2000km)的解算。的解算。的解算。的解算。 2 2 2 2、按解算形式分为：直接解法和间接解法、按解算形式分为：直接解法和间接解法、按解算形式分为：直接解法和间接解法、按解算形式分为：直接解
49、法和间接解法 直接解法直接解法直接解法直接解法直接解求点直接解求点直接解求点直接解求点B B B B、A A A A和相邻起算点的大和相邻起算点的大和相邻起算点的大和相邻起算点的大地经差。地经差。地经差。地经差。 间接解法间接解法间接解法间接解法先求大地经差、纬差和大地方位角先求大地经差、纬差和大地方位角先求大地经差、纬差和大地方位角先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。距离大地问题的解算。距离大地问
50、题的解算。距离大地问题的解算。 5.5.1 5.5.1 概述概述应用大地测应用大地测量学量学（二解算方法（二解算方法（二解算方法（二解算方法 3 3 3 3、高斯平均引数大地问题解算公式间接解法，适、高斯平均引数大地问题解算公式间接解法，适、高斯平均引数大地问题解算公式间接解法，适、高斯平均引数大地问题解算公式间接解法，适用于短距离）。用于短距离）。用于短距离）。用于短距离）。 基本思路：基本思路：基本思路：基本思路： a a a a、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线
51、两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S S S S的幂级数；的幂级数；的幂级数；的幂级数； b b b b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解算公式。最终得到大地问题解算公式。最终得到大地问题解算公式。最终得到大地问题解算公式。 5.5.1 5.5.1 概述概述应用大地测应用大地测量学量学5.5.1概述概述5.5.2勒让德级数
52、式勒让德级数式5.5.3高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算应用大地测应用大地测量学量学 按照泰勒级数将按照泰勒级数将P1P1和和P2P2两点的纬差两点的纬差b b、经差、经差l l和方位和方位角差角差展开成为大地线长度展开成为大地线长度S S的幂级数，成为勒让德级的幂级数，成为勒让德级数式。数式。 公式公式5-635-63） 公式公式5-695-69） 公式公式5-705-70） 公式公式5-715-71）5.5.2 5.5.2 勒让德级数式勒让德级数式应用大地测应用大地测量学量学5
53、.5.1概述概述5.5.2勒让德级数式勒让德级数式5.5.3高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算5.5.3 5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式应用大地测应用大地测量学量学（一基本思想（一基本思想（一基本思想（一基本思想首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在P1P1点展开改为在大地线长度中点展开改为在大地线长度中点展开改为在大地线长度中点展开改为在大地线长度中点点点点MM展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；展开，以使级数公式项数
54、减少、收敛快、精度高；展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高； 其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点MM的复杂性，将的复杂性，将的复杂性，将的复杂性，将MM点用大地线点用大地线点用大地线点用大地线两端的平均纬度及平均方位角相对应的两端的平均纬度及平均方位角相对应的两端的平均纬度及平均方位角相对应的两端的平均纬度及平均方位角相对应的mm点来代替，并点来代替，并点来代替，并点来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题
55、的正解。借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。应用大地测应用大地测量学量学（二高斯平均引数正解公式推求步骤：（二高斯平均引数正解公式推求步骤：（二高斯平均引数正解公式推求步骤：（二高斯平均引数正解公式推求步骤：1 1、经差、经差、经差、经差l l、纬差、纬差、纬差、纬差b b、方位角差、方位角差、方位角差、方位角差a a是是是是S S的函数，故可以将其的函数，故可以将其的函数，故可以将其的函数，故可以将其展为展为展为展为S S的泰勒级数按平均引数在的泰勒级数按平均引数在的泰勒级数按平均引数在的泰勒级数按平均引数在S/2S/2处展为处展为处展为处展为S S的幂级数）的幂级数）的幂级数）的幂
56、级数）。2 2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dSdL/dS以以以以BmBm、AmAm按泰勒级数展开。按泰勒级数展开。按泰勒级数展开。按泰勒级数展开。3 3、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。4 4、将系数代入平均引数公式。、将系数代入平均引数公式。、将系数代入平均引数公式。、将系数代入平均引数公式。5 5、由于、由于、由于
57、、由于B2B2、A2A2未知，未知，未知，未知，BmBm、AmAm精确值未知，可通过逐精确值未知，可通过逐精确值未知，可通过逐精确值未知，可通过逐次趋近法求出。一般三次即可。次趋近法求出。一般三次即可。次趋近法求出。一般三次即可。次趋近法求出。一般三次即可。 5.5.3 5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式应用大地测应用大地测量学量学（三计算公式（三计算公式（三计算公式（三计算公式一般公式：一般公式：一般公式：一般公式：公式公式公式公式5-895-89）实用公式：实用公式：实用公式：实用公式：距离小于距离小于距离小于距离小于70km70km时，采用简化公式：公式时，采用简化公式
58、：公式时，采用简化公式：公式时，采用简化公式：公式5-905-90） 5.5.3 5.5.3 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式应用大地测应用大地测量学量学5.5.1概述概述5.5.2勒让德级数式勒让德级数式5.5.3高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式5.5.4高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式5.5 5.5 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算5.5.4 5.5.4 高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式应用大地测应用大地测量学量学高斯平均引数反解公式推求步骤：高斯平均引数反解公式推求步骤：高斯平均引数反解公式推求步骤：高斯平均引数反解公式推求步骤：1 1、已知两点间
59、的纬差、已知两点间的纬差、已知两点间的纬差、已知两点间的纬差b b、经差、经差、经差、经差l l和平均纬度和平均纬度和平均纬度和平均纬度BmBm，导出，导出，导出，导出 SsinAmSsinAm和和和和ScosAmScosAm，求，求，求，求aa。2 2、由、由、由、由SsinAmSsinAm、ScosAmScosAm和和和和a a计算计算计算计算S S和和和和A1A1、A2A2。计算公式：计算公式：计算公式：计算公式：公式公式公式公式5-935-93）、（）、（）、（）、（5-965-96）第五章 复习思考题1。名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、。名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、子
60、午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂线子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂线偏差改正、标高差改正、截面差改正、大地问偏差改正、标高差改正、截面差改正、大地问题正解、大地问题反解。题正解、大地问题反解。2。写出。写出N、M、R及子午圈弧长、平行圈弧长及子午圈弧长、平行圈弧长的计算公式，说明式中符号的意义。的计算公式，说明式中符号的意义。3。大地线微分方程的意义。大地线微分方程的意义。4。地面观测值方向、间隔归算至椭球面。地面观测值方向、间隔归算至椭球面应加哪些改正？应加哪些改正？第五章第五章 习题习题1。已知图幅。已知图幅I-50-67中中A、B点的大地纬度点的大地纬度B=3420、34，求相应的，求相应的M、N、R。2。计算图幅。计算图幅I-50-67图廓长度。图廓长度。117001173034003420342011700117303400I-50-67ABCD
