矩阵的秩及向量组的极大无关组求法

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1、线性代数下页结束返回一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念二、初等变换求矩阵的秩二、初等变换求矩阵的秩三、向量组方面的一些重要方法三、向量组方面的一些重要方法下页第第7 7节节 矩阵的秩及向量组的极大无关组求法矩阵的秩及向量组的极大无关组求法向量组的秩的计算方法向量组的秩的计算方法极大无关组的确定方法极大无关组的确定方法用极大无关组表示其它向量的方法用极大无关组表示其它向量的方法注意：第注意：第6-76-7节与教材内容及次序有所不同节与教材内容及次序有所不同, ,请作笔记请作笔记. .线性代数下页结束返回 定义定义1 设设A是是m n矩阵，在矩阵，在A中任取中任取k行行k列列(1kminm,n)

2、，位于位于k行行k列交叉位置上的列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的个元素，按原有的次序组成的k阶行列阶行列式，称为式，称为A的的k阶子式阶子式. 如矩阵如矩阵 第第1,31,3行及第行及第2,42,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为 三阶子式共有三阶子式共有4 4个个 下页7.1 7.1 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念线性代数下页结束返回 定义定义2 若矩阵若矩阵A有一个有一个r阶子式不为零，而所有阶子式不为零，而所有r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)全等于零，则全等于零，则r称为矩阵称为矩阵A的秩，记作的秩，记作r(A). 规定

3、零矩阵的秩为零规定零矩阵的秩为零. . 易见：易见：（1）若）若A是是m n矩阵，则矩阵，则r(A) minm,n. （2）若）若m n矩阵矩阵A中中有一个有一个r阶子式不等于零阶子式不等于零 ，则，则r(A) r； 若所有若所有r+1阶子式全等于零，阶子式全等于零，则则r(A) r. （3） r(A) = r(AT) .（4） r(kA) = r(A)，k0 .（5） 对对n阶方阵阶方阵A，若，若|A|0，则，则r(A)=n ,称称A为为满秩矩阵满秩矩阵 ; 若若|A| = 0，则，则r(A)n; rn.3向量组向量组a a，a a， ，a as，线性无关的充要条件是（，线性无关的充要条件是

4、（ ） r1; 它有一个部分向量组线性无关它有一个部分向量组线性无关; r0; 它所有的部分向量组线性无关它所有的部分向量组线性无关.4若矩阵若矩阵A有一个有一个r阶子式阶子式D0，且，且A中有一个含有中有一个含有D的的r阶子式等于零，则一定有（阶子式等于零，则一定有（ ） . . r(A) r ; r(A) r ; r(A) = r ; r(A) = r+1.5设向量组设向量组a a，a a，a a，线性无关，则下列向量组中，线性无关，则下列向量组中， 线性无关的是（线性无关的是（ ） . . a a+a a，a a+a a，a a-a a a a+a a，a a+a a，a a+2a a+a a a a+2a a，2a a+3a a，3a a+a a a a+a a+a a，2a a-3a a+2a a，3a a+5a a-5a a下页线性代数下页结束返回作业： 77页页 13 14 结束线性代数下页结束返回 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！